Logica

Materie:Appunti
Categoria:Matematica
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Testo

LOGICA
Proposizione: è un enunciato, se per il quale ha senso dire che sia vero o falso
Principio fondamentale: data una proposizione, essa è sempre o vera o falsa, l’una eventualità escludendo l’altra. (non può accadere che una proposizione non sia né vera né falsa e inoltre non può essere sia vera sia falsa)
Connettivi logici: sono elementi mediante i quali si aumenta la potenza espressiva del linguaggio logico, trasformando le proposizioni semplici
-connettivo binario: opera su due proposizioni
-connettivo unario: opera su una sola proposizione
NEGAZIONE: è un connettivo unario che a ogni proposizione associa una nuova proposizione, detta negazione di p
p p (p negato)
V F
F V
p (p negato negato)= pù
CONGIUNZIONE (^): è il connettivo che ad ogni coppia di proposizioni (p/q) associa proposizione composta (r) vera solo se p e q sono entrambe vere
p
q
p^q (p e q)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
DISGIUNZIONE INCLUSIVA(v): è il connettivo che ad ogni coppia di proposizioni (p/q) associa la proposizione composta (r), vera se almeno una delle due è vera, falsa se entrambe sono false
p
q
pvq (p o q)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
IMPLICAZIONE MATERIALE ( ): è il connettivo logico che ad ogni coppia di proposizioni (p/q) associa la proposizione p q, falsa nel caso in cui p sia vera e q falsa, vera negli altri casi
p
q
p q (p implica q)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
COIMPLICAZIONE MATERIALE ( ): è il connettivo logico che, ad ogni coppia di proposizioni (p/q) associa la proposizione p q vera se p e q hanno lo stesso valore di verità
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
DISGIUNZIONE ESCLUSIVA ( v ): è il connettivo che ad ogni coppia di proposizioni (p/q) associa la proposizione p v q , vero se p e q hanno valori distinti
p
q
p v q (p o esclusivo q)
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
FRECCIA DI SHEFFER ( ): incompatibilità: è falsa solo se entrambe sono vere. E’ la negazione della congiunzione
p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
Formule proposizionali: si chiama formula del calcolo delle proposizioni ogni sequenza finita di variabili preposizionali, connettivi, parentesi aperte e chiuse, costruite con le seguenti regole:
1. ogni variabile proposizionale è una formula
2. se p oppure q sono formule. Lo sono anche: p, p^q, pvq, p q , p q
3. solo le sequenze finite costruite in accordo con le regole 1 e 2 sono formule del calcolo delle proposizioni
tautologia: è una formula proposizione che assume sempre il valore vero, qualunque siano i valori di verità attribuiti alle variabili proposizionali elementari che la compongono. PROPOSIZIONE IDENTICAMENTE VERA

contraddizione: è una formula proposizionale che assume sempre il valore falso. PROPOSIZIONE IDENTICAMENTE FALSA
equivalenza: due formule proposizionali, p e q (formate da proposizioni semplici) si dicono equivalenti se hanno lo stesso valore di verità, qualunque siano i valori delle proposizioni “variabili” a partire dalle quali sono costruite
principio di dualità: per ogni formula P, espressa per mezzo di connettivi ^ e v si chiama forma duale di P, la formula ottenuta sostituendo in P ^ con v, v con ^, V con F, F con V. se P=Q allora P*= Q*.

Esempio



  



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