Teorema Rouche Capelli

Materie:Appunti
Categoria:Geometria

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Testo

TEOREMA DI ROUCHÈ-CAPELLI

Può capitare nella pratica di dover risolvere sistemi lineari in cui il numero m delle equazioni non sia uguale al numero n delle incognite. Prendiamo, ad esempio, il seguente sistema:

in cui il numero m delle equazioni è uguale a 2 e il numero n delle incognite è uguale a 3.
Ci si propone di trovare delle condizioni che ci dicano se e quando un sistema di questo tipo sia possibile (ossia ammetta soluzioni che possono essere una sola o infinite).
Consideriamo a tal proposito la matrice A dei coefficienti del sistema e la matrice completa C del sistema ottenuta da A aggiungendo la colonna dei termini noti:

Ebbene, dato che la matrice A è una sottomatrice della matrice C, il rango di A sarà sicuramente minore o uguale di quello di C; non potrebbe mai essere maggiore.
Si dimostra, a questo punto che vale il seguente Teorema di Rouchè-Capelli:
Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa C ha lo stesso rango della matrice A dei coefficienti del sistema.
Questo teorema, dunque, ci garantisce che:
• Se A e C hanno lo stesso rango, il sistema è possibile;
• Se A e C hanno rango diverso, il sistema è impossibile.
Tuttavia, il teorema enunciato, consente solo di stabilire se il sistema è o no compatibile, ma non ci fornisce la regola pratica per trovare tutte le soluzioni di un sistema.
Vediamo quindi di ricostruirla:
Premesso che il sistema da risolvere sia compatibile (ossia ammetta soluzione, in virtù del teorema appena enunciato) e indicando con k il rango della matrice dei coefficienti A dovremo:
• Considerare solo k delle m equazioni del sistema, trascurando le altre. La scelta non è arbitraria ma deve essere fatta in modo che il rango della matrice dei coefficienti delle equazioni prescelte valga proprio k. Si considererà quindi un nuovo sistema di sole k equazioni in n incognite.
• In questo nuovo sistema si considereranno solo k delle n incognite, tali che il determinante dei loro coefficienti sia diverso da zero. Le incognite non considerate diventano parametri (cioè ad esse si attribuiranno valori arbitrari).
• Si è quindi ottenuto un sistema di k equazioni in k incognite (con n-k parametri) risolvibile con il teorema di Kramer.
• I valori trovati costituiscono costituiscono la soluzione del sistema.
Dal procedimento illustrato segue che:
• Se k

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