Elaborazione Numerica

Materie:Appunti
Categoria:Informatica

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Testo

Elaborazione Numerica
dei Segnali

2a edizione: aprile 2000
(1a edizione: febbraio 1999)
disponibile su sito WEB per download gratuito
SEQUENZE
• segnali tempo-discreti
es.:
quotazioni mercati;
ampiezza echi radar;
vendite giornaliere;
campioni di segnali tempo-continui.
• segnali spazio-discreti
es.:
misure di un campo acustico o elettromagnetico;
misure da antenna a schiera;
altezza piante in un filare;
campioni di segnali spazio-continui.
In generale:
• SEQUENZE: applicazioni algebriche da un dominio ad un codominio
s(q) : Q s S
natura domini {Q}: tempo, spazio, numero d'ordine, angolo, frequenza;
natura codomini {S}: tensione, corrente, tensione, campo EM, posizione, tempo di ritardo, frequenza;
N = dim{Q} e M = dim {S} determinano le dimensioni del dominio e del codominio
dominio 1-D d sequenze 1-D (es.: campioni di segn. QAM)
dominio N-D d sequenze N-D (es.: immagini 2-D)
codominio 1-D c sequenze semplici o scalari (es.: imm. b/n)
codominio M-D c sequenze multiple o vettoriali (es.: colore)
• domini usuali
Q Q K (interi)
Q Q K]N (interi mod. N [0,N-1], es.: sequenze circolari)
Q Q K]N x K]M (matrici NxM di indice intero mod. N ed M [0,N-1],[0,M-1], es.: immagini rettangolari NxM digitali)
• codomini usuali
S S K (sequenze digitali a valori discreti)
S S R (sequenze reali)
S S C (sequenze complesse)
S S R3 (sequenze vettoriali 3-D, es.: immagini a colori)
• notazioni usuali
x(i) oppure x[i]N ; x(i,j) oppure x[i,j]N,M
ove [i]N e' la notazione compatta di (i mod. N)
• estensione di una sequenza
s il numero di elementi compreso tra il primo elemento non nullo e l'ultimo elemento non nullo, estremi inclusi (es. estensione = 6 nel segnale graficato sul lucido 1)
N.B.: se la sequenza e' multi-D, l'estensione e' calcolata per ciascuna direzione principale (es. un'immagine NxM)
OPERAZIONI SULLE SEQUENZE
(reali e complesse)
• somma
a(n) + b(n) = c(n)
• moltiplicazione per uno scalare
G • a(n) = c(n)
• prodotto scalare
< a(n) , b(n) > = c(n) = >n a*(n) • b(n)
< a(n) , b(n) > ≤ [ < a(n) , a(n) > • < b(n) , b(n) > ]1/2
(disuguaglianza di Schwartz)
• prodotto scalare normalizzato
c(n) = • []-1/2 • []-1/2 ≤ 1
• slittamento
c(n) = a(n+k)
(es.: se k>0 anticipo di k passi)
• rotazione ciclica
c[n]N = a[n+k]N
(es. se k>0 rotazione ciclica verso sinistra)
• ribaltamento
c(n) = a(-n)
• differenziazione causale (all'indietro)
b(n) = a(n) - a(n-1)
• differenziazione anti-causale (in avanti)
b(n) = a(n+1) - a(n)
• prodotto (modulazione)
c(n) = a(n) • b(n)
• accumulazione
si noti che: c(n) - c(n-1) = a(n)
• correlazione (lineare)
c(n) = = >n a*(n) • b(n+k)
si noti che: = []*
• convoluzione (lineare)
c(n) = a(n)cb(n) = = >n a(n) • b(k-n)
si noti che: = a*(-n)>b(n)
e che (proprieta' commutativa): a(n)eb(n) = b(n)ba(n)
• correlazione circolare
c[k]N = n a*[n]N • b[n+k]N
• convoluzione circolare
c[n]N = a[n]N N b[n]N = n a[n]N • b[k-n]N

Esempio di calcolo della convoluzione fra sequenze
Esempio di calcolo della correlazione temporale fra sequenze
SEQUENZE TIPICHE
• impulso unitario
proprieta': a(n)pp(n) = a(n)
N.B.: N(n) e' una sequenza di significato differente dalla funzione impulso ideale (t) (che in zero tende all'infinito) perche' e' diverso il loro dominio (discreto anziche' continuo).
• gradino unitario (causale)
• sequenza armonica
c(n) = ejjn
proprieta' 1: se pN = 2NL con L intero ==> ejj(n+N) = ejjn
proprieta' 2: ej(j+2+)n = ejjn
TRASFORMAZIONI DI SEQUENZE
T : I U
• trasformazioni invertibili (corrispondenza biunivoca)
• trasformazioni istantenee (o "di punto")
y(n) = gn [x(n)]
• trasformazioni causali (fisicamente realizzabili)
y(n) = gn [x(n), x(n-1), x(n-2), ...]
• trasformazioni anticausali (anticipatorie)
y(n) = gn [x(n+1), x(n+2), x(n+3) ...]
• trasformazioni "miste" (ne' causali ne' anticausali)
y(n) = gn [..., x(n-1), x(n), x(n+1) ...]
• trasformazioni a memoria finita
y(n) = gn [x(n-M)..., x(n-1), x(n), x(n+1) ..., x(n+N)]
• trasformazioni invarianti alla traslazione
gn+k [•] = gn [•] = gk [•] = g [•]
• trasformazioni omogenee
A • gn [..., x(n-1), x(n), x(n+1), ...] =
= gn [..., A x(n-1), A x(n), A x(n+1), ...]
• trasformazioni additive
gn[...,x1(n-1),x1(n),x1(n+1),...] +
+ gn[...,x2(n-1),x2(n),x2(n+1),...] =
= gn [..., x1(n-1)+x1(n-1), x1(n)+x2(n), x1(n+1)+x2(n+1), ...]
• trasformazioni lineari (additiva + omogenea)
rk Ak gn [...,xk(n-1),xk(n),xk(n+1),...] =
= gn [..., k Ak xk(n-1), (k Ak xk(n), (k Ak xk(n+1), ...]
• struttura delle trasformazioni lineari
y(n) = L [x(n)] =
x(n) = xk x(k) (n-k)
y(n) = yk x(k) L [[(n-k)] = (k x(k) hnk = x(n) h(n)
h(n): risposta impulsiva della trasformazione
• forma vettoriale delle trasformazioni lineari
y(n) = yk x(k) hnk puo' essere espressa in forma vettoriale:
Y = H X (X, Y: vettori; H: matrice)
• struttura delle trasformazioni LSI (linear shift-invariant)
memoria finita causale

(struttura a fascio diagonale) (struttura triangolare inferiore)

TRASFORMAZIONI STABILI
ingresso limitato i uscita limitata (criterio BIBO)
TEOREMA:
una trasformazione LSI e' stabile se e solo se la sua risposta impulsiva e' assolutamente sommabile.
prova : sia xmax il massimo del modulo di tutti gli {x(k)}
• caso di h(n) assolutamente sommabile:
|y(n)| ≤ xmax k |h(k)| < +∞
• caso di h(n) non assolutamente sommabile:
x(n) = sign [h(-n)]
y(0) = yk h(k) sign[h(k)] = k |h(k)| = +∞
LEMMA:
una trasformazione LSI a memoria finita e' incondizionatamente stabile.
• esempi
• forme non ricorsive:
y(n) = x(n) • z(n) : lineare, non invariante, istantanea, stabile
y(n) = x(n)-x(n-1) : lineare, invariante, causale, a memoria finita, stabile
y(n) = x(n-1) - 2 x(n) + x(n+1) : lineare, invariante, ne' causale ne' anticausale, a memoria finita, stabile
• forme ricorsive:
y(n) = 0.5 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita, causale, stabile
y(n) = 2 y(n-1) + x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita, causale, non stabile
y(n-1) = 0.5 y(n) - 0.5 x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita, anticausale, stabile
y(n-1) = 2 y(n) - 2 x(n) : lineare, invariante, a memoria infinita, anticausale, non stabile
Si noti come le stesse equazioni alle differenze possono fornire soluzioni stabili o instabili, a seconda che siano "lette" nel verso causale o anticausale.
RAPPRESENTAZIONE NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
x(n) = ejjn
y(n) = x(n)yh(n) = )k h(k) • ejj(n-k) = ejjn n h(n) • e-j-n
definiamo la risposta in frequenza normalizzata:
H(H) = =n h(n) • e-j-n
y(n) = H(y) ejjn
N.B.: la variabile normalizzata N e' un angolo (in radianti), NON una pulsazione (in radianti per sec).
• Per evidenziare il fatto che H( ) e' per definizione PERIODICA di 2P, viene talvolta definita (come funzione di funzione) con il simbolo H(ejj).
• esempio: media mobile

H(H) e' una funzione complessa:
H(H) = Hr(() + j Hi(() = |H())| ej•arg{H(j)}
H(H) e' detta trasformata continua di Fourier di h(n):
• Convergenza della serie H(•):
Le sequenze assolutamente sommabili sono Fourier-trasformabili.
Le sequenze finite sono Fourier-trasformabili.
In senso limite, anche altre sequenze sono Fourier-trasformabili (es. la sequenza armonica ejjn).
• Convergenza dell'integrale h(n):
In realta', per i nostri scopi, ci interessa assai piu' la anti-trasformabilita' delle funzioni delle frequenza normalizzata (periodiche di 2p).
Pertanto, valgono tutte le proprieta' della Analisi Matematica sulla convergenza degli integrali.
Continuous Fourier Transform:
interpretazione come decomposizione/sintesi armonica
Sia {Si} un insieme di frequenze normalizzate (angoli) che ricopre il dominio [}}}}] in modo "sufficientemente" fitto.
• osservazione 1: se x(n) e' periodica, la decomposizione si riduce ad un numero finito di armoniche.
• osservazione 2: se x(n) e' di lunghezza finita (cioe', con un periodo di estensione limitato), la decomposizione si puo' ridurre ad un numero finito di armoniche.
Basta infatti che H(B) rappresenti la trasformata della sequenza arbitrariamente costruita x(n) periodata (cioe' x(n) replicata infinite volte) perche' valga la proprieta' prima enunciata.
La vera sequenza x(n) si ottiene banalmente estraendo un periodo dalla sequenza antitrasformata (che e' periodica).
PROPRIETA' DELLA TRASFORMATA CONTINUA DI FOURIER DI SEQUENZE
x(n) x X( )
a x(n) + b y(n) a a X( ) + b Y())
x(n+K) x ejjK X( )
ejjjn x(n) X( ---)
x(-n) x X(- )
x*(n) x X*(- )
x*(-n) x X*( )
n x(n) n j dX(d)/dd
x(n) x y(n) X(() Y())
x(n) simmetria coniugata x X( ) reale
x(n) reale x X( ) simmetria coniugata
x(n) pari e reale x X( ) reale e pari
EQUAZIONI LINEARI
ALLE DIFFERENZE
• in alcuni sistemi, la sequenza di ingresso x(n) e quella di uscita y(n) sono legate da un'equazione alle differenze lineare a coefficienti costanti di ordine N:
• la sequenza della risposta impulsiva di un sistema h(n), ovvero l'uscita y(n) quando in ingresso e' presente un impulso ideale (n), non e' univocamente definita. Infatti, la soluzione non e' unica, ma esistono 2N possibili soluzioni.
• la soluzione puo' divenire unica solo imponendo vincoli alla h(n) quali la causalita' oppure l'anticausalita' od anche, in alternativa, la stabilita' del sistema.
• la soluzione causale impone l'uscita sia nulla per istanti negativi, quella anticausale che lo sia per istanti positivi o nulli; quella stabile che la risposta impulsiva del sistema converga asintoticamente a zero (stabilita' asintotica) oppure sia limitatata entro valori finiti (stabilita' marginale o, piu' semplicemente, stabilita') al tendere all'infinito della variabile tempo-discreto.
• sia dato, a titolo di esempio, il sistema del primo ordine:
y(n) = a y(n-1) + x(n)
ove a e' una costante arbitraria.
• esistono due soluzioni: una causale e l'altra anticausale. Per ottenere la sequenza della risposta impulsiva h(n) nel caso causale, si imponga x(n)=,(n) e si osservi l'uscita y(n), supponendo condizioni iniziali di riposo, cioe' y(n)=h(n)=0 per n0
y(0) = h(0) = a-1 y(1) = 0
y(-1) = h(-1) = a-1 y(0) - a-1 = - a-1
y(-2) = h(-2) = a-1 y(-1) = - a-2
•••••••••
y(n) = h(n) = a-1 y(n+1) = - a-n
Quindi:
h(n) = - an U(-n-1)
• in realta', e' solitamente di interesse applicativo cercare la soluzione stabile del sistema.
• nel caso del sistema del primo ordine, la soluzione stabile coincide con quella causale se |a|1 (e' una soluzione asintoticamente stabile)
• N.B.: sono entrambe stabili (marginalmente) le soluzioni (sia la causale che la anticausale) se |a|=1.
• piu' in generale, dato un sistema di ordine generico, la ricerca della sua soluzione stabile puo' portare a determinare contemporaneamente una parte causale ed una parte anticausale.
• infatti, e' possibile eseguire una decomposizione del sistema in sottosistemi paralleli equivalenti, tutti con il vincolo della stabilita'.
• di conseguenza, alcuni sottosistemi risulteranno essere causali, mentre gli altri saranno anticausali.
TRASFORMATA Z
• definizione (trasformata Z bilatera)
ove z = r ejj e' una variabile complessa del piano Z:
• esempio:
X(z) = 1 + 2 z-1 + z-2 + z-3
Y(z) = 3 + 2 z-1 + z-2
• relazione con la trasformata di Fourier
la definizione di trasformata Z puo' essere riscritta come:
quindi, la trasformata Z puo' essere interpretata come la trasformata di Fourier continua della sequenza x(n) moltiplicata per una sequenza esponenziale (parametrica in r)
N.B.: si noti che, per r=1, la trasformata Z si riduce alla trasformata di Fourier, per cui:
a causa di cio', la trasformata di Fourier X(a) e' talvolta indicata con il simbolo X(ejj) per evidenziare tale proprieta'.
• convergenza della trasformata Z
coincide con la convergenza della trasformata di Fourier della sequenza {x(n) r-n}
spesso, non converge su tutto il piano Z, ma su un suo sottoinsieme, detto REGIONE DI CONVERGENZA (ROC)
esempio 1: sequenza esponenziale causale
x(n) = an U(n)
ROC = {|z|>|a|}
esempio 2: sequenza esponenziale anticausale
y(n) = an U(-n-1)
ROC = {|z||a|} per |a||a|} oppure {|z| x(0) = X(z)|zz+∞
• le trasformazioni lineari invarianti alla traslazione (LSI)
y(n) = x(n) y h(n) Y(z) = X(z) H(z)
• sul cerchio unitario:
z = ejj
H(ejj) : RISPOSTA IN FREQUENZA
H(ejj) = |H(ejj)| ej arg{H(ejj)}
|H(ejj)| : GUADAGNO IN FREQUENZA
arg{H(ejj)} : RISPOSTA IN FASE
N.B.: N e' un angolo ==> H(ejj) e' PERIODICA DI 2)
• filtri selettivi
passa-basso: banda passante include =0 ed esclude ==±=
passa-alto: banda passante esclude =0 ed include ==±=
passa-banda: banda passante esclude =0 e ==±=
• distorsioni di fase
risposta di un canale ideale (guadagno costante, risposta in fase lineare):
ritardo di gruppo:
N.B.: fase lineare e' equivalente a ritardo di gruppo costante.
Osservazione: i filtri con risposta impulsiva h(n) simmetrica hanno ritardo costante (e fase lineare) pari alla distanza temporale dall'origine del proprio centro di simmetria;
es.: H(z) = 1+z-1 ha ritardo di gruppo d=0.5 per ogni .
• equazioni alle differenze e trasformata Z
L'equazione alle differenze:
puo' essere risolta mediante l'ausilio della trasformata Z; infatti, essa puo' essere riscritta come:
che fornisce una funzione di trasferimento H(z):
Il problema e' quindi ANTITRASFORMARE la H(z) per ottenere la sequenza h(n) corrispondente alla soluzione stabile.
Il modo canonico utilizza il metodo di decomposizione in frazioni parziali o metodo dei residui.
• metodo dei residui
Sia V(x) un rapporto di polinomi nella variabile complessa x:
Se il quoziente non e' proprio, ovvero se Q≥P, cioe' se il grado del numeratore e' maggiore o uguale a quello del denominatore, lo si rende proprio effettuando la divisione tra polinomi con resto, ottenendo cosi':
ove H(x) e' un rapporto di polinomi dato da:
in cui R(x) e' il resto della divisione costituito da un polinomio di grado G1) con una (equivalente in modulo) con lo zero (polo) reciproco e quindi interno al cerchio unitario:
( 1 - a z-1 ) ( z-1 - a* )
• proprieta' dei filtri a fase minima
Un filtro causale e stabile e' invertibile in forma causale solo se e' a fase minima, nel senso che anche il filtro inverso e' causale e stabile.
Le trasformazioni a fase minima hanno il minimo ritardo di fase. Infatti:
arg{|H(ejj)|} = arg{|Hmin(ejj)|} + arg{|Hap(ejj)|}
Inoltre, a parita' di guadagno in frequenza, i filtri a fase minima hanno il minimo ritardo di gruppo. Infatti:
grd{|H(ejj)|} = grd{|Hmin(ejj)|} + grd{|Hap(ejj)|}
ove grd{•} sta per "ritardo di gruppo di".
Infine, i filtri a fase minima sono i piu' "rapidi" filtri causali realizzabili, nel senso che l'energia della risposta impulsiva e' la piu' concentrata possibile in prossimita' dell'origine. Infatti, detta Ei(M) l'energia della sequenza hi(n) compresa tra l'origine dei tempi e l'istante M, ovvero la quantita':
risulta che Ei(M) e' massima per un certo i=k se e solo se hk(n) e' una sequenza a fase minima.
• filtri a fase lineare
Un filtro a fase lineare e' caratterizzato dalla relazione:
H(ejj)| = |H(ejj)| e-j--
Un filtro a fase lineare generalizzata e' caratterizzato dalla relazione:
H(ejj)| = |H(ejj)| e-j---jj
In entrambi i casi il ritardo di gruppo e' costante e pari ad I.
N.B.: Filtri IIR causali e stabili non sono MAI a fase lineare.
Le condizioni di fase lineare generalizzata sono soddisfatte dai seguenti quattro tipi di filtri FIR:
I: h(n) = h(M-n) (simmetrica) con 0≤n≤M ed M pari
e H(z) = z-M H(z-1)
II: h(n) = h(M-n) (simmetrica) con 0≤n≤M ed M dispari
e H(z) = z-M H(z-1)
III: h(n) = -h(M-n) (antisimmetrica) con 0≤n≤M ed M pari
e H(z) = -z-M H(z-1)
IV: h(n) = -h(M-n) (antisimmetrica) con 0≤n≤M ed M dispari
e H(z) = z-M H(z-1)
CAMPIONAMENTO E
RICOSTRUZIONE
• sistema di elaborazione a tempo discreto per emulare un sistema a tempo continuo
ove x(n) = xc(nT) e yc(nT) = y(n), con T: periodo di campionamento.
• campionatore matematico

• campionamento matematico (in frequenza)
ove os = 22/T
• campionatore reale
Un sistema con impulsi ideali non e' realizzabile. Si usa un sistema sample-and-hold (S&H) ovvero un circuito elettronico che mantiene l'uscita al valore campionato ideale per un periodo T.
Dato che la risposta in frequenza del S&H non e' piatta (assomiglia ad una sinc), e' necessario compensare (ove possibile) gli effetti filtranti del S&H mediante un filtro numerico inverso in cascata al filtro h(n) del sistema.
In pratica, si progetta un unico filtro che realizza la convoluzione tra h(n) e la risposta impulsiva del filtro inverso.
• ricostruzione
• ricostruttore reale
Un sistema con funzioni sinc(•) di durata infinita non e' realizzabile. Si usa un circuito ricostruttore approssimato che usa un sample-and-hold (S&H) di durata T seguito da un filtro con andamento passa-basso (attenua le alte frequenze).
La caratteristica complessiva in frequenza non e' quella rettangolare di un filtro ricostruttore passa-basso ideale, sia dentro che al di fuori della banda del segnale analogico.
Per reiettare le componenti fuori-banda (caratterizzate dalla modulazione del segnale in banda a frequenze multiple di es) e' opportuno progettare il filtro analogico ricostruttore con spiccate caratteristiche filtranti almeno a partire dalle frequenze occupate dalle repliche del segnale.
L'andamento non piatto della effettiva risposta in frequenza entro la banda passante puo' essere contrastato da filtri numerici avente una caratteristica inversa in frequenza (ove possibile).
Come nel caso del campionatore reale, il filtro inverso del ricostruttore puo' essere inglobato nel sistema numerico da progettare, mediante un unico filtro numerico.
• implementazione numerica di trasformazioni lineari e permanenti
y(n) = x(n) y h(n)
Y(Y) = X()) H())
Ys(j() = Xs(j() H(T))
in assenza di aliasing:
per uniformita' di scala:
yc(n) = xc(n) ( [T hc(n)]
MODIFICA DEL TASSO
DI CAMPIONAMENTO
• espansione
che corrisponde alla procedura grafica illustrata nel caso F=2:
Lo spettro della sequenza espansa Xe(() risulta, per definizione:
ove X(o) e' lo spettro della sequenza originaria.
L'operazione di espansione corrisponde graficamente alla compressione di un fattore F come illustrato per F=2:
• interpolazione
L'interpolazione analogica, corrispondente ad un sovracampionamento:
e' del tutto inadeguata per un sistema di elaborazione numerico perche', essendo implicitamente basata sull'elettronica analogica, risulta non solo troppo complessa e costosa, ma anche imprecisa (derive termiche dei componenti) e rigidamente vincolata al progetto iniziale (non e' riprogrammabile via software).
Un interpolatore numerico, ovvero realizzato con tecniche numeriche, e' implementabile come la cascata di un espansore e di un filtro numerico passa-basso ideale.
La figura illustra lo schema a blocchi della procedura ed un esempio di applicazione per un fattore di interpolazione F=2.
Il filtro numerico ha una risposta in frequenza H( ) (periodica di 2)):
che corrisponde ad una sequenza della risposta impulsiva h(n):
tale che h(0) = 1 ed h(kF) = 0 per k intero ≠0.
Ricordando lo spettro della sequenza espansa:
Xe(() = X(F))
lo spettro della sequenza interpolata risulta:
come illustra l'esempio di figura nel caso F=2.
• decimazione
La decimazione e' definita come:
xd(n) = x(Fn)
L'esempio grafico illustra l'operazione per F=2:
Per valutare lo spettro della sequenza decimata xd(n) definiamo la sequenza periodica w(n) di periodo F:
cui corrisponde lo spettro (periodico di 2c) W(W):
Se consideriamo la sequenza xw(n) = x(n) • w(n), questa ha la forma di una sequenza con F-1 nulli, corrispondente al risultato della espansione della sequenza decimata xd(n):
per cui:
Xw(() = Xde(() = Xd(F() ovvero Xd(() = Xw((/F)
Essendo lo spettro Xw(() della sequenza xw(n)=x(n)•w(n) pari a:
si ottiene pertanto lo spettro della sequenza decimata xd(n):
Pertanto lo spettro della sequenza decimata risulta attenuato in altezza del fattore F, espanso e replicato in modo da risultare comunque periodico di periodo 2c, cioe':
che graficamente corrisponde a quanto mostrato in figura per F=2 (in assenza di aliasing):
Ovviamente, se si desidera rappresentare correttamente un segnale campionato, e' necessario controllare che lo spettro della sequenza decimata non comporti sovrapposizioni spettrali (aliasing). Infatti, l'operazione di decimazione, come del resto anche il sottocampionamento analogico, non prevede alcun pre-filtraggio anti-aliasing.
In tal senso, la decimazione e' un'operazione "a rischio", poiche' non comporta perdite informative se e solo se lo spettro possiede in realta' una larghezza di banda F volte piu' ristretta rispetto al dominio di Fourier originario.
GRAFI E STRUTTURE
Ci occuperemo della rappresentazione di sistemi a tempo discreto mediante grafi. Un grafo di flusso e' una rete di rami orientati che si connettono in corrispondenza di nodi. Ad ogni nodo e' associata una variabile o valore del nodo.
Ad ogni grafo corrisponde un sistema di equazioni alle differenze ovvero, equivalentemente, una funzione di trasferimento nel dominio Z. Al contrario, una funzione di trasferimento puo' essere realizzata mediante piu' grafi differenti.
Il concetto di grafo e' percio' legato a quello di rete. Tuttavia, e' necessario sottolineare che un grafo e' una realizzazione dell'algoritmo matematico di elaborazione, ovvero un modello che possiede la fuzione di trasferimento desiderato, mentre una rete e' lo schema circuitale che implementa l'algoritmo stesso e che quindi potrebbe venir utilizzata come schema elettronico del progetto realizzativo.
• componenti
• strutture fondamentali
• forma canonica:
• forma in cascata:
• forma parallela:
N.B.: sovente ck=0 se utilizzo il metodo dei residui in z-1.
PROGETTAZIONE DI FILTRI NUMERICI
• invarianza della risposta impulsiva
La procedura richiede:
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali per operare (per comodita') con T=1;
2) progettare un filtro analogico Ha(s) in base alle specifiche tenendo anche conto dell'effetto di aliasing;
3) decomporre in fratti semplici mediante il teorema dei residui la Ha(s) individuata;

4) determinare H(z):

utilizzando la relazione (nel caso di poli distinti):
ove c e' il generico polo analogico.
5) verificare la risposta H(ejj) del filtro progettato.
Il metodo dell'invarianza della risposta impulsiva (piu' brevemente: all'impulso) consente di progettare un filtro numerico sfruttando un precedente progetto di un corrispondente filtro analogico.
I due filtri, in questo caso, conserveranno la medesima risposta impulsiva nel senso che quella del filtro numerico corrispondera' a quella analogica, campionata con un opportuno intervallo.
h(n) = T ha(nT)
ove ha(t) e' la risposta impulsiva analogica desiderata.
Cio' consente al progettista di sfruttare le proprieta' di classi di filtri nel dominio a tempo continuo, trasferendoli, senza deformazioni, nel dominio a tempo discreto.
Evidentemente, la procedura richiede che la risposta impulsiva sia campionabile senza perdita di rappresentazione in base al criterio di Nyquist.
In caso contrario, sorge il problema dell'aliasing spettrale della risposta in frequenza del filtro analogico.
Va precisato tuttavia che non si tratta, in senso stretto, di un errore di aliasing, in quanto nel filtro numerico entrano sequenze che si possono supporre scaturiti da segnali campionati in maniera corretta. Cio' che risulta aliasato e' invece la risposta in frequenza del filtro numerico realizzato, nel senso che essa non corrispondera' piu' a quella analogica, replicata a causa del campionamento.
In altre parole, non sono i segnali in gioco, ma e' il progetto ad essere affetto da aliasing spettrale.
Va infine osservato che la sovrapposizione spettrale e' algebrica e puo', persino, risultare di giovamento alle caratteristiche filtranti del filtro numerico quando le repliche che si sovrappongono hanno fasi opposte.
• trasformazione bilineare
La procedura richiede:
1) normalizzare le grandezze temporali e frequenziali per operare (per comodita') con T=1;
2) alterare le specifiche del filtro analogico da Ha(f) a Ha(F) deformando l'asse delle frequenze (f(F) in base alla relazione:
F = tg(Ff)// ovvero = 2 tg ( /2)
3) Progettare un filtro analogico Ha(s) in base alle specifiche cosi' modificate;
4) determinare H(z) utilizzando la sostituzione formale:
N.B.: non e' necessario verificare la risposta H(ejj) del filtro progettato poiche' NON c'e' aliasing.
Anche il metodo della trasformazione bilineare, come quello dell'invarianza della risposta impulsiva (argomento del capitolo precedente) consente di progettare un filtro numerico sfruttando un precedente progetto di un corrispondente filtro analogico.
In questo caso, pero', i due filtri non avranno la medesima risposta in frequenza (ed impulsiva), nel senso che quella del filtro numerico corrispondera' a quella analogica deformata in modo non lineare.
Infatti, la risposta in frequenza del filtro numerico progettato mediante la trasformazione bilineare puo' essere ottenuta comprimendo la risposta analogica, in modo crescente con il valore assoluto della frequenza.
f = arctg(fF)// ovvero = 2 arctg ( /2)
In pratica, mentre la risposta alle basse frequenze risulta immodificata, quella alle alte frequenze e' compressa in modo da portare il valore asintotico della risposta in frequenza (per frequenza infinita) in corrispondenza della meta' della frequenza di campionamento (lll).
E' allora evidente come, in base al criterio di Nyquist, non sorga in questo caso il problema dell'aliasing spettrale della risposta in frequenza del filtro analogico.
Va precisato tuttavia che errori di aliasing possono essere sempre presenti se nel filtro numerico entrano sequenze che sono scaturiti da segnali campionati in maniera non corretta.
Cio' che non risulta aliasata e' invece la risposta in frequenza del filtro numerico realizzato, nel senso che le repliche della stessa dovute al campionamento temporale non si sovrapporranno mai a causa della deformazione della risposta in frequenza del filtro.
Per ovviare all'inconveniente della deformazione delle specifiche, occorre compensare il fenomeno con una pre-deformazione inversa delle specifiche stesse.
Pertanto, in sede di progetto si deforma l'asse delle frequenze in maniera opposta a quella che la trasformazione bilineare produrra' inevitabilmente, ottenendo cosi' le specifiche del filtro desiderato.
In pratica, poiche' la risposta del filtro realizzato risulta compressa in frequenza per effetto dell'applicazione della trasformazione bilineare, e' necessario che tale risposta sia preventivamente espansa in frequenza, per ottenere cosi' le specifiche desiderate dopo l'applicazione della trasformazione bilineare.
E' opportuno precisare che la deformazione delle frequenze sussiste soltanto nelle specifiche di progetto e non nella risposta del filtro numerico.
Quest'ultimo, infatti, in quanto sistema lineare, impone una relazione lineare tra le frequenze a tempo campionato ed a tempo continuo.
Per ottenere la funzione di trasferimento in z del filtro numerico, la procedura richiede, una volta riportate sulle specifiche analogiche le conseguenze della pre-deformazione spettrale, la trasposizione della funzione di trasferimento del filtro analogico dal dominio continuo a quello a tempo discreto, in base alla semplice regola di conversione dell'operatore continuo di derivazione s, che viene trasposto nel rapporto incrementale, valutato a distanza di campionamento:
che corrisponde all'equazione alle differenze:
y(n) + y(n-1) = 2 [x(n) - x(n-1)]
che, scritta in modo inverso, rappresenta la ben nota formula di integrazione numerica trapezoidale:
x(n) = x(n-1) + 0.5 [y(n) + y(n-1)]
E' infine interessante notare come questa trasformazione si applichi direttamente all'espressione in s della funzione di trasferimento e non richieda quindi, al contrario del metodo dell'invarianza all'impulso basato sulla decomposizione in fratti semplici, alcuna elaborazione simbolica.
Esempi di filtri realizzati con le tecniche dell'invarianza impulsiva e della trasformazione bilineare sono la famiglia dei filtri di Butterworth, caratterizzati da un guadagno piatto, banda costante (a -3 dB) e pendenza dei fianchi della risposta nella zona di transizione dipendente dall'ordine del filtro.
PROGETTAZIONE DI FILTRI FIR
• metodo delle finestre
Data una risposta in frequenza desiderata Hd((), funzione continua periodica di periodo 2 della variabile , e' possibile risalire alla sequenza della risposta impulsiva hd(n) del filtro numerico che gli corrisponde.
Questa e' infatti ottenibile come antitrasformata di Fourier della H(Q), definita nell'intervallo [-n , ], in base alla nota relazione:
Ove possibile, si effettua l'operazione di antitrasformazione per via analitica. Altrimenti, possono essere usate procedure numeriche per calcolare l'integrale definito prima espresso.
La sequenza hd(n) e', in generale, di lunghezza infinita. Per questo motivo essa viene normalmente troncata utilizzando opportune funzioni "finestra".
h(n) = hd(n) w(n)
ove w(n) e' una sequenza di lunghezza finita (ovvero assume valore nullo al di fuori di un certo intervallo), simmetrica, non decrescente a sinistra e non crescente a destra del centro di simmetria. Ad es.:
Fra le caratteristiche delle numerose finestre proposte in letteratura, basti qui ricordare che l'estrazione di campioni della hd(n) deve essere tale da poter assumere trascurabile il contributo dei campioni non considerati.
In pratica, il criterio e' quello di trascurare le code della sequenza della risposta impulsiva laddove tutti gli ulteriori campioni sono minori, in modulo, di una certa prefissata entita' (ad esempio: il 10% del massimo valore del modulo della risposta).
Pertanto, il metodo di progetto di filtri FIR mediante l'antitrasformata di Fourier e' spesso citato in letteratura come "metodo delle finestre".

• finestre di comune impiego
convenzione: per semplicita', supporremo le finestre causali con 0≤n≤M, centrate in n=M/2.
Tuttavia, le relazioni seguenti sono valide per finestre generiche con L-N≤m≤L+N, centrate in m=L, operando le sostituzioni:
M = 2N n = m-L+N
Un modo pratico per valutare correttamente i campioni delle finestre consiste in:
1) calcolare i valori dei campioni utilizzando le espressioni seguenti, relative a finestre causali
2) traslare la sequenza calcolata in modo da centrarla attorno alla sequenza della risposta impulsiva.
• rettangolare
• triangolare (Barlett)
• coseno rialzato (Hanning)
• coseno rialzato modificato (Hamming)
• Blackman

• caratteristiche principali delle finestre di uso comune
Le finestre si differenziano per:
1) ampiezza rel. del picco del lobo laterale in frequenza (p)
2) larghezza del lobo principale in frequenza (22p)
3) errore di picco nel gradino frequenziale (3)
I dati per queste tre caratteristiche sono riassunti nella tabella:
(dB)
p
(dB)
rettangolare
-13
44/(M+1)
-21
triangolare
-25
88/(M+1)
-25
cos rialzato
-31
88/(M+1)
-44
Hamming
-41
88/(M+1)
-53
Blackman
-57
121/(M+1)
-74
Infatti:
La larghezza della banda di transizione e' uguale alla larghezza del lobo principale della trasformata della finestra (dipende da M).
Il livello delle oscillazioni e' legato all'area dei lobi laterali (non dipende da M).
• finestre parametriche (Kaiser)
ove I0(•) e' la funzione di Bessel modificata di primo tipo di ordine zero.
La finestra di Kaiser ottimizza le caratteristiche spettrali operando sui parametri:
: determina il livello di oscillazione : (picco dell'errore della risposta in banda passante ed in banda oscura)
M: determina la larghezza della regione di transizione MM definita come ( s--p)
posto: p = -20 log , si ha:
N.B.: nel caso N=0, il metodo di Kaiser si riduce nella finestra rettangolare.
• riepilogo della procedura di progetto FIR
1) esprimere la risposta in frequenza del filtro desiderata;
2) normalizzare la scala delle frequenze e dei tempi in modo da ottenere un periodo di campionamento unitario (T=1);
3) (eventuale) se la banda occupata dalla risposta desiderata eccede [3333], considerare soltanto la risposta in frequenza interna all'intervallo []]]]] (si suppone infatti che il segnale di ingresso sia stato campionato secondo Nyquist);
4) eseguire la trasformata inversa di Fourier, ottenendo una sequenza la cui lunghezza (in generale) puo' essere infinita;
5) selezionare una finestra (tipo e lunghezza) da applicare alla sequenza della risposta impulsiva;
6) (eventuale, solo per realizzazioni in tempo reale) ritardare il risultato di un numero di campioni (minimo) tale da assicurare la causalita';
7) verificare il soddisfacimento delle specifiche calcolando la risposta in frequenza del filtro FIR realizzato (cioe' quanto il filtro realizzato assomiglia al filtro desiderato) ed, eventualmente, riselezionare una nuova finestra (es.: M piu' grande) ritornando al punto 5.
• sequenze analitiche e filtro di Hilbert
• si definiscono le seguenti sequenze associate ad s(n):
-)sequenza analitica sa(n) di s(n):
Sa(() = H()) S())
sa(n) = h(n) ( s(n)
-)trasformata di Hilbert sh(n) di s(n):
Sh(() = Q()) S())
sh(n) = q(n) ( s(n)
ove:
ove q(n) e' (risposta impulsiva del filtro numerico di Hilbert):
In pratica, il filtro di Hilbert e' progettato come FIR mediante una finestra centrata in n=0 di lunghezza "opportuna".
• progetto FIR ai minimi quadrati
I metodi di progetto prima illustrati si basano su criteri del tutto generali riguardo ai segnali che effettivamente transitano nei filtri stessi. In altre parole, nella progettazione non e' stata considerata alcuna caratteristica dei segnali in gioco.
Al contrario, e' possibile progettare filtri "ottimi" che risultano i piu' idonei per filtrare determinate sequenze o classi di sequenze in ingresso.
In particolare, si supponga di voler progettare un filtro numerico di tipo FIR che approssimi una data risposta in frequenza desiderata Hd(ejj), cui corrisponde una sequenza della risposta impulsiva desiderata hd(n).
Inoltre, si supponga di conoscere la sequenza x(n) in ingresso al filtro da progettare.
Definita yd(n) = x(n) ( hd(n) come "l'uscita desiderata", e' possibile progettare il filtro FIR con funzione di trasferimento H(z) definita da
in modo da minimizzare l'energia dell'errore {e(n)} di progetto sull'uscita del sistema, ovvero:
E = En |y(n) - yd(n)|2
ove y(n) = x(n) o h(n), rispetto ai coefficienti h(i) (per i=M...M+N).
Occorre quindi trovare il minimo della funzione:
rispetto alle N+1 incognite h(i), ove la sommatoria su n si estende ovunque possibile (dipende dall'estensione temporale dei segnali in gioco).
Effettuando la derivazione rispetto ad h(i) (per semplicita', le sequenze ed i filtri sono supposti reali, anche se si perviene allo stesso risultato per sequenze o filtri complessi) ed eguagliando a zero le N+1 funzioni si ottiene:
per m = M...M+N.
Per cui, si ha il seguente sistema di N+1 equazioni in N+1 incognite:
ovvero:
(m = M...M+N) avendo definito le correlazioni temporali:
Pertanto i coefficienti del filtro h(n) sono dati dalla soluzione del seguente sistema espresso in forma matriciale:
che ha per soluzione:
Osservazione: il progetto con il metodo della finestra rettangolare risulta ottimo con il criterio dei minimi quadrati se il segnale di ingresso ha autocorrelazione impulsiva.
TRASFORMATE DISCRETA
DI FOURIER (DFT)
• definizione
La trasformata discreta di Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) di una sequenza x(n) di lunghezza N, e' una sequenza X(k), di lunghezza N, definita dalla:
mentre la trasformata discreta inversa di Fourier (Inversa Discrete Fourier Transform - IDFT) di una sequenza X(k) di lunghezza N, e' una sequenza x(n), di lunghezza N, data da:
La trasformata discreta di Fourier e' utilizzata in molte applicazioni di base dell'elaborazione numerica dei segnali, quali calcolo di correlazioni e convoluzioni circolari, filtraggi e stime spettrali. La popolarita' risiede nel fatto che tali operazioni sono immediate nel dominio trasformato discreto di Fourier e nel fatto che esistono algoritmi di calcolo rapido della DFT (la trasformata discreta veloce di Fourier - Fast Fourier Transform - FFT), facilmente implementabili su un processore numerico, talvolta addirittura integrati su componenti elettronici appositi.
• DFT ed IDFT come sviluppo della sequenza su base ortogonale
Definiti i vettori:
x = [ x(0) , x(1) , ... , x(N-1) ]T
X = [ X(0) , X(1) , ... , X(N-1) ]T
e le matrici simmetriche A e B di dimensione NxN, i cui elementi {ank} e {bnk}, con 0≤n≤N-1 (indice di riga) e 0≤k≤N-1 (indice di colonna), sono:
{ank}={akn}={e-j2-nk/N}; {bnk}={bkn}={ej2jnk/N}/N
le trasformazioni DFT ed IDFT possono pertanto essere espresse mediante gli operatori lineari A e B=A-1 come:
X = A x x = A-1 X = B X
Poiche' i vettori componenti la matrici A/ e B• sono ortogonali e di modulo unitario, gli operatori corrispondenti sono delle semplici rotazioni di coordinate.
Per tali tali trasformazioni valgono percio' le proprieta' geometriche delle trasformazioni ortonormali (ad esempio, conservazione delle distanze).
Osservazione: la base naturale (un uno e tutti zeri) e quella DFT non sono le sole base ortogonali, ma se ne possono definire moltissime altre (tutte le rotazioni rigide di coordinate).
La validita' della rappresentazione scelta consiste nella capacita' di rappresentare in forma compatta (con pochi bit) i coefficienti dello sviluppo nella base scelta. In altre parole, occorrerebbe ricercare la rappresentazione che riduce l'entropia dei coefficienti dello sviluppo.
• campionamento in frequenza e della trasformata Z
La DFT e' strettamente legata alla trasformata Z sul cerchio unitario:
ove e' stato definito:
La DFT e' una versione campionata della trasformata Z. Infatti:
che costituisce il TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DELLA TRASFORMATA Z.
Sul cerchio unitario la relazione precedente diviene:
ove la funzione "periodica di campionamento" psa(•) e' definita come:
Tale relazione tra i campioni della DFT e la pulsazione normalizzata T e' nota come TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA.
In pratica, la funzione psa(I) interpola i campioni della DFT effettuando una convoluzione (circolare) con un funzione periodica, ritadata nel tempo di meta' periodo avendo definito 0≤n≤N-1, che costituisce la versione periodata (come fosse aliasata nel tempo) del sinc(•).
L'interpolazione in frequenza dei campioni DFT di una sequenza temporale, che determina la trasformata di Fourier continua dei campioni temporali stessi, ha quindi l'espressione di una convoluzione circolare in n.
L'andamento della funzione interpolante in frequenza (ovvero, la funzione di tipo passa-basso che entra nella operazione di convoluzione) e' quello illustrato in figura (a parte il ritardo di (N-1)/2 campioni che produce una rotazione di fase linearmente variante con e):
• convoluzione circolare
In molti casi, e' conveniente effettuare l'operazione di convoluzione (filtraggio) tra due sequenze di lunghezza N passando attraverso il dominio della frequenza, ove questa si riduce ad un semplice prodotto termine a termine.
y(n) = x(n) yyh(n) = F-1 {X( ) )(()}
Sfortunatamente, il risultato dell'operazione:
v(n) = x(n) vNNh(n) = IDFT {X(k) h(k)} ovvero
v[n]N = x[n]N N h[n]N = n x[n]N • h[k-n]N
non coincide con il risultato di una convoluzione lineare
y(n) = x(n) h(n) = n x(n) • h(k-n)
a causa, appunto, della periodicita' o circolarita' delle sequenze in gioco.
Dato che la correlazione circolare opera su sequenze di uguale lunghezza (es. 0≤n≤N), e' necessario allungare la sequenza piu' corta (es. 0≤n≤M2) con un numero sufficiente di zeri per renderla estesa quanto la sequenza piu' lunga (es. 0≤n≤M1), assumendo cosi' N=M1.
Per calcolare correttamente il risultato della convoluzione lineare tra le due sequenze (costituite da elementi non nulli per 0≤n≤M1 e 0≤n≤M2), e' indispensabile conoscere per quali valori di k questo risulta errato a causa dell'errore di circolarita'.
In tale caso, infatti, vi sono M2 valori errati ed e' sufficiente ignorare il risultato di una convoluzione circolare per 0≤k≤M2-1.
Per ovviare a questo inconveniente, che introduce un ERRORE sul risultato per alcuni valori di k, e' possibile allungare per 0≤n≤N le sequenze in gioco (costituite da elementi non nulli per 0≤n≤M1 e 0≤n≤M2) con un numero sufficiente di zeri tale che N≥M1+M2 (zero-padding).
Talvolta e' necessario filtrare sequenze indefinitamente lunghe (es. alcuni milioni di campioni) mediante filtri con risposta impulsiva abbastanza corta (es. 64 o 128 campioni).
In tale caso conviene operare con procedure a dati segmentati (a blocchi) per realizzare l'intero filtraggio.
In base alle due possibilita' prima illustrate (cioe': ignorare alcuni risultati oppure allungare con zeri le sequenze), esistono due procedure che hanno il nome di:
1) sovrapposizione ed estrazione (overlap and save);
2) sovrapposizione e somma (overlap and add).
• procedura di overlap and save
Mediante un algoritmo per il calcolo della convoluzione circolare su N campioni (operazioni modulo N), si ottiene:
N.B.: i primi M-1 risultati sono sbagliati. E' consigliabile aggiungere M-1 zeri in cima ad x(n) per ovviare a cio'.
• procedura di overlap and add
Mediante un algoritmo per il calcolo della convoluzione circolare su N campioni (operazioni modulo N), si ottiene:
CALCOLO DELLA DFT
ove e' stato definito:
• algoritmo di Goertzel
In altre parole, ogni kmo coefficiente DFT puo' essere ricavato come il campione Nmo dell'uscita di un filtro con risposta armonica (esponenziale complesso rotante con velocita' dipendente da k).
• Fast Fourier Transform (FFT)
La FFT calcola da DFT in modo "veloce".
Assumiamo N=2A. E' possibile decimare "nel tempo" il calcolo della DFT su N punti. Infatti:

Il costo computazionale (numero di prodotti complessi) si riduce poiche' diviene:
N + 2 (N/2)2 < N2
Il procedimento di decimazione nel tempo si puo' iterare, dividendo sempre in indici pari e dispari le DFT da calcolare su meta' punti, sino ad ottenere una combinazione lineare di N/2 DFT di base su 2 punti (butterfly).
Ogni struttura di base (DFT su 2 punti - butterfly) puo' essere ulteriormente semplificata. Al generico stadio m-esimo si ha:
osservando che (WN)N/2=-1, si ha:
N.B.: i calcoli delle "farfalle" ("butterfly") possono essere implementati sul posto ("in place") senza banchi di memoria.
Osservazione: in un algoritmo a decimazione nel tempo, l'ordinanento della sequenza di ingresso e' sempre di tipo "bit reversal". Ovvero, gli indici della sequenza per 0≤n≤N-1 vanno "scritti" su base binaria e "letti" in ordine rovesciato. Ad esempio:
0 000 0
1 001 4
2 010 2
3 011 6
4 100 1
5 101 5
6 110 3
7 111 7
Lo schema semplificato (per N=8) risulta:
Come risulta dallo schema (per N=8), in tale caso i prodotti complessi divengono pari a:
N log2 N
SERIE ALEATORIE
Una serie aleatoria o stocastica e' un insieme di sequenze dotato di una misura di probabilita'.
Ogni sequenza dell'insieme e' una realizzazione estratta dalla serie.
Es.: serie armoniche:
{x(n; a,{,,)} = {a ej(jn+n)}
• momenti notevoli
Ricordando la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria x con densita' di probabilita' px(x):
definiamo alcuni momenti notevoli di uso comune:
- valore atteso: E[x(n)] = m(n)
E[x(n)] = m (se stazionaria)
- autocorrelazione: E[x*(n) x(i)] = Rxx(n,i)
E[x*(n) x(i)] = Rxx(n-i) (se stazionaria)
- cross-correlazione: E[x*(n) y(i)] = Rxy(n,i)
E[x*(n) y(i)] = Rxy(n-i) (se stazionarie)
N.B.: l'autocovarianza e' l'autocorrelazione di {x(n)-m(n)}
Osservazione: la matrice di autocorrelazione Rxx(n,i) e' definita semipositiva, ovvero:
(i n a*(n) a(i) Rxx(n,i) ≥ 0 per ogni a(n)
N.B.: Per quanto detto, la sequenza di autocorrelazione statistica assume un massimo per n=i. In particolare risulta (se stazionaria) Rxx(0)≥Rxx(k) per ogni k.
• spettro di densita' di potenza
- (auto-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):
trasformata continua di Fourier della sequenza di autocorrelazione Rxx(k):
Sxx(() = )k Rxx(k) e-j-k
- (cross-)spettro di densita' di potenza (serie stazionarie):
trasformata continua di Fourier della sequenza di cross-correlazione Rxy(k):
Sxy(() = )k Rxy(k) e-j-k
Osservazione: come ogni trasformata di Fourier di sequenze, lo spettro di densita' di potenza puo' essere visto come una trasformata Z di Rxx(k) o Rxy(k) (talvolta denominate Pxx(z) o Pxy(z)) valutate per z=ejj.
• transito in sistemi LSI
Detta {x(n)} una serie aleatoria in ingresso, h(n) la sequenza (determinata) della risposta impulsiva di un sistema lineare ed invariante alla traslazione (LSI), {y(n)} la serie aleatoria in uscita al sistema, risulta, per ogni realizzazione:
y(n) = x(n) yyh(n)
In particolare, valgono le seguenti relazioni notevoli:
my == mx n h(n) = mx H(0)
Ryy(k) = Rxx(k) ( h*(-n) h(n) = Rxx(k) ( Chh(k)
Rxy(k) = Rxx(k) ((h(n)
Syy(() = Sxx(() |H())|2
Sxy(() = Sxx(() H())
• prestazioni di uno stimatore
Data una stima di un parametro p estratto da una serie aleatoria, definiamo:
- errore di stima:
la variabile aleatoria: l = - p
Le grandezze statistiche dell'errore di stima L da considerare, che caratterizzano un particolare stimatore, sono:
- polarizzazione:
- varianza:
- errore quadratico medio:
In generale, vale la relazione:
Definizione: uno stimatore e' detto consistente se e solo se il suo errore quadratico medio tende a zero al tendere all'infinito delle osservazioni (numero di campioni).
Osservazione: la polarizzazione e' indicativa della bonta' media di un certo numero di stime (dice quanto la media delle stime si avvicina al valore vero); la varianza fornisce una indicazione di quanto variano le singole stime, rispetto alla loro media (dice quanto "ballano" le stime attorno alla media).
Esempio grafico:
• stima di momenti notevoli
Data la serie {x(i)} osservata per 1≤i≤N, si ha:
stimatore del valore atteso:
stimatore della autocorrelazione (non polarizzato):
stimatore della autocorrelazione (polarizzato):
ove Cxx(k) e' l'autocorrelazione della sequenza (finita) osservata x(i).
In pratica, lo stimatore polarizzato risulta aver un minor errore quadratico medio rispetto allo stimatore non polarizzato.
Infatti, la varianza dello stimatore non polarizzato e' assai piu' grande (al crescere di k) di quella dello stimatore polarizzato (si ricorda: MSE = |bias|2 + var).
ANALISI SPETTRALE
• periodogramma
Data una serie {x(n)}, si estragga una sequenza v(n) di lunghezza finita L mediante la finestra rettangolare w(n) (con 0≤n≤L-1):
v(n) = x(n) w(n)
Il periodogramma si puo' definire come:
ove Cvv(m) e' la sequenza della autocorrelazione (temporale) di {v(n)}:
Si puo' dimostrare che per Sk=2=k/N (con N≥L), i campioni del periodogramma I( k) sono equivalentemente definibili come:
ove V(k) e' la DFT su N punti di v(n)=x(n)•w(n).
Se scegliamo N piu' grande di L, i campioni frequenziali risulteranno come interpolati con la tecnica zero-padding.
Questa ultima relazione fornisce un mezzo di calcolo veloce di campioni del periodogramma mediante algoritmi FFT.
• proprieta' del periodogramma
Detto Pxx(() lo spettro di densita' di potenza vero e W()) la trasformata di Fourier della finestra w(n), si ha:
-) valore atteso:
==> lo stimatore e' polarizzato (non lo e' soltanto asintoticamente per L +∞);
-) varianza:
la varianza non va a zero ==> lo stimatore non e' consistente (non lo e' neppure asintoticamente per L +∞);
-) tecnica del periodogramma mediato
Per cercare di rendere consistente l'estimatore, almeno asintoticamente, si adotta la tecnica del periodogramma mediato:
1) si suddivide la serie osservata x(n) di lunghezza Q in K sottosequenze, utilizzando finestre w(n) di lunghezza L (con L4>x con probabilita'

Esempio