La distribuzione binomiale

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Testo

DISTRIBUZIONI DISCRETE
- Distribuzione binomiale -

Per introdurre la distribuzione binomiale ricorriamo ad un esempio.
Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Tiziano) escono ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo autobus e che ciascuno di essi abbia probabilità pari a p di riuscire ad arrivare in tempo alla fermata (e ovviamente probabilità 1-p di perdere l'autobus): ci si chiede quale sia la probabilità che due dei tre personaggi in questione riesca nell'intento.
Cominciamo col notare che si richiede la probabilità che due prendano l'autobus, senza specificare quali: in questo modo l'evento due persone prendono l'autobus si può verificare in tre modi diversi ossia
1) Francesca e Luigi lo prendono, ma Tiziano no
2) Francesca e Tiziano lo prendono, ma Luigi no
3) Il terzo caso è facilmente intuibile...
Dunque l'evento almeno in due prendono l'autobus, che denoteremo , sarà rappresentabile come

dove F, L e T sono rispettivamente Francesca, Luigi e Tiziano che prendono l'autobus, mentre , e corrispondono ognuno al rispettivo personaggio deluso per aver perso l'autobus.
Potendo inoltre considerare i tre personaggi (eventi) indipendenti, per i teoremi della somma e del prodotto delle probabilità, la probabilità dell'evento sarà:

Ponendo 1 - p = q otteniamo in definitiva
P() = 3 p2q

Vediamo la generalizzazione di questo esempio.
Si considerino N prove indipendenti in cui l'evento A può verificarsi o meno: sia p la probabilità (costante per ogni prova) che l'evento A si presenti e di conseguenza 1-p=q la probabilità che esso non si verifichi. Cerchiamo la probabilità che l'evento A si verifichi m volte in N prove.
Consideriamo a questo proposito l'evento corrispondente al verificarsi di A esattamente m volte in N prove.
Come nell'esempio precedente questo evento può realizzarsi in più modi diversi: decomponiamo allora l'evento in una somma di prodotti di eventi, consistenti nel presentarsi o meno di A in una singola prova.
Se denotiamo con il presentarsi dell'evento A nell'i-esima prova e con il non presentarsi di A nell'i-esima prova, abbiamo che ogni variante di apparizione dell'evento si compone di m apparizioni dell'evento A e di n-m eventi con indici distinti

Il numero di combinazioni possibili è uguale a , cioè al numero di modi diversi in cui si possono scegliere le m prove, tra le N totali, in cui abbia luogo l'evento A.
Per il teorema di moltiplicazione delle probabilità nel caso di eventi indipendenti, la probabilità di ogni combinazione è pmqN-m.
Essendo le varie combinazioni mutuamente escludentesi, per il teorema dell'addizione, la probabilità dell'evento è pari a :

Il coefficiente è detto coefficiente binomiale e viene spesso indicato come : in particolare il suo valore è

Note
Il coefficiente binomiale che compare nell'omonima distribuzione deriva dall'espansione del binomio di Newton (p+q)N in N+1 termini: tale sviluppo si può scrivere come

e vale per due numeri qualunque p e q e ogni intero positivo n.

Proprietà della distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale dà la probabilità di ottenere m successi in n prove, quando p è la probabilità di successo in una singola. Il valor medio di tale distribuzione, corrispondente al numero medio di successi, si ricava attraverso il momento iniziale di ordine 1:

Ponendo m - 1 = r otteniamo

Infatti l'ultima sommatoria è equivalente all'espansione del binomio di Newton

considerato nel nostro caso in cui la somma p+q è uguale ad uno.
Così come abbiamo ricavato il valor medio di successi in N prove, attraverso il momento centrale di ordine 2 si può ricavare la deviazione standard.
Si ottiene così come valore della deviazione standard:

In generale la distribuzione binomiale non è simmetrica salvo il caso in cui, tipico ad esempio del lancio della moneta, p sia uguale ad 1/2.

Approfondimento

Esempi
• Esempio 1. Cinque stazioni radio sono in comunicazione tra loro. Ogni tanto la comunicazione si interrompe a causa delle condizioni metereologiche.
Essendo le stazioni molto lontane tra di loro consideriamo ragionevolmente che gli arresti delle comunicazioni siano indipendenti tra loro e inoltre che si producano con una probabilità p=0.2.
Trovare la probabilità che a un dato istante la comunicazione venga mantenuta da almeno due delle cinque stazioni radio.
Soluzione. In questo caso bisogna prestare attenzione ad un particolare: in questo esempio ci viene richiesta la probabilità che almeno due stazioni siano funzionanti. Per fare questo applichiamo il teorema della somma alle probabilità dei seguenti eventi:
non vi è alcuna interruzione ()
interruzione dovuta ad 1 stazione ()
interruzione dovuta ad 2 stazioni ()
interruzione dovuta ad 3 stazioni ()
La somma delle probabilità di questi quattro eventi ci dà la probabilità che cerchiamo (P) ossia che almeno due stazioni siano funzionanti.

= 0.0003+0.0064+0.0512+0.2048=0.2627
Cioè la probabilità che almeno due stazioni mantengano la comunicazione ad un dato istante è circa il 26%.
• Esempio 2.Un'azienda decide di verificare il funzionamento di una macchina di sua proprietà che produce un determinato articolo. Per fare questo gli incaricati esaminano gruppetti di oggetti sfornati dalla macchina costituiti da 5 articoli. Il risultato del prelievo dei campioni è riassunto nella seguente tabella:

Mostrare che la distribuzione degli articoli fallati riportata nella tabella è assimilabile ad una distribuzione di tipo binomiale e determinare la percentuale di articoli prodotti dalla macchina e affetti da qualche difetto.
Soluzione. Dalla tabella riportata calcoliamo quanti articoli difettosi sono stati raccolti in 100 campioni e, di seguito, dividendo per il numero totale dei campioni prelevati, la media della distribuzione empirica riportata in tabella:
(0+32+14+6+4+0) /100 = 0.56
Se ora supponiamo che tale distribuzione sia modellizzabile attraverso una distribuzione binomiale, il valore medio di articoli difettosi per ogni campione che ci aspetterebbe è Np: qui N è uguale al numero di articoli per ogni campione cioè 5, percui il calcolo di p (probabilità di trovare un articolo difettoso in un campione di cinque oggetti) è immediato e si ricava:
Np=0.56 porta, nel caso di N=5 a p=0.112 che possiamo ben approssimare con p=1/9
Ovviamente in questo caso q=8/9 e con questi valori di p e q andiamo a calcolare lo sviluppo del binomio di Newton (p+q)Nche ci da la distribuzione binomiale che noi abbiamo ipotizzato:

= 0.5549+0.3468+0.0867+0.0108+0.0007+0.0000
in questo modo, la nostra distribuzione ipotetica ci dovrebbe dare, su 100 campioni di cinque oggetti ciascuno, 55 campioni privi di articoli difettosi, 35 con un articolo difettoso, 9 con due articoli difettosi, 1 con tre oggetti fallati e nessun campione con quattro o cinque articoli difettosi.
I dati così ottenuti si conformano alla distribuzione sperimentale trovata dagli addetti ai controlli: possiamo quindi riassumere dicendo che la distribuzione è approssimativamente binomiale e la percentuale di articoli difettosi prodotti dalla macchina è stimabile con il valore di p che abbiamo ottenuto, cioè circa 11%.

La distribuzione binomiale riveste un'importanza notevole nello studio statistico.
E' una distribuzione discreta che modellizza il problema delle prove ripetute; viene utilizzata quando interessa la ricorrenza di un evento, non la sua intensità.
Si supponga di effettuare un esperimento casuale consistente in n prove indipendenti e ripetute in cui l'evento S può essere un risultato; considerato un numero 0

Esempio



  



Come usare