Integrali e derivate

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DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO
1. Sia f(x) una funzione definita in un intervallo A, la funzione F(x) si dice primitiva della f(x)
se, per ogni x di A, F(X) è derivabile e risulta
F'(x) = f(x)
2. Trovata una primitiva della funzione, tute le altre si ottengono aggiungendo una costante,
ossia F(x) + c esprime, al variare di c, tutte le primitive di f(x).
3. L'insieme formato da tutte le primitive di f(x), si chiama integrale indefinito della funzione f(x)
e si indica
4. La funzione f(x) si dice funzione integranda, dx indica la variabile rispetto alla quale si cerca la primitiva
5. Da quanto detto al punto 2. si ha
6. Da quanto detto al punto 1. si ha
Integrale definito
Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo ]a,b[ F(x) una primitiva della f(x)
si ha
Questa formula è una conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale (teorema di Torricelli)
viene chiamata formula di Newton - Leibnitz.
Dal punto di vista operativo, per calcolare l'integrale definito di una funzione f(x)
si deve determinare un integrale indefinito e calcolare la differenza tra i valori che l'integrale assume agli estremi dell'intervallo di integrazione
Significato geometrico dell'integrale definito
Nel disegno, f(x) è positiva per ogni x
dell'intervallo [a,b].
Il valore dell'integrale definito da a a b
corrisponde alla misura della superficie racchiusa dalla curva y=f(x), dall'asse x e dalle rette di equazione x=a, x=b.
Questo tipo di superficie viene chiamata
trapezoide o trapezio curvilineo.
Nel disegno, f(x) assume valori positivi e valori negativi.
Il valore dell'integrale definito corrisponde
alla somma algebrica
delle due aree che si trovano sopra e sotto l'asse delle x:
la prima regione risulta positiva, la seconda negativa.
Per calcolare l'area della regione piana
delimitata da due curve f(x) e g(x)
continue nell'intervallo [a,b]
si può applicare la seguente formula

DERIVATE E INTEGRALI ELEMENTARI
Nella tabella si è messo in evidenza il legame tra derivata e integrale