Le derivate e i teoremi

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Categoria:	Matematica
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Data:	01.03.2007
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= DERIVATE DI FUNZIONI =

• RAPPORTO INCREMENTALE:
Data una funzione f(x) definita e continua in un intervallo, siano x0 e x0 + h, con h + 0, due punti dell’intervallo, si definisce rapporto incrementale il rapporto fra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile:
∆f
=
f(x0 + h) – f(x0)
∆x
h
• DEFINIZIONE DI DERIVATA:
Si definisce derivata della funzione y = f(x) in un punto x0, il limite , se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento della variabile:
f’(x0) =
lim
f(x0 + h) – f(x0)
=
lim
f(x) – f(x0)
h→0
h
x→x0
x – x0
• TANGENTE NEL PUNTO P(x0, f(x0)):
Si definisce tangente nel punto P(x0, f(x0)) alla curva del grafico della funzione y = f(x), la posizione limite, se esiste, della retta che unisce P a un altro punto Q della curva quando Q tende a P muovendosi sulla curva.
L’equazione della tangente in un punto P(x0, y0) è :
y – y0 = f’(x0) · (x – x0)
• PUNTO STAZIONARIO:
Si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto x0 in cui la derivata della funzione è nulla.
• PUNTO ANGOLOSO:
Se in un punto P(x0, y0) esistono il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale, diversi tra loro, allora il punto P è detto punto angoloso e i due limiti sono detti derivata destra e derivata sinistra.
• PUNTO DI CUSPIDE:
Se in un punto P(x0, y0) esistono il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale e sono uguali, rispettivamente, a + ∞ e a - ∞ (o viceversa), allora il punto P è detto cuspide.
• PUNTO DI FLESSO:
Se il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale sono entrambi uguali a + ∞ (oppure a - ∞) il punto è detto di flesso a tangente verticale.

= TEOREMI SULLA DERIVAZIONE =

• DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI:
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili in uno stesso intervallo, la derivata della somma delle due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni:
y = f(x) + g(x) y’ = f’(x) + g’(x)
• DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI:
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili in uno stesso intervallo, la derivata del prodotto delle due funzioni è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ognuna delle due funzioni per l’altra:
y = f(x) · g(x) y’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
• DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE:
La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:
y = k · f(x) y’ = k · f’(x)
• DERIVATA DELLA FUNZIONE RECIPROCA:
Se una funzione g(x) è definita in e derivabile in un intervallo in cui è sempre g(x) S 0, allora la funzione reciproca della g(x) è derivabile e risulta:
Y =
1
Y’ =
g’(x)
g(x)
[g(x)]2
• DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI:
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili in uno stesso intervallo in cui sia g(x) S 0, la derivata del quoziente delle due funzioni è data da:
y =
f(x)
Y’ =
f’(x) · g(x) – f(x) · g’(x)
g(x)
[g(x)]2
• DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA:
Se z(x) = g(x) è una funzione definita in un intervallo I ed è derivabile in I e y = f(z) è definita in un intervallo J tale che g(I) f J ed è derivabile in J, allora la funzione composta f[g(x)] è derivabile e la sua derivata è uguale al prodotto delle derivate delle funzioni componenti:
y = f[g(x)] y’ = f’[g(x)] · g’(x)
• DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA:
Sia y = f(x) una funzione continua e invertibile in un intervallo I e sia x = ϕ(y) la funzione inversa della y = f(x), se f(x) è derivabile e inoltre f’(x) ≠ 0, allora anche x = ϕ (y) è derivabile e si ha:
ϕ’(y) =
1
f’(x)
• DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE:
Data una funzione f(x) derivabile in un certo intervallo, consideriamo la derivata f’(x), se f’(x è derivabile, allora la derivata di f’(x) è detta derivata seconda di f(x) ed è indicata con f’’(x). Se la derivata seconda è derivabile, la sua derivata è detta derivata terza di f(x), ecc.

= TEOREMI SULLE DERIVATE =

• 1° TEOREMA DI DE L’HOPITAL (PER LA FORMA DI INDETERMINAZIONE 0/0):
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite in un intervallo [a;b] e derivabili (con g’(x) ≠ 0) in ]a;b[, escluso al più in un punto x0 interno all’intervallo si ha:
lim
f(x) = 0 ,
lim
g(x) = 0
x→x0
x→x0
e se esiste il limite del rapporto delle derivate delle funzioni f(x) e g(x), allora allo stesso limite tende il rapporto delle due funzioni:
lim
f(x)
=
lim
f’(x)
x→x0
g(x)
x→x0
g’(x)
• 2° TEOREMA DI DE L’HOPITAL (PER LA FORMA DI INDETERMINAZIONE ∞/∞)
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili (con g’(x) ≠ 0) in un intervallo ]x0;b[, tali che:
lim
f(x) = + ∞ (oppure - ∞)
x→x0+
lim
g(x) = + ∞ (oppure - ∞)
x→x0+
e, se esiste il limite del rapporto delle derivate delle funzioni f(x) e g(x), allora allo stesso limite tende il rapporto delle due funzioni:
lim
f(x)
=
lim
f’(x)
x→x0+
g(x)
x→x0+
g’(x)
Analogamente per x → x0- se l’intervallo è ]a; x0[.

= QUADRO DELLE DERIVATE FONDAMENTALI =

FUNZIONI
DERIVATE
Y = k
Y’ = 0
Y = x
Y’ = 1
Y = xn
Y’ = nxn-1
Y = Yx
Y’ = 1/2/x
Y = 1/x
Y’ = -1/x2
Y = loga x
Y’ = 1/x loga e
Y = ln x
Y’ = 1/x
Y = ax
Y’ = ax loge a
Y = ex
Y’ = ex
Y = xY
Y’ = Y x -1