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Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	2.5 (2)
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Data:	07.02.2001
Numero di pagine:	5
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Programma di Matematica

Funzione) Dati due insiemi A e B, entrambi sottoinsiemi di R, si definisce funzione la legge che associa ad ogni elemento di A ad uno e un solo elemento di B. L’insieme A è detto Dominio mentre l’insieme B Codominio
Classificazione funzione) Una funzione può essere:

Algebrica Razionali Intera [-(,+(]

Fratta [-(,+(] eccetto valori che annullano il denominatore

Irrazionali n Pari [ radicando(0 ]

n Dispari [-(,+(]

Trascendente Esponenziale [ pongo la base >0 ]es. (x+1)x
[-(,+(] es. 2x

Logaritmica [tutti i valori che rendono positivi gli argomenti dei logaritmi]

Goniometrica sen x, cos x [-(,+(]
cotg x [argomento o k(]
tan x [ argomento (/2 + k]

Funzione periodica) Una funzione y =f(X) si dice periodica se esiste un valore di p (periodo) tale che per ogni X, appartenente all’insieme di esistenza I, valga la relazione f(X) =f(X+ p). es. seno.
Funzione pari o simmetrica) Una funzione y =f(X) si dice pari se per ogni X, appartenente all’insieme I, vale la relazione: f(-X) = f(X), essa è simmetrica rispetto all’asse delle Y.
Funzione dispari o antisimmetrica) Una funzione y =f(X) si dice dispari se per ogni X, appartenente all’insieme I, vale la relazione : f(-X) = -f(X) , essa è simmetrica rispetto all’origine.
Funzione inversa) Siano X ed Y due variabili reali tra le quali intercorre una corrispondenza biunivoca, cioè una relazione che ad ogni valore della X (appartenente ad un determinato insieme I) fa corrispondere uno ed un solo valore della Y (appartenente ad un insieme J) e, viceversa, ad ogni valore della Y (appartenente a J) uno e un solo valore della X (appartenente a I); possiamo in tal caso considerare indifferentemente Y come funzione di X o X come funzione di Y. Le due funzioni si dicono l’una inversa dell’altra e si scrivono: y =f(X), X =f –1(y).
Funzione crescente e decrescente) Sia f(X) una funzione definita e derivabile in ogni punto di un intervallo di estremi a e b. Se in ogni punto dell’intervallo si ha f ‘(Xo) >0 [f ‘(Xo) M
- Si dice che una funzione f(X) ha per limite -( ,per x tendente a Xo, se prefissato ad arbitrio un numero positivo M (comunque grande), è possibile determinare un intorno (a, b) di Xo, tale che ad ogni X di questo intorno risulti: f(X)< - M
- Si dice che una funzione f(X) ha per limite l ,per x tendente a +(, se prefissato ad arbitrio un numero positivo e (comunque piccolo), è possibile determinare un intorno (a, +() di +(, tale che ad ogni X di questo intorno risulti: |f(X)-l| < e
- Si dice che una funzione f(X) ha per limite +( ,per x tendente a +( , se prefissato ad arbitrio un numero positivo M (comunque grande), è possibile determinare un intorno (a, +() di +(, tale che ad ogni X di questo intorno risulti: f(X)>M
- Si dice che una funzione f(X) ha per limite -( ,per x tendente a +(, se prefissato ad arbitrio un numero positivo M (comunque grande), è possibile determinare un intorno (a, +() di +(, tale che ad ogni X di questo intorno risulti: f(X) < - M
Teorema dell’unicità del limite) Se una funzione f(X) ammette limite, questo è unico.
Teorema della permanenza del segno) Se per X tendente a Xo la funzione f(X) ha per limite il numero finito L≠0, esiste un intorno del punto Xo tale che per ogni X di tale intorno la funzione f(X) assume valori dello stesso segno di L.
Teorema del confronto) Se f(X), g(X) e h(X) sono tre funzioni definite in uno stesso intorno (a, b) di Xo, se per ogni X di detto intorno risulta: f(X)(g(X)(h(X) e se inoltre è:
allora esiste anche il limite della g(X), per X tendente a Xo, ed è:
Asintoto) Se il grafico di una funzione di equazione y =f(X) ha un ramo che si estende all’infinito, indichiamo con P un suo punto generico; se esiste una retta r alla quale il punto P si avvicina sempre più al suo tendere all’infinito lungo quel ramo, allora la retta r viene chiamata asintoto del diagramma.

- Asintoto verticale (parallelo all’asse y): se risulta
X=Xo è asintoto verticale.
Asintoto orizzontale (parallelo all’asse x): se risulta

y = l è asintoto orizzontale.

- Asintoto obliquo: se risulta

l’asintoto obliquo è dato dalla retta y = mx + q se esistono e sono finiti i seguenti limiti:

Derivata) Limite se esiste ed è finito del rapporto incrementale del rapporto incrementale:
Condizione necessaria: funzione derivabile sempre continua, funzione continua non sempre derivabile.
Rapporto incrementale) È il rapporto tra l’incremento subito dalla funzione f(x) e l’incremento dato alla variabile indipendente x.

Significato geometrico della derivata) La derivata di una funzione f(X) nel punto Xo rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione y =f(X) nel suo punto di ascissa Xo.
Il rapporto incrementale rappresenta la tangente dell’angolo IIformato dalla retta secante passante per Po e P1.
Teorema di Rollè) Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso (a, b) e derivabile nei punti interni di questo intervallo, e sia inoltre f(a) =f(b), sotto queste condizioni esiste almeno un punto c interno all’intervallo nel quale la derivata della funzione è nulla: f ‘c =0.
Teorema dell’Hospital) Serve per risolvere le forme indeterminate (0/0, (/(, 0*(,+(-().
Differenziale) Il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata per l’incremento della variabile indipendente. f’(x) ((x
Significato geometrico del differenziale) Il differenziale della f(X) relativo al punto X e all’incremento ∆X, rappresenta l’incremento che subisce l’ordinata del punto della tangente alla curva rappresentatrice della f(X), quando si passa dall’ascissa X del punto di contatto, all’ascissa X+∆X.
Massimo assoluto) Sia f(X) una funzione definita in un intervallo di estremi a e b e sia Xo un punto di tale intervallo nel quale la funzione assume un valore non minore dei valori che esso assume negli altri punti dell’intervallo stesso; si dice allora che la f(X) ha in Xo un massimo assoluto. Il valore f(Xo) si dice poi massimo assoluto della f(X) nell’intervallo considerato.
Minimo assoluto) Sia f(X) una funzione definita in un intervallo di estremi a e b e sia Xo un punto di tale intervallo nel quale la funzione assume un valore non maggiore dei valori che esso assume negli altri punti dell’intervallo stesso; si dice allora che la f(X) ha in Xo un minimo assoluto. Il valore f(Xo) si dice poi minimo assoluto della f(X) nell’intervallo considerato.
Max e min tangenti e parallele all’asse x [f ‘(Xo) =0, f ‘’(Xo) ≠0];
Max e min tangenti oblique [f ‘(Xo) ≠0, f ‘’(Xo) =0, f ‘’’(Xo) ≠0].
Massimo relativo) Una funzione f(X) derivabile in [a, b] e quindi continua, ammette un massimo
relativo in un punto Xo∈ [a, b] se f(Xo)≥ f(X) per ogni X di un intorno di Xo, cioè se f(Xo) è il valore più grande che f(X) assume nell’intorno di Xo.
Minimo relativo) Una funzione f(X) derivabile in [a, b] e quindi continua, ammette un minimo relativo in un punto Xo∈ [a, b] se f(Xo)≤ f(X) per ogni X di un intorno di Xo, cioè se f(Xo) è il valore più piccolo che f(X) assume nell’intorno di Xo.

Progressioni Aritmetiche) Si definisce progressione aritmetica un insieme ordinato di tre o più numeri la cui differenza tra ciascuno di essi e il precedente(se esiste) è costante:
a2 –a1 = d
an = a1 + (n-1)(d

Progressioni Geometriche) Si definisce progressione geometrica un insieme ordinato di tre o più numeri ( tutti 0)la cui quoziente tra ciascuno di essi e il precedente(se esiste) è costante:
a2/a1 = q
an = a1(qn-1