Discussione sui sistemi

Materie:Appunti
Categoria:Economia

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Testo

RISOLUZIONE E DISCUSSIONE SISTEMI LINEARI
risoluzione
SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n S n
Regola di Cramer : Se il det (A) R 0 esiste una sola soluzione (x,y,z)
x = y = z =
SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m S n
Regola di Rouchè-Capelli:
il sistema ammette soluzioni (una o infinite) se il rango della matrice dei coefficienti e il rango di quella completa sono uguali.
Le soluzioni sono L n-p
discussione
Stabilire le condizioni cui debbono soddisfare uno o più parametri affinchè il sistema ammetta :
un’unica soluzione
o infinite soluzioni
o nessuna soluzione.
Dobbiamo in ogni caso applicare il teorema di Rouchè-Capelli anche se con diverse sfumature.
Partiamo da due esempi
SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n S n
ad esempio
det(A)== ab+a+ab-b-a3-b = 2ab-2b+a-a3-b = 2b (a-1) –a (a2-1) = (a-1) (ab – a(a+1) ) = (a-1) (2b – a2 – a)
poniamolo uguale a zero: (a-1) (2b – a2 – a) = 0 se a = 1
per valori diversi il sistema avrà un’unica soluzione data dalla regola di Cramer:
x = y = z =
Vediamo cosa accade quando det(A)=0 , per tali valori il sistema avrà infinite soluzioni o nessuna soluzione.
I casi da analizzare sono tre:
1) a=1 e b (in questo caso b 1)
Applichiamo il teorema di Rouchè-Capelli
Ac = Ai=
il rango di ciascuna è 2 ==> esistono n-p = 1 soluzioni
2) a=1 e b=
(in questo caso b=1)
la matrice completa e quella incompleta hanno rango 1
==> esistono n-p = 2 soluzioni
3) a 1 e b=
il rango della matrice completa è diverso da quello della matrice incompleta
==> non esistono soluzioni
SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m S n
ad esempio le due matrici : Ai= e quella completa Ac=
devono avere lo stesso rango. Il rango di Ai è r =2; affinché quello di Ac sia 2 è necessario che il det(Ac) = 0;
calcolandolo si ottiene k=1/2 ==> per questo valore di k le matrici hanno lo stesso rango ==> il sistema ammette soluzione.
Per trovarle sostituiamo al sistema, limitandoci alle equazioni corrispondenti al minore diverso da zero,ottieniamo:
le cui soluzioni sono: x=1 y=-1/2

Esempio