Calcolo differenziale con tutti i teoremi necessari

Materie:Appunti
Categoria:Matematica

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Testo

IL CALCOLO DIFFERENZIALE.
Teorema di Rolle:
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato (a,b) e derivabile in )a,b( e assume valori uguali agli estremi f(a) =f(b), esiste almeno un punto x interno all’intervallo in cui la sua derivata si annulla.
Teorema di Lagrance:
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato (a,b) e derivabile in )a,b(, esiste almeno un punto x appartenente a )a,b( tale che: f’(x) =

Corollari:
1. Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato (a,b) con derivata in ogni punto interno uguale a zero, è costante nell’intervallo.
2. Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue nell’intervallo chiuso e limitato (a,b) e derivabili in ogni punto interno e se si ha che f’(x) = g’(x), allora la differenza f(x) – g(x) è costante in (a,b).
3. Una funzione f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato (a,b), derivabile in ogni punto interno a tale intervallo e tale che sia:
f(x) > 0 è strettamente crescente in )a,b(;
f(x) < 0 è strettamente decrescente in )a,b(.
Teorema di Couchy:
Siano f(x) e g(x) due funzioni continue nell’intervallo chiuso e limitato (a,b), derivabili in ogni punto interno a tale intervallo, e sia inoltre g’(x) = 0, esiste allora almeno un punto x appartenente a )a,b( tale che:
=

Teorema di De L’Hopital:
Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue in (a,b) e derivabili in )a,b(, escluso al più il punto x appartenente ad )a,b( con g’(x) = 0, f(x) = 0 e g(x) = 0 e se esiste ed è finito il limite
lim allora esiste anche lim e risulta: lim = lim

CONCAVITA’ DI UNA CURVA IN UN PUNTO / INTORNO:
1. Sia f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia anche f’’(x) continua nell’intervallo I e infine x appartenga ad I: diremmo che nel punto x la curva volge la concavità verso l’alto se f’’(x) > 0; diremmo invece che nel punto x la curva volge la concavità verso il basso se f’’(x) < 0.
2. Sia f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia inoltre f’’(x) continua nell’intervallo I: diremmo che nell’intervallo I la funzione volge la concavità verso l’alto se f’’(x) > 0 per ogni x interna ad I; diremmo che la funzione volge la concavità verso il basso se f’’(x) < 0 per ogni x interna ad I.
3. Sia dato un punto P(x;y) ed in un intorno di tale punto non avviene né il primo né il secondo caso tale punto è detto PUNTO DI FLESSO per la funzione.
Sia data la funzione f(x) derivabile almeno due volte; condizione necessaria ma non sufficiente per l’esistenza di punti di flesso è che l’ascissa di tali punti annulli la derivata seconda:f’’(x) = 0
MASSIMI E MINIMI:
• Condizione necessaria : f’(x) = 0 → l’annullarsi della f’(x) in x indica soltanto che la retta tangente al
grafico è orizzontale: possiamo avere un flesso a tangente orizz.
• Condizione sufficiente: f’(x) > 0
TEOREMI CON LE DERIVATE SUCCESSIVE:
Sia f(x) una funzione continua e derivabile tutte le volte che è necessario:
1. se la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata prima è di ordine pari, siamo in presenza di un punto x di massimo o minimo relativo a seconda che il valore di tale derivata di ordine pari sia rispettivamente minore o maggiore di zero; se invece la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata prima è di ordine dispari, siamo in presenza di un punto di flesso a tangente orizzontale.
2. se la prima derivata a non annullarsi per quei valori che annullano la derivata seconda è di ordine dispari, siamo in presenza di un punto di flesso; se invece è di ordine pari siamo in presenza di un punto x in cui la curva volge la concavità verso l’alto se tale valore è positivo, verso il basso se invece è negativo.
DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE:
Il differenziale di un funzione è uguale al prodotto fra la derivata della funzione e l’incremento della variabile indipendente x.
→ f(x) = x
dy = d(x) =dx = 1 *
dx = → df(x) = f’(x)dx
dy = f’(x)dx
y tg x =dx
f(x + x) – f(x) =
y = f(x) = f(x) = y
→ f’(x) = tg = m
df(x) = f’(x)dx = tg=
f(x+x) =
P
f(x)
df(x) - f(x) ==

0 x
x x + x

Esempio