La variabile aleatoria binomiale

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Testo

CROCI JVAN 4^ A Informatica 13-11-2000
Relazione
- Statistica
VARIABILE ALETORIA BINOMIALE
La variabile aleatoria binomiale è una variabile discreta in quanto si basa su un numero finito di elementi e si indica con B(B,,2). In particolare lo spazio degli eventi è formato da E ed E negato. Siamo in presenza perciò di un sistema completo, infatti i due eventi sono due a due incompatibili e la loro unione forma omega ( ).
La probabilità che l’evento si verifichi si indica con la lettera p e per tanto la probabilità che non si verifichi è 1-p (la probabilità di e è 1), cioè q.
P è un parametro fondamentale assieme a n, che è il numero di prove effettuate indipendenti e nelle stesse condizioni, in modo che la probabilità possa essere ogni volta p. Il numero di successi in n prove si indica con la lettera k, che è una variabile.
Da questo si può calcolare la probabilità di avere k successi in n prove, utilizzando la formula generale:
P(k)=(n)·pk ·q n-k
k
La sommatoria delle P(k) è uguale a 1 perche come ho detto prima siamo in presenza di un sistema completo di eventi. Questa ugualianza è dimostrabile anche matematicamente:
n
Σ P(k)= Σ (n) ·pk ·q n-k =
k=0 k=0 k
= (p+q)n = // Calcolo di una potenza di un binomio
= (p+1-p)n =
=1n = 1
Sulla binomiale si possono calclare il valore atteso E(k), va varianza VAR(k) e la moda Mo:
Il valore atteso è il prodotto tra n e p:
E(k)=n·p
La varianza è il prodotto tra il numero di prove (n), la probabilità dell’evento (p) e la probabilità di non verificarsi (q):
VAR(k)=n·p·q
Per calcolare la moda, prima si esegue un calcolo il cui risultato potrà essere un numero intero o un numero reale:
Mo=n·p-q
Nel caso in cui il risultato sia un numero intero, la moda sarà espressa con due valori, rispettivamente:
Mo=n·p-q ed Mo=n·p-q+1=n·p+p
Nel caso in cui il risultato sia un numero reale, la moda sarà il risultato della prima operazione considerando solamente la parte intera e aggiungendo 1:
Mo = [n·p –q]+1

- Programma
DICHIARAZIONE VARIABILI
Variabili di input
- int n : Numero di prove effettuate (intero)
- float p : Probabilità che l’evento E si verifichi (decimale)
Variabili di output
- float Pk[30] : Variabile aleatoria binomiale (array)
- float E : Valore atteso (decimale)
- float var : Varianza (decimale)
- float Mo : Moda (decimale)
Variabili in uso nel pgm
- int scheda,modo : Variabili per l’uso della grafica
- char rchar[40] : Stringa di caratteri utilizzata durante la visualizzazione del grafico
- int i,j,a,y,yy,z : Variabili per cicli e controlli
FUNZIONI
- void Controllo1 : Controllo sull’inserimento di prove effettuate
Il valore immesso deve rientrare nel range di valori che va da 0 a 32'766 (massimo valore rappresentabile con un integer).
- void Controllo2 : Controllo sull’inserimento della probabilità
Il valore immesso deve rientrare nel range di valori che va da 0 a 1 (probabilità di Ω).
- void Ordina : Ordinamento crescente di Pk
L’ordinamento avviene con il metodo chiamato Bubble – Sort.
DESCRIZIONE DEL PGM
Immissione dati
L’inserimento del numero di prove avviene con il controllo,che richiede l’inserimento se è stato riscontrato un errore, e la stessa cosa avviene con l’inserimento della probabilità. Poi stampa a video la tabella di giuste dimensioni con i vari valori possibili di k.
Calcolo della binomiale
La prima probabilità P(k) con k=0 viene calcolata con la formula abbreviata di qn . Le altre vengono calcolate in più istruzioni in un ciclo; per verificare l’esattezza dei calcoli fa la sommatoria delle P(k) e la mostra a video.
Valore atteso, varianza, moda
Il valore atteso e la varianza vengono calcolati immediatamente con la formula e stampati; per il calcolo della moda si esaminano i tre casi con Mo

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