Cenni sulle derivate

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

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Testo

LE DERIVATE.
Definizione di derivata:
Il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento della variabile indipendente x se esiste ed è finito si chiama DERIVATA della funzione calcolata nel punto x:
lim

Da un punto di vista geometrico la derivata di una funzione calcolata in un punto corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente condotta per quel punto alla funzione o ciò che è lo stesso alla tangente trigonometrica dell’angolo formato dalla retta tangente alla funzione in quel punto con la direzione positiva dell’asse ruotando in senso antiorario: f’(x) = m

Quando in una curva esiste il limite destro e sinistro del rapporto incrementale ed entrambi sono finiti ma non coincidenti (geometricamente in un intorno di x la curva in quel punto ammette due rette tangenti distinte) in quel punto si dice NON DERIVABILE.

Derivate fondamentali:
1. D k = 0 9. D
2. D x = 1 10. D
3. D senx = cosx 11. D
4. D cosx = -senx 12. D
5. D e 13. D
6. D a 14. D
7. D logx = 1/x 15. D
8. D log

Operazioni:
1. SOMMA: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata della somma di tali
funzioni è uguale alla somma delle derivate di tali funzioni.
f(x) + g(x) = f’(x) + g’(x)

2. PRODOTTO: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata del prodotto di
tali funzioni è la somma dei vari prodotti che si ottengono derivando ciascun fattore e
lasciando gli altri non derivati.
f(x) * g(x) = f’(x) * g (x) + g’(x) * f(x)

3. QUOZIENTE: Date 2 o più funzioni derivabili in un assegnato intervallo )a;b( la derivata del quoziente
di tali funzioni è il quoziente fra la differenza dei vari prodotti che si ottengono
derivando ciascun fattore lasciando gli altri non derivati e il quadrato del divisore.

Derivate composte:
TEOREMA:
Sia data la funzione composta y = f con funzioni componenti y = f(t) e t = g(x), entrambi derivabili; esiste allora la derivata del prodotto della funzione composta ed essa è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni componenti, cioè y’ = f’(t) * g’(x)

Esempio