Propagazione degli elettroni in un reticolo cristallino

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Indice
1. Introduzione pag. 2
2. Gli elettroni in un reticolo unidimensionale 2
2.1. Posizioni e stati 2
2.2. Stati di energia definita 3
2.3. Elettroni in movimento: la dipendenza dal tempo 5
3. Il modello per tre dimensioni 5
4. Le imperfezioni nel reticolo 6
4.1. Descrivere la diffusione degli elettroni 6
5. I semiconduttori 6
5.1. La struttura del semiconduttore 6
5.2. Introdurre impurità: lacune ed eccessi 7
5.3. Un’applicazione: il diodo 8
6. Conclusione 8
7. Bibliografia 9
1.
Introduzione
Durante l’ultimo secolo, la fisica si è sviluppata sulla base di due teorie rivoluzionarie: la teoria della relatività di Einstein e la teoria quantistica, frutto delle menti di fisici come Planck, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Schrödinger e nuovamente Einstein. Entrambe le teorie operano nell’ambito degli “infinitamente”: effetti della natura così insoliti e folli, descritti da queste deduzioni (puramente matematiche) della fisica, non sono osservabili nella vita comune. Ancora oggi, pochi sono gli eletti alla sperimentazione di tali fenomeni, ed i più ignorano la loro esistenza.
Il primo suggerimento nella direzione di ciò che diverrà la teoria quantistica si deve a Planck e risale al 1900: egli introdusse la concezione di “quanto” (più precisamente, egli suppose che un campo potesse scambiare energia con la materia unicamente per mezzo di “pacchetti di energia” interi). Infiniti tentativi, uniti ad una marea di deduzioni e calcoli, hanno seguito questa intuizione pionieristica, portando alla storia una novità nella ricerca scientifica mai immaginata.
Anche noi ci chiniamo su questa rivoluzionaria teoria, per scoprire l’infinitamente piccolo della materia, osservando un po’ più da vicino ciò che avviene all’interno del PC che stiamo usando per scrivere queste righe. L’infinitamente piccolo della fisica quantistica è incerto, nulla è determinato, ma tutto è prevedibile tramite una probabilità; eppure, ciò che è certo è che, su queste basi apparentemente instabili ed approssimative, tutta l’esistenza trova stabilità e certezza… quanto è certo che ora stiamo scrivendo con un PC!
2. Gli elettroni in un reticolo unidimensionale
Si tratta di descrivere in che modo avvenga la propagazione di elettroni all’interno di un reticolo di materia. Per far ciò, procediamo per gradi, valutando situazioni con condizioni vieppiù complesse, ed avvicinandoci quindi alla realtà che vogliamo descrivere.
Cominciamo dunque col prendere in considerazione il caso unidimensionale.
2.1. Posizioni e stati
Immaginiamo di inserire una particella (con data energia E) all’interno di una sequenza unidimensionale di un numero molto grande di “punti base” (gli atomi del reticolo) [questi punti li riteniamo posti ad una distanza tra loro costante ed incapaci di interagire tra loro].
Per descrivere il moto della particella, consideriamo la sua posizione (relativamente ai punti base) come stato dell’elettrone.
Lo stato della particella nel caso essa sia posta presso il punto n-esimo sarà indicato:

mentre quelli nel caso essa sia posta nel punto immediatamente precedente o successivo saranno indicati:
risp.
Da qui, prendendo in considerazione l’intero reticolo, si descrive lo stato di quest’ultimo come:
(combinazione lineare degli stati …, , , , … di base)
Sostituiamo (l’ampiezza di probabilità per la quale l’elettrone è situato presso l’atomo n) con Cn , quindi:
Conoscendo ogni ampiezza, si esprimerebbe la probabilità di avere l’elettrone presso l’atomo n come:
Un modello semplificato dell’evoluzione del sistema propone le equazioni differenziali:
dove E0 è l’energia dell’elettrone in assenza di interazione con gli atomi vicini, indipendente da n per ragioni di simmetria. L’ampiezza di probabilità per unità di tempo che l’elettrone passi da un atomo ad uno adiacente è proporzionale ad A. Da ciò derivano i due termini in Cn+1, Cn-1.
2.2. Stati di energia definita
L’equazione
è l’equazione base per descrivere l’ampiezza di probabilità in stati di energia definita [ciò significa che dobbiamo trovare delle situazioni in cui le ampiezze, quando cambiano in qualche modo nel tempo, cambiano tutte con la stessa frequenza]. an è un parametro complesso che descrive la parte (dell’ampiezza) indipendente dal tempo.
Sostituiamo nella hamiltoniana:
Per risolvere l’equazione, caratterizziamo gli atomi tramite le loro posizioni. L’atomo
n-esimo sarà posto in posizione xn. Ricordiamo che la spaziatura tra gli atomi è costante e che con valore b avremo: xn+1 = xn+b; se l’origine viene posta all’atomo zero, avremo: xn = nb.
Sostituendo:
(A)
e quindi:
Quest’ultima si può anche scrivere:
Si tratta di un’equazione alle differenze del secondo ordine, lineare e con coefficienti costanti.
Come risoluzione di questa equazione, sfruttiamo il fatto che, essendo simile all’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti (v. oscillatore armonico), essa si presta a sostituzioni in termini di funzioni esponenziali. Poniamo:
(B)
dunque:
cioè:
Ma:
quindi:
(C)
Si osserva che la soluzione rappresenta un’onda di vettore d’onda k e frequenza nella struttura discreta costituita dal reticolo considerato. L’equazione (C) è la relazione di dispersione .
In quest’ultima equazione, possiamo notare che per qualsiasi valore di k vi è una soluzione, ergo le soluzioni sono infinite (infatti abbiamo ritenuto essere gli stati di base infiniti).
Per k = 0 avremo , mentre per avremo , che rappresentano i massimi ed i minimi dei valori dell’equazione. Ciò significa che l’energia dell’elettrone sarà compresa all’interno di questa banda [,].
Non ci sono altri valori possibili dell’energia al di fuori di questa banda; per k all’esterno di .
Riprendendo le due condizioni (A) e (B), si ha:
Scegliendo un dato k, avremo una certa energia E, determinando quindi uno stato stazionario.
Questa oscillazione complessa è dipendente da spazio e tempo. La parte reale si comporta come un coseno:
mentre la parte immaginaria forma una curva di tipo seno.
Naturalmente il quadrato del modulo (cioè la probabilità di avere l’elettrone presso l’atomo n), risulta essere una costante per ogni atomo…!
Richiamando l’equazione (C), si suppone k molto piccolo e si sceglie E0 = 2A. Ponendo pure:
si ricava:
(D)
De Broglie-Einstein:
(come per una particella classica libera)
2.3. Elettroni in movimento: la dipendenza dal tempo
Abbiamo dimostrato che per ogni atomo n, abbiamo una probabilità costante di trovarvi accanto l’elettrone e quindi di descriverne il moto; ma questo non dipende neppure dal tempo. L’unico modo dunque per variare la probabilità all’interno del nostro cristallo lineare è di costruire un pacchetto d’onde: in questo modo infatti si potrà distinguere uno spostamento dell’onda. La componente principale avrà numero d’onda k0, mentre nelle altre componenti i numeri d’onda avranno valori leggermente differenti.
Per il pacchetto d’onde, si potrà calcolare la velocità di gruppo, pari a:
dove che corrisponde a:
Ora, risolvendo l’ultima equazione per k, e sostituendo ciò che si ricava nell’equazione (D), si ricava:
Quindi, uguagliando quest’ultima con la (D) e debitamente semplificando:
Infine, nuovamente sostituendo, si ricava:
meff è la cosiddetta massa effettiva, e quest’ultimo prodotto non è altro che l’impulso (il quale, come si può vedere, è strettamente legato al numero d’onda k).
La massa effettiva non è la massa dell’elettrone intesa come quantità di materia, bensì la sua massa inerziale, cioè la sua resistenza al cambiamento di moto.
Ecco dunque dimostrata la capacità degli elettroni di muoversi liberamente nel reticolo, esattamente come se si trovassero nel vuoto.
3. Il modello per tre dimensioni
Analizzato il caso per una singola dimensione, possiamo ora estendere il discorso a tre dimensioni.
Basta considerare gli stati di base scomponendo il moto nelle tre direzioni e quindi considerandole nello stesso modo utilizzato nel caso ad una dimensione. Di conseguenza avremo delle equazioni hamiltoniane utili alla descrizione dell’ampiezza di probabilità che l’elettrone “salti” su uno dei sei atomi circostanti, il che implica la presenza di tre numeri d’onda. A questo punto si scrive la soluzione dello stato stazionario come un’onda piana, avendo dunque ora un numero d’onda k pari alla radice della somma dei quadrati delle tre componenti (teorema di Pitagora).
Supponendo quindi i vari fattori uguali per le tre direzioni, si ricava (nel caso di un reticolo cristallino cubico) un’equazione per l’energia simile a quella ottenuta per una dimensione:
4. Le imperfezioni nel reticolo
Si è visto che gli elettroni si muovono facilmente all’interno di un cristallo ideale (perfetto), come se si propagassero nel vuoto. Ora, per poterli controllare è necessario ostacolarli nel loro moto tramite l’inserzione di imperfezioni sottoforma di atomi “sbagliati”, cioè con particolari valori di energia, che causino resistenza al moto degli elettroni.
4.1. Descrivere la diffusione degli elettroni
Bisogna dunque supporre che l’energia E0 relativa all’atomo “sbagliato” sia pari a E0 + F con F > 0. Quindi, sostituendo per le equazioni dei singoli stati che descrivono le energie dei vari atomi, si avrà nel caso di n = 0:
In questo caso l’elettrone “rimbalzerebbe” indietro una volta giunto all’atomo “zero”. Per descrivere matematicamente ciò, si potrà “inventare” una soluzione che rappresenti una combinazione di un’onda progressiva con un’onda regressiva, in movimento cioè “contrario”.
A questo punto, risolvendo in modo indipendente le condizioni per n < 1 ed n > 1, si troveranno delle ampiezze nnnnnnnnnn, relative alla direzione d’incidenza e di riflessione (o trasmissione).
Per P che rappresenta l’ampiezza incidente da sinistra e supponendo il caso che l’onda provenga proprio da quella direzione, si potrà porre A questo punto, e saranno le ampiezze rispettivamente per l’elettrone che “torna indietro” e che “prosegue” dopo l’impurità.
Si renderà necessario porre
ed ovviamente:
La soluzione sarà:
5. I semiconduttori
La più grande applicazione dei principi appena descritti è il semiconduttore. Esso sta alla base dell’elettronica miniaturizzata. I semiconduttori hanno permesso di ridurre notevolmente le dimensioni ed i prezzi degli apparecchi elettronici, funzionanti in origine tramite valvole: ciò ha permesso la diffusione commerciale dei dispositivi elettronici nella vita comune, generando quindi uno sviluppo del mercato con tendenze esponenziali.
5.1. La struttura del semiconduttore
Gli elementi tipici per la costruzione dei semiconduttori sono il silicio ed il germanio. Essi infatti possiedono atomi disposti regolarmente in un reticolo cristallino a struttura cubica. Per esempio, all’interno del cristallo, ogni atomo di Si è collegato agli atomi vicini tramite quattro paia di elettroni (formando i legami covalenti). Questi elettroni subiscono un’attrazione molto forte da parte dei nuclei, ciò significa che essi saranno strettamente legati ai nuclei (a temperatura ambiente), e quindi un flusso elettrico risulterà essere molto difficoltoso.
5.2. Introdurre impurità: lacune ed eccessi
Un modo per creare un flusso di elettroni è quello di inserirne di estranei all’interno del reticolo: in questo modo ci troviamo nella situazione descritta nei capitoli 2./3. (cioè il movimento libero di un elettrone nel reticolo cristallino).
Tali elettroni, come visto, possono essere caratterizzati da particolari valori energetici, compresi all’interno di un intervallo (banda di energia). Fissando lo 0 al valore minimo della banda, si avrà:
Rappresentando su un diagramma la funzione tra numero d’onda k ed il valore corrispondente di E:
Unicamente quindi se l’elettrone possiede tale energia E > Emin, esso potrà muoversi all’interno del cristallo, senza essere catturato definitivamente dai nuclei.
Parallelamente, si può creare un flusso strappando un elettrone al reticolo e creando una lacuna. Il moto di quest’ultima può essere descritto come quello relativo alla situazione “d’eccesso”. Questo poiché in realtà si descrive lo spostamento di singoli elettroni posti lungo la traiettoria della lacuna: essi si muovono solamente in “direzione opposta”, rispetto al vuoto elettronico.
Ora, ponendo le dimensioni del cristallo in un ordine di grandezza sufficientemente elevato (macroscopico), si potrà supporre che parecchi elettroni liberi si muovano indipendentemente l’uno dall’altro (cioè in modo da considerare irrilevanti le loro interazioni).
Detto ciò e tenendo conto di quanto sopra, si potranno avere lacune ed elettroni contemporaneamente e liberamente in movimento nel cristallo.
Per avere un movimento ordinato, si inserisce il cristallo all’interno di un campo elettromagnetico. La carica negativa degli elettroni comporta il movimento di quest’ultimi verso il polo positivo. La lacuna possiede al contrario una “carica virtuale” positiva.
L’energia necessaria per creare elettroni liberi e lacune è pari alla somma delle rispettive energie Emin: fornendo tale energia, si verranno dunque a creare due flussi, orientati in direzioni opposte verso i due poli del campo elettromagnetico.
Un sistema più “chimico” per rendere impuro un cristallo è quello di inserire al suo interno una ben precisa quantità di atomi con proprietà elettroniche (proprietà relative quindi all’orbita degli elettroni di valenza) diverse da quelle di Si o Ge; una tale operazione è detta “drogaggio”. Ovviamente, nel caso dell’inserzione di atomi con quantità eccessiva di elettroni sull’ultimo livello energetico, le doppiette create per i legami covalenti con gli atomi del semiconduttore, permetteranno di avere elettroni liberi. Al contrario (se gli atomi utilizzati per drogare il semiconduttore posseggono un minor numero di elettroni di valenza), si verranno a creare dei vuoti elettronici.
5.3. Un’applicazione: il diodo
Premessa: è convenzione chiamare il materiale semiconduttore drogato con elettroni liberi “materiale di tipo n” (carica negativa), mentre quello con lacune è chiamato “materiale di tipo p” (carica positiva).
La giunzione di due blocchi di materiale p/n possiede caratteristiche utili all’elettronica: vediamole, descrivendo tale processo.
Al momento dell’unione dei due blocchi di materiale semiconduttore, avviene pressoché istantaneamente, e nella zona intorno alla congiunzione, una diffusione di elettroni dal materiale n al materiale p. In questa stessa zona, quindi, viene a formarsi una regione isolante, che preservi dunque i materiali congiunti in una situazione di stabilità.
Sottoponendo il cristallo così ottenuto ad un campo elettromagnetico, si potranno osservare due situazioni diametralmente opposte.
Nel caso in cui il materiale n sia rivolto verso il polo negativo, la sovrabbondanza di elettroni all’interno della sezione n del semiconduttore renderà molto difficoltosa (pressoché impossibile) la penetrazione degli elettroni. Analoga situazione per le “particelle-lacune” al polo positivo.
Al contrario, inserendo il materiale p/n in un campo opposto a quello appena considerato, il flusso di elettroni risulterà possibile: le particelle occuperanno le lacune del materiale p, mentre gli elettroni liberi del materiale n fluiranno all’esterno del cristallo. La situazione d’instabilità alla giunzione (dove la “pressione elettronica” risulta in questo caso sbilanciata fra le due parti) romperà lo stato di equilibrio, permettendo un flusso di particelle: il semiconduttore p/n conduce!
Tale cristallo composito permette dunque agli elettroni di fluire in un’unica direzione ed è chiamato diodo o raddrizzatore, in virtù di questa sua particolare proprietà.
6. Conclusione
Ecco dunque che un processo fisico come questo si riproduce migliaia, milioni, miliardi di volte in macchine ormai di pubblico uso: i Personal Computer. Essi sono composti da microcomponenti basate sui semiconduttori: un circuito stampato sul silicio (come una CPU) è oggi in grado di gestire un flusso di dati (impulsi elettrici digitali) pari a 700 milioni di input al secondo; il tutto in uno spazio di circa 4 cm2 (per uno spessore della componente di alcuni millimetri) e ad un prezzo di mercato relativamente limitato. Il Pentium II (lanciato dalla Intel nel 1997) funzionava per esempio già tramite 7,5 milioni di transistor stampati sul circuito integrato semiconduttore!
Il boom dall’inizio della commercializzazione è stato impressionante: Silicon Valley (California) ha espanso la propria attività in modo esponenziale; di pari passo si muove la ricerca nell’ambito informatico e lo sviluppo della tecnica. Stare al passo con tale sviluppo è molto difficile: le macchine si rinnovano sempre di più e, ormai nel giro di un anno, divengono inesorabilmente obsolete.
7. Bibliografia
• Richard P. Feynman, La fisica di Feynman - vol. III, Masson Italia Editori, Mi, 1985
• John C. Slater, Teoria quantistica della materia, Zanichelli Editore, Bologna, 1980
Lavoro di Maturità 2000-2001 - Liceo Cantonale di Mendrisio - F. Meroni-Carlovingi
Matematica S. Regazzoni - IV D
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Indice
1. Introduzione pag. 2
2. Gli elettroni in un reticolo unidimensionale 2
2.1. Posizioni e stati 2
2.2. Stati di energia definita 3
2.3. Elettroni in movimento: la dipendenza dal tempo 5
3. Il modello per tre dimensioni 5
4. Le imperfezioni nel reticolo 6
4.1. Descrivere la diffusione degli elettroni 6
5. I semiconduttori 6
5.1. La struttura del semiconduttore 6
5.2. Introdurre impurità: lacune ed eccessi 7
5.3. Un’applicazione: il diodo 8
6. Conclusione 8
7. Bibliografia 9
1.
Introduzione
Durante l’ultimo secolo, la fisica si è sviluppata sulla base di due teorie rivoluzionarie: la teoria della relatività di Einstein e la teoria quantistica, frutto delle menti di fisici come Planck, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Schrödinger e nuovamente Einstein. Entrambe le teorie operano nell’ambito degli “infinitamente”: effetti della natura così insoliti e folli, descritti da queste deduzioni (puramente matematiche) della fisica, non sono osservabili nella vita comune. Ancora oggi, pochi sono gli eletti alla sperimentazione di tali fenomeni, ed i più ignorano la loro esistenza.
Il primo suggerimento nella direzione di ciò che diverrà la teoria quantistica si deve a Planck e risale al 1900: egli introdusse la concezione di “quanto” (più precisamente, egli suppose che un campo potesse scambiare energia con la materia unicamente per mezzo di “pacchetti di energia” interi). Infiniti tentativi, uniti ad una marea di deduzioni e calcoli, hanno seguito questa intuizione pionieristica, portando alla storia una novità nella ricerca scientifica mai immaginata.
Anche noi ci chiniamo su questa rivoluzionaria teoria, per scoprire l’infinitamente piccolo della materia, osservando un po’ più da vicino ciò che avviene all’interno del PC che stiamo usando per scrivere queste righe. L’infinitamente piccolo della fisica quantistica è incerto, nulla è determinato, ma tutto è prevedibile tramite una probabilità; eppure, ciò che è certo è che, su queste basi apparentemente instabili ed approssimative, tutta l’esistenza trova stabilità e certezza… quanto è certo che ora stiamo scrivendo con un PC!
2. Gli elettroni in un reticolo unidimensionale
Si tratta di descrivere in che modo avvenga la propagazione di elettroni all’interno di un reticolo di materia. Per far ciò, procediamo per gradi, valutando situazioni con condizioni vieppiù complesse, ed avvicinandoci quindi alla realtà che vogliamo descrivere.
Cominciamo dunque col prendere in considerazione il caso unidimensionale.
2.1. Posizioni e stati
Immaginiamo di inserire una particella (con data energia E) all’interno di una sequenza unidimensionale di un numero molto grande di “punti base” (gli atomi del reticolo) [questi punti li riteniamo posti ad una distanza tra loro costante ed incapaci di interagire tra loro].
Per descrivere il moto della particella, consideriamo la sua posizione (relativamente ai punti base) come stato dell’elettrone.
Lo stato della particella nel caso essa sia posta presso il punto n-esimo sarà indicato:

mentre quelli nel caso essa sia posta nel punto immediatamente precedente o successivo saranno indicati:
risp.
Da qui, prendendo in considerazione l’intero reticolo, si descrive lo stato di quest’ultimo come:
(combinazione lineare degli stati …, , , , … di base)
Sostituiamo (l’ampiezza di probabilità per la quale l’elettrone è situato presso l’atomo n) con Cn , quindi:
Conoscendo ogni ampiezza, si esprimerebbe la probabilità di avere l’elettrone presso l’atomo n come:
Un modello semplificato dell’evoluzione del sistema propone le equazioni differenziali:
dove E0 è l’energia dell’elettrone in assenza di interazione con gli atomi vicini, indipendente da n per ragioni di simmetria. L’ampiezza di probabilità per unità di tempo che l’elettrone passi da un atomo ad uno adiacente è proporzionale ad A. Da ciò derivano i due termini in Cn+1, Cn-1.
2.2. Stati di energia definita
L’equazione
è l’equazione base per descrivere l’ampiezza di probabilità in stati di energia definita [ciò significa che dobbiamo trovare delle situazioni in cui le ampiezze, quando cambiano in qualche modo nel tempo, cambiano tutte con la stessa frequenza]. an è un parametro complesso che descrive la parte (dell’ampiezza) indipendente dal tempo.
Sostituiamo nella hamiltoniana:
Per risolvere l’equazione, caratterizziamo gli atomi tramite le loro posizioni. L’atomo
n-esimo sarà posto in posizione xn. Ricordiamo che la spaziatura tra gli atomi è costante e che con valore b avremo: xn+1 = xn+b; se l’origine viene posta all’atomo zero, avremo: xn = nb.
Sostituendo:
(A)
e quindi:
Quest’ultima si può anche scrivere:
Si tratta di un’equazione alle differenze del secondo ordine, lineare e con coefficienti costanti.
Come risoluzione di questa equazione, sfruttiamo il fatto che, essendo simile all’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti (v. oscillatore armonico), essa si presta a sostituzioni in termini di funzioni esponenziali. Poniamo:
(B)
dunque:
cioè:
Ma:
quindi:
(C)
Si osserva che la soluzione rappresenta un’onda di vettore d’onda k e frequenza nella struttura discreta costituita dal reticolo considerato. L’equazione (C) è la relazione di dispersione .
In quest’ultima equazione, possiamo notare che per qualsiasi valore di k vi è una soluzione, ergo le soluzioni sono infinite (infatti abbiamo ritenuto essere gli stati di base infiniti).
Per k = 0 avremo , mentre per avremo , che rappresentano i massimi ed i minimi dei valori dell’equazione. Ciò significa che l’energia dell’elettrone sarà compresa all’interno di questa banda [,].
Non ci sono altri valori possibili dell’energia al di fuori di questa banda; per k all’esterno di .
Riprendendo le due condizioni (A) e (B), si ha:
Scegliendo un dato k, avremo una certa energia E, determinando quindi uno stato stazionario.
Questa oscillazione complessa è dipendente da spazio e tempo. La parte reale si comporta come un coseno:
mentre la parte immaginaria forma una curva di tipo seno.
Naturalmente il quadrato del modulo (cioè la probabilità di avere l’elettrone presso l’atomo n), risulta essere una costante per ogni atomo…!
Richiamando l’equazione (C), si suppone k molto piccolo e si sceglie E0 = 2A. Ponendo pure:
si ricava:
(D)
De Broglie-Einstein:
(come per una particella classica libera)
2.3. Elettroni in movimento: la dipendenza dal tempo
Abbiamo dimostrato che per ogni atomo n, abbiamo una probabilità costante di trovarvi accanto l’elettrone e quindi di descriverne il moto; ma questo non dipende neppure dal tempo. L’unico modo dunque per variare la probabilità all’interno del nostro cristallo lineare è di costruire un pacchetto d’onde: in questo modo infatti si potrà distinguere uno spostamento dell’onda. La componente principale avrà numero d’onda k0, mentre nelle altre componenti i numeri d’onda avranno valori leggermente differenti.
Per il pacchetto d’onde, si potrà calcolare la velocità di gruppo, pari a:
dove che corrisponde a:
Ora, risolvendo l’ultima equazione per k, e sostituendo ciò che si ricava nell’equazione (D), si ricava:
Quindi, uguagliando quest’ultima con la (D) e debitamente semplificando:
Infine, nuovamente sostituendo, si ricava:
meff è la cosiddetta massa effettiva, e quest’ultimo prodotto non è altro che l’impulso (il quale, come si può vedere, è strettamente legato al numero d’onda k).
La massa effettiva non è la massa dell’elettrone intesa come quantità di materia, bensì la sua massa inerziale, cioè la sua resistenza al cambiamento di moto.
Ecco dunque dimostrata la capacità degli elettroni di muoversi liberamente nel reticolo, esattamente come se si trovassero nel vuoto.
3. Il modello per tre dimensioni
Analizzato il caso per una singola dimensione, possiamo ora estendere il discorso a tre dimensioni.
Basta considerare gli stati di base scomponendo il moto nelle tre direzioni e quindi considerandole nello stesso modo utilizzato nel caso ad una dimensione. Di conseguenza avremo delle equazioni hamiltoniane utili alla descrizione dell’ampiezza di probabilità che l’elettrone “salti” su uno dei sei atomi circostanti, il che implica la presenza di tre numeri d’onda. A questo punto si scrive la soluzione dello stato stazionario come un’onda piana, avendo dunque ora un numero d’onda k pari alla radice della somma dei quadrati delle tre componenti (teorema di Pitagora).
Supponendo quindi i vari fattori uguali per le tre direzioni, si ricava (nel caso di un reticolo cristallino cubico) un’equazione per l’energia simile a quella ottenuta per una dimensione:
4. Le imperfezioni nel reticolo
Si è visto che gli elettroni si muovono facilmente all’interno di un cristallo ideale (perfetto), come se si propagassero nel vuoto. Ora, per poterli controllare è necessario ostacolarli nel loro moto tramite l’inserzione di imperfezioni sottoforma di atomi “sbagliati”, cioè con particolari valori di energia, che causino resistenza al moto degli elettroni.
4.1. Descrivere la diffusione degli elettroni
Bisogna dunque supporre che l’energia E0 relativa all’atomo “sbagliato” sia pari a E0 + F con F > 0. Quindi, sostituendo per le equazioni dei singoli stati che descrivono le energie dei vari atomi, si avrà nel caso di n = 0:
In questo caso l’elettrone “rimbalzerebbe” indietro una volta giunto all’atomo “zero”. Per descrivere matematicamente ciò, si potrà “inventare” una soluzione che rappresenti una combinazione di un’onda progressiva con un’onda regressiva, in movimento cioè “contrario”.
A questo punto, risolvendo in modo indipendente le condizioni per n < 1 ed n > 1, si troveranno delle ampiezze nnnnnnnnnn, relative alla direzione d’incidenza e di riflessione (o trasmissione).
Per P che rappresenta l’ampiezza incidente da sinistra e supponendo il caso che l’onda provenga proprio da quella direzione, si potrà porre A questo punto, e saranno le ampiezze rispettivamente per l’elettrone che “torna indietro” e che “prosegue” dopo l’impurità.
Si renderà necessario porre
ed ovviamente:
La soluzione sarà:
5. I semiconduttori
La più grande applicazione dei principi appena descritti è il semiconduttore. Esso sta alla base dell’elettronica miniaturizzata. I semiconduttori hanno permesso di ridurre notevolmente le dimensioni ed i prezzi degli apparecchi elettronici, funzionanti in origine tramite valvole: ciò ha permesso la diffusione commerciale dei dispositivi elettronici nella vita comune, generando quindi uno sviluppo del mercato con tendenze esponenziali.
5.1. La struttura del semiconduttore
Gli elementi tipici per la costruzione dei semiconduttori sono il silicio ed il germanio. Essi infatti possiedono atomi disposti regolarmente in un reticolo cristallino a struttura cubica. Per esempio, all’interno del cristallo, ogni atomo di Si è collegato agli atomi vicini tramite quattro paia di elettroni (formando i legami covalenti). Questi elettroni subiscono un’attrazione molto forte da parte dei nuclei, ciò significa che essi saranno strettamente legati ai nuclei (a temperatura ambiente), e quindi un flusso elettrico risulterà essere molto difficoltoso.
5.2. Introdurre impurità: lacune ed eccessi
Un modo per creare un flusso di elettroni è quello di inserirne di estranei all’interno del reticolo: in questo modo ci troviamo nella situazione descritta nei capitoli 2./3. (cioè il movimento libero di un elettrone nel reticolo cristallino).
Tali elettroni, come visto, possono essere caratterizzati da particolari valori energetici, compresi all’interno di un intervallo (banda di energia). Fissando lo 0 al valore minimo della banda, si avrà:
Rappresentando su un diagramma la funzione tra numero d’onda k ed il valore corrispondente di E:
Unicamente quindi se l’elettrone possiede tale energia E > Emin, esso potrà muoversi all’interno del cristallo, senza essere catturato definitivamente dai nuclei.
Parallelamente, si può creare un flusso strappando un elettrone al reticolo e creando una lacuna. Il moto di quest’ultima può essere descritto come quello relativo alla situazione “d’eccesso”. Questo poiché in realtà si descrive lo spostamento di singoli elettroni posti lungo la traiettoria della lacuna: essi si muovono solamente in “direzione opposta”, rispetto al vuoto elettronico.
Ora, ponendo le dimensioni del cristallo in un ordine di grandezza sufficientemente elevato (macroscopico), si potrà supporre che parecchi elettroni liberi si muovano indipendentemente l’uno dall’altro (cioè in modo da considerare irrilevanti le loro interazioni).
Detto ciò e tenendo conto di quanto sopra, si potranno avere lacune ed elettroni contemporaneamente e liberamente in movimento nel cristallo.
Per avere un movimento ordinato, si inserisce il cristallo all’interno di un campo elettromagnetico. La carica negativa degli elettroni comporta il movimento di quest’ultimi verso il polo positivo. La lacuna possiede al contrario una “carica virtuale” positiva.
L’energia necessaria per creare elettroni liberi e lacune è pari alla somma delle rispettive energie Emin: fornendo tale energia, si verranno dunque a creare due flussi, orientati in direzioni opposte verso i due poli del campo elettromagnetico.
Un sistema più “chimico” per rendere impuro un cristallo è quello di inserire al suo interno una ben precisa quantità di atomi con proprietà elettroniche (proprietà relative quindi all’orbita degli elettroni di valenza) diverse da quelle di Si o Ge; una tale operazione è detta “drogaggio”. Ovviamente, nel caso dell’inserzione di atomi con quantità eccessiva di elettroni sull’ultimo livello energetico, le doppiette create per i legami covalenti con gli atomi del semiconduttore, permetteranno di avere elettroni liberi. Al contrario (se gli atomi utilizzati per drogare il semiconduttore posseggono un minor numero di elettroni di valenza), si verranno a creare dei vuoti elettronici.
5.3. Un’applicazione: il diodo
Premessa: è convenzione chiamare il materiale semiconduttore drogato con elettroni liberi “materiale di tipo n” (carica negativa), mentre quello con lacune è chiamato “materiale di tipo p” (carica positiva).
La giunzione di due blocchi di materiale p/n possiede caratteristiche utili all’elettronica: vediamole, descrivendo tale processo.
Al momento dell’unione dei due blocchi di materiale semiconduttore, avviene pressoché istantaneamente, e nella zona intorno alla congiunzione, una diffusione di elettroni dal materiale n al materiale p. In questa stessa zona, quindi, viene a formarsi una regione isolante, che preservi dunque i materiali congiunti in una situazione di stabilità.
Sottoponendo il cristallo così ottenuto ad un campo elettromagnetico, si potranno osservare due situazioni diametralmente opposte.
Nel caso in cui il materiale n sia rivolto verso il polo negativo, la sovrabbondanza di elettroni all’interno della sezione n del semiconduttore renderà molto difficoltosa (pressoché impossibile) la penetrazione degli elettroni. Analoga situazione per le “particelle-lacune” al polo positivo.
Al contrario, inserendo il materiale p/n in un campo opposto a quello appena considerato, il flusso di elettroni risulterà possibile: le particelle occuperanno le lacune del materiale p, mentre gli elettroni liberi del materiale n fluiranno all’esterno del cristallo. La situazione d’instabilità alla giunzione (dove la “pressione elettronica” risulta in questo caso sbilanciata fra le due parti) romperà lo stato di equilibrio, permettendo un flusso di particelle: il semiconduttore p/n conduce!
Tale cristallo composito permette dunque agli elettroni di fluire in un’unica direzione ed è chiamato diodo o raddrizzatore, in virtù di questa sua particolare proprietà.
6. Conclusione
Ecco dunque che un processo fisico come questo si riproduce migliaia, milioni, miliardi di volte in macchine ormai di pubblico uso: i Personal Computer. Essi sono composti da microcomponenti basate sui semiconduttori: un circuito stampato sul silicio (come una CPU) è oggi in grado di gestire un flusso di dati (impulsi elettrici digitali) pari a 700 milioni di input al secondo; il tutto in uno spazio di circa 4 cm2 (per uno spessore della componente di alcuni millimetri) e ad un prezzo di mercato relativamente limitato. Il Pentium II (lanciato dalla Intel nel 1997) funzionava per esempio già tramite 7,5 milioni di transistor stampati sul circuito integrato semiconduttore!
Il boom dall’inizio della commercializzazione è stato impressionante: Silicon Valley (California) ha espanso la propria attività in modo esponenziale; di pari passo si muove la ricerca nell’ambito informatico e lo sviluppo della tecnica. Stare al passo con tale sviluppo è molto difficile: le macchine si rinnovano sempre di più e, ormai nel giro di un anno, divengono inesorabilmente obsolete.
7. Bibliografia
• Richard P. Feynman, La fisica di Feynman - vol. III, Masson Italia Editori, Mi, 1985
• John C. Slater, Teoria quantistica della materia, Zanichelli Editore, Bologna, 1980
Lavoro di Maturità 2000-2001 - Liceo Cantonale di Mendrisio - F. Meroni-Carlovingi
Matematica S. Regazzoni - IV D
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