Geometrie Euclidee e non Euclidee

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Le geometrie
La geometria euclidea
La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale avviene nel III secolo a.C. grazie ad Euclide che nei suoi Elementi riassume e sistematizza tutto il sapere scientifico dell'epoca, dandogli una struttura logica rigorosa fondata su enti primitivi e proprietà fondamentali, dette postulati. Nella stesura della sua opera Euclide evita di far ricorso al concetto di infinito, e comunque quando è costretto a farlo si ricollega all'infinito potenziale di Aristotele, per cui nel secondo postulato risulta che "si possa prolungare indefinitamente una linea retta" e nel quinto, detto postulato delle parallele, enuncia che "se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette se estese indefinitamente si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti", che in forma più semplice equivale a dire che:
" Per un punto è possibile tracciare una sola retta parallela ad una retta data"
Nella stesura degli Elementi lo stesso Euclide dubitò della validità del quinto postulato: infatti lo utilizzò nella dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo ed evitò il più possibile di richiamarlo in altre dimostrazioni.
Per molto tempo i matematici furono convinti che il quinto postulato di Euclide non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema: ci furono tanti tentativi di dimostrarlo e di sostituirlo con nuovi postulati ma tutte le sostituzioni si rivelarono equivalenti ad esso.
La geometria iperbolica
Nel 1829 un matematico russo, Nicolas I. Lobacevski (1793 - 1856), affrontò una strada completamente nuova, la creazione di una nuova geometria nella quale fosse contemplata, in sostituzione del quinto postulato, la negazione dell'unicità della parallela:
" Per un punto si possono tracciare almeno due rette parallele ad una retta data"
Questa geometria si rilevò altrettanto logica che quella di Euclide, e quindi del tutto accettabile; nasce così una geometria non euclidea chiamata geometria iperbolica. Un modello della geometria iperbolica è una circonferenza privata del contorno: in essa i punti sono punti interni alla circonferenza e le rette sono corde private degli estremi; dato un punto interno esistono due corde passanti per il punto e che incontrano una corda data in un punto della circonferenza.
La geometria ellittica
Nel 1851 un matematico tedesco, Bernhard Riemann (1826 - 1866) presentò un'altra geometria fondata sulla negazione dell'esistenza della parallela:
"Per un punto non è possibile tracciare alcuna retta parallela ad una retta data"
Anche questa teoria risulta completamente coerente e quindi viene chiamata geometria ellittica.
Modello di questa teoria può essere la superficie di una sfera, in cui si definiscono punti le coppie di punti diametralmente opposti e rette i cerchi massimi; due cerchi massimi si incontrano sempre. Il modello può essere reso ancora più generale considerando una qualunque superficie non piana nello spazio. Il modello dello "spazio curvo di Riemann" è quello che secondo Einstein spiega l'Universo reale nella sua teoria della relatività.
La geometria frattale
Nella seconda metà del nostro secolo una nuova geometria ha cominciato a configurarsi soprattutto ad opera di Benoit B. Mandelbrot: la geometria frattale. In essa le figure non hanno una dimensione rappresentata da un numero intero ma da una frazione. L'interesse per queste figure nasce dal fatto che in natura si riscontrano spesso forme aventi, entro certi limiti, la stessa proprietà. Nel 1987 il matematico di origine britannica Michael F. Barnsley scoprì la trasformata frattale che rivela automaticamente i codici frattali nelle fotografie digitalizzate. La scoperta inaugurò la tecnica di compressione delle immagini in diverse applicazioni multimediali.
Le geometrie non euclidee
Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del quinto postulato enunciato negli Elementi di Euclide.
I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli.
Esempi di geometrie non euclidee:
Geometria iperbolica
La geometria di Bolyai-Lobacevskij, spesso chiamata geometria non-euclidea o iperbolica, ambienta la geometria piana all'interno di una circonferenza, in cui tutte le possibili linee 'rette' sono rappresentate dalle infinite corde.

Come si può osservare, tracciato un 'punto' P ed una 'retta' r, si possono trovare due 'rette' s e t, passanti per P e per gli estremi della corda r.
Geometria ellittica
La geometria di Riemann, detta anche geometria ellittica o semplicemente geometria non-euclidea, è costruita sulla superficie di una sfera, in cui tutte le linee rette sono rappresentate dai cerchi massimi.

Come si può osservare, fissato un punto di Riemann e una retta di Riemann, ossia una coppia (A, B) di punti diametralmente opposti e una circonferenza massima r, allora ogni altra retta di Riemann passante per (A, B) interseca sempre la circonferenza massima, r, in due punti diametralmente opposti (C, D) ossia in un punto di Riemann.
La vita di Euclide
Visse intorno al 300 a.C. ad Alessandria d’Egitto dove fondò una scuola di matematica. Una delle sue opere più importanti è rappresentata dagli Elementi, divisa in 13 libri. I primi sei contengono le proposizioni fondamentali della geometria piana e la teoria generale delle proporzioni fra grandezze; i libri VII, VIII, XI trattano dei numeri e delle loro proprietà; il X dà in forma geometrica una classificazione dei numeri irrazionali; gli ultimi tre studiano la geometria solida. L’opera si apre con un elenco di concetti fondamentali ai quali seguono i postulati (tra i quali enuncia il postulato delle parallele la cui negazione diede origine alle geometrie non euclidee), le proposizioni o assiomi e infine la serie dei teoremi: uno dei più famosi teoremi attribuiti allo stesso Euclide stabilisce che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per base un lato uguale all’ipotenusa del triangolo iniziale, e per altezza la proiezione del cateto sull’ipotenusa. A questo famoso teorema, Euclide ne fece seguire un altro il quale, con dimostrazione pressappoco analoga, afferma che in ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Nelle sue opere è inoltre presente la semplice ma geniale dimostrazione dell’infinità dei numeri primi. La grandezza di Euclide non deriva tuttavia dall’originalità delle sue opere ma dalla capacità di aver organizzato tutto il sapere matematico del tempo in un’opera completa e sistematica, dotata di un’impalcatura logica e rigorosa.

I postulati di euclide

Risulta postulato che:
1) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad ogni altro punto;
2) si possa prolungare indefinitamente una linea retta ;
3) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi;
4) tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro;
5) se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette.