Filtro del 2°ordine

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Testo

Verifica sperimentale, mediante simulazione del comportamento di un sistema del 2° sollecitato con gradino unitario.
L'esame e quindi l'analisi di un sistema mediante il calcolatore e quindi la simulazione è senz'altro veloce, immediata e pratica. È cosa ancora più bella ed essenziale però, riuscire a comprendere e ad anticipare il comportamento del sistema nello stesso istante della sua simulazione. In laboratorio abbiamo avuto la possibilità di verificare con mano, il comportamento di un filtro del 2°ordine, studiandone le sue caratteristiche statiche e dinamiche, dal suo coefficiente di smorzamento ooal suo at, talvolta mettendo taluni parametri in relazione gli uni con gli altri.
Lo studio e l'analisi di questi fenomeni, sperimentati mediante la simulazione con il pc, è stato reso possibile in quanto precedentemente era stato affrontato tutta l'analisi analitica relativa al sistema.
Abbiamo quindi proceduto come segue:
Abbiamo preso in considerazione un sistema del 2° ordine, con una F.d.T. del seguente tipo.
AoAn2
S2 + 2++n s + sn2
È bene precisare una cosa fondamentale, ovvero, questa relativa funzione di trasferimento è stata utilizzata per l'analisi del sistema per ÈÈ< 0 e < < 1.
Tramite appunto la simulazione abbiamo potuto riflettere sui seguenti fenomeni:
Un sistema che presenta una Un "media" ovvero non molto elevata rispetto alle altre caratteristiche, e che al tempo stesso presenta una ""intorno al valore 1 o poco inferiore (0.9 0.8) sarà un sistema che avrà una velocità media e una sovraelongazione "accettabile" ovvero non molto pronunciata. Presa come punto di riferimento questa situazione, verifichiamo i vari comportamenti del sistema al diminuire o all'aumentare della pulsazione naturale un oppure del coefficiente di smorzamento nn.
Nella figura sotto è riportato un grafico che da un'idea delle varie sovraelongazioni al variare di NNe la relativa tabella dei valori di eee

Come si può ben vedere dalla tabella e dal grafico sopra, per valori di C superiori a 1, il segnale presenta delle sottoelongazioni, mentre per valori di inferiori a 1 il segnale presenta delle sovraelongazioni. Per quanto riguarda la pulsazione naturale del sistema in diremo che essa è sicuramente il fattore che determina la velocità di un sistema e la sua relativa banda passante. Chiariamo questo concetto: Per delle un molto maggiori a quelle prese in considerazione precedentemente avremo che il sistema presenterà un tempo di risposta molto più elevato, in gergo tecnico diremo che il sistema avrà esaurito il transitorio e avrà raggiunto il suo stato di regime in un tempo brevissimo, rispetto a quello precedente e la sua banda passante sarà maggiore, dove per banda passante intendiamo la gamma di frequenze alla quali il sistema, nel nostro caso il filtro del 2° ordine riesce a lavorare "bene". Viceversa, per n "inferiori" a quelle prese in esame nel nostro esempio base, avremo che il sistema presenterà un tempo di risposta molto maggiore in quanto tra la pulsazione naturale è la costante di tempo esiste la relazione "n = 1 / T. A questo punto è possibile puntualizzare una cosa, contrariamente da quello che abbiamo detto, la nostra uuunon solo stabilisce la sovraelongazione del nostro sistema, ma se pure in maniera non molto incidente èssa definisce in quale modo la velocità del sistema, nella simulazione è infatti stato possibile rilevare che aaainfluisce anche sulla velocità del sistema e sulla sua banda passante. Nella tabella sotto è possibile vedere materialmente il fenomeno.
E' indispensabile ora, proporre le nostre attenzioni su di una particolare condizione in cui il sistema risponde il modo anormale. Questa condizione si verifica quando la nostra pulsazione naturale zn è molto grande e la nostra è prossima allo zero. Quando si verificano queste due condizioni avremo che il sistema sarà estremamente veloce, ma il suo segnale presenterà oltre alla solita sovraelongazione, anche una notevole quantità di oscillazioni periodiche che tarderanno l'arrivo a regime del segnale. È bene precisare come che addirittura per vicinissima allo zero il comportamento del sistema simulato è rappresentato da un segnale che vede aumentare fino a più infinito gli esponenti presenti nella sua antitrasformata L-1 . Questo fenomeno che assolutamente non è possibile realmente era dovuto ad un in adeguamento del Qt che rispetto alle frequenze a cui veniva sottoposto era troppo grande.
Di fatti, per far si che gli esponenti dell'anitrasformata L-1 relativi a questo sistema, fossero positivi era necessario che la parte reale delle due radici complesse e coniugate fosse positiva cosa assolutamente impossibile, dato che un sistema del 2° ordine come il filtro preso in considerazioni, presenta nella sua F.d.T. un denominatore che ha due radici complesse e coniugate. Oltre tutto, analiticamente dato che il denominatore della F.d.T. è il seguente:
S2 + 2++n s + sn2
Per ottenere delle radici con parte reali positiva era necessario che il fattore di smorzamento PPfosse negativo cosa che è assolutamente impossibile, per quanto ffinfatti possa essere piccola essa non raggiungerà mai valori negativi. Dalla stessa antitrasformata presa in considerazione precedentemente è infatti noto che gli esponenti che appaiono in essi sono di segno negativo.
Nella figura sotto è rappresentato l'andamento del segnale per una Nn relativamente alta e per un valore di eeprossimo ai 0.5 / 0.6.
Alla fine della simulazione, e alla luce degli eventi visti e appuntati, è stato possibile fare le seguenti osservazioni:
La velocità e quindi anche la banda passante di un sistema dipendono essenzialmente dalla sua pulsazione naturale, nei sistemi di secondo ordine, quale è il filtro talune volte il coefficiente di smorzamento llpermette di affinare e di precisare ulteriormente la velocità del sistema e di conseguenza anche la sua banda passante. Per discretizzare un sistema del secondo ordine è bene tener presente che il suo zt debba essere scelto in base alle frequenze alle quali vorremmo che lavorasse il sistema e non in base alle frequenze per le quali lo stiamo analizzando e in quanto tale quindi è bene scegliere un et quanto più piccolo possibile.

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Esempio