Continuità e discontinuità delle funzioni e derivate

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	03.10.2006
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Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a,b], è continua nel punto c (interno a questo intervallo), se risulta: lim f(x) = f(c)
x->c
la funzione è continua in un punto c appartenente al dominio se:
* lim f (x) è uguale a un num. finito
x->c
* esiste finito il lim f(x)
x->c
* risulta lim f(x) = f(c)
x->c
Proprietà delle funzioni continue:
* TEOREMA DI WEIERSTRASS:la funzione ammette un minimo assoluto e un massimo assoluto.( massimo assoluto:è un numero che all’interno dell’insieme dei valori assunti dalla funzione non viene superato da nessun numero dell’insieme; minimo assoluto:è un numero che all’interno dell’insieme non è maggiore di nessun altro numero dell’insieme)
* TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI: la funzione assume ogni valore compreso tra il suo minimo m e il suo massimo M.
* TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI: se in due punti dell’intervallo la funzione assume valori di segno opposto, esiste almeno un punto tra questi in cui la funzione è nulla.
Sia f(x) una funzione definita in un insieme A e c un punto di accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha un punto di discontinuità in x=c, se f(x) non è contenuta nel punto x=c.
DISCONTINUITA’ ELIMINABILE: si dice che c’è un punto di discontinuità eliminabile per una funzione f se la funzione ammette limite finito.
DISCONTINUITA’ DI PRIMA SPECIE:si dice che c’è un punto di discontinuità di prima specie per una funzione f se, la funzione ammette limite destro e limite sinistro finiti e diversi tra loro.
DISCONTINUITA’ DI SECONDA SPECIE: si dice che c’è un punto di discontinuità di seconda specie per una funzione f se, in x=c, uno dei due limiti della funzione è infinito o non esiste.
PUNTO DI ACCUMULAZIONE : se nell’intorno di un punto cadono infiniti punti (o valori)
PUNTO ISOLATO si ha quando intorno a tale punto non cadono infiniti valori.
PUNTO ANGOLOSO: si ha quando esistono la derivata destra e la derivata sinistra nel punto,ma sono diverse tra loro (es. quando c’è la funzione in un modulo) e quindi la funzione non è derivabile
PUNTO DI CUSPIDE: si ha quando calcolando il lim per x tendente a quel punto, della derivata rima risulterà infinito.
DERIVATA:
SIGNIFICATO ALGEBRICO la derivata prima di una funzione in un punto (x0) è il limite se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere cmq a zero dell’incremento della variabile indipendente ()x)
f’ (x0) = lim f (x0+h) – f(x0)
hh0 h
e permette di capire l’andamento della funzione e calcolare i punti critici, cioè i punti in cui la derivata prima si annulla (minimi e massimi)
SIGNIFICATO GEOMETRICO: la derivata prima di una funzione è il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto di ascissa x0
m = x = y2 – y1 = f(x0+h) – f(x0)
y x2 – x1 h
permette di trovare l’equazione della tangente in qualsiasi punto.
TEOREMA DELLA FUNZIONE SOMMA:
La funzione s (x) = f(x) + g(x), somma di due funzioni derivabili nello stesso intervallo I, è anch’essa derivabile ed è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni:
s’ (x) = f’(x) + g’(x)
dimostrazione:
IL RAPPORTO INCREMENTALE DI s (x) è
s(x+h) – s(x) = [f(x+h) + g(x+h)] – [f (x) + g (x)]
h h
da cui si ricava
s(x+h)- s(x) = f(x+h)-f(x) + g(x+h)-g(x)
h h h
per ipotesi f(x) e g(x) sono derivabili
lim f(x+h) – f (x) = f’ (x) lim g(x+h) – g(x) = g’(x) hh0 h h 0 h
applicando il teorema del limite di una somma
lim s(x+h) – s(x) = f’(x) + g’ (x)
hh0 h
TEOREMA del PRODOTTO
La funzione p (x) = f(x) g(x), prodotto delle due funzioni derivabile in I è anch’essa derivabile e la sua derivata è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando la derivata di ciascuna funzione per tutte le rimanenti funzioni non derivate.
P’ (x) = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
TEOREMA del QUOZIENTE
La funzione q(x) =f(x) quoziente delle due funzioni derivabili f e g (con gL0), è una funzione derivabile nell’intervallo I, in cui sono derivabili f e g , e la sua derivata è data da:
q’(x) = f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x)
[g(x)]2
DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA: sia g(x) una funzione definita in un intervalli I e derivabile in x00I e sai f(x) una funzione definita nell’intervallo I’ e derivabile nel punto z0=g(x0).
In questa ipotesi, la funzione composta F(x)=f[g(x)] è derivabile in x0 e si ha:
F’(x0)=f’(z0)*g’(x0).
TEOREME DI LAGRANGE: se f(x) è una funzione continua nell’intervalli chiuso [a,b] e derivabile internamente ad esso, allora esiste almeno un punto c, interno ad [a,b] tale che:
f’(c)=f(b)-f(a)
b-a
TEOREMA DI ROLLE: sia f(x) una funzione definita nell’intervallo chiuso [a,b] che abbia le seguenti proprietà:
* Sia continua in [a,b]
* Sia derivabile in (a,b)
* Assuma valori uguali negli estremi dell’intervallo, cioè f(a)=f(b)
In tale ipotesi, esiste almeno un punto c, interno all’intervallo [a,b] nel quale si annulla la derivata della funzione, cioè risulta : f’(c)=0, a