Limiti e derivate

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Testo

LIMITI DI FUNZIONE
Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende al limite finito L per X X0
LIM F(X) = L
XX X0
quando scelto un numero positivo E piccolo a piacere , è possibile determinare un intorno H completo del punto X0 tale che per tutti i valori di X appartenenti ad H , i valori corrispondenti della F(X) differiscano da L in valore assoluto meno di E .
| F(X) – L | < E L – E < F(X) < L + E

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a D per X X0
LIM F(X) = L
XX X0
se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste un intorno completo H del punto X0 per ogni X del quale , risulta
F(X) > M

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende al limite finito L per X
LIM F(X) = L
X X
se , fissato un numero positivo E piccolo a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| > X risulti
| F(X) – L | < E

Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a D per X
LIM F(X) = L
X X
se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| < X risulti
| F(X) | > M

• CONVERGENTI : tendono a L
• DIVERGENTI : tendono a D
• INDETERMINATE : non esiste un limite
• CRESCENTI : i valori che assume la variabile Y crescono al crescere dei valori di X X1 < X2 ==> F(X1) < F(X2)
• DECRESCENTI : i valori che assume la variabile Y decrescono al crescere dei valori di X X2 > X1 ==> F(X2) < F(X1)
• NON CRESCENTI : crescendo i valori di X , essa decresce o si mantiene costante
• NON DECRESCENTE :crescendo i valori di X , essa cresce o si mantiene costante

Una funzione Y=F(X) , definita in un intervallo di estremi a e b , si dice CONTINUA in un punto X0 appartenente all’intervallo considerato se risulta :
LIM F(X) = F(X0)
XX X0 cioè se il limite al quale essa tende per X i X0 è il valore F(X0) che essa assume in X0
CONDIZIONI : 1) esiste il valore della funzione nel punto X0
2) esiste il limite della funzione per X X0
3) il limite della funzione per X X0 coincide con il valore che la funzione assume in X0
Le funzioni che non hanno la X al denominatore sono sempre continue .

FORME INDETERMINATE
++ - ( + - ) : razionalizzazione
zero . z
0 / 0 : scomposizione ( L )
/ / : raccoglimento ( L 0 )

quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il limite è q
quando il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore il limite è 0
quando i gradi sono uguali il limite è finito

FORME DETERMINATE
L / / = 0
L / 0 = /

DERIVATE
Si chiama derivata della funzione Y=F(X) nel punto X0 il limite , se esiste ed è finito , del rapporto incrementale SY//X al tendere a zero dell’incremento XX della variabile indipendente
F’(X0) = LIM F(X0 + FX) – F (X0) / /X = LIM XY //X XX = h
XX 0 XX 0
se una funzione è derivabile nel punto X0 essa è anche continua in X0 LIM F(X0 + h) = F(X0)
h 0
non sempre una funzione continua è anche derivabile
m(tg) = LIM F(X0 + h) – F(X0) / h
hh 0 Y = Xm Y’ = mX m-1

La derivata di una costante è sempre zero LY / h = ( k – k ) / h = 0
La derivata della X è 1 LY / h = ( x + h – x ) / h = 1

Geometricamente , la derivata F’(X0) della funzione Y=F(X) , calcolata nel punto X0 , rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione Y=F(X) nel punto di ascissaX0

Esempio