Limiti di funzione

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	06.04.2007
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I LIMITI.
Intervallo limitato:
Dati 2 numeri reali a e b € R definiamo intervallo limitato ]a;b[ l’insieme di tutti i numeri reali compresi fra a e b definendolo aperto se a e b sono esclusi (come nella notazione); o chiuso se a e b sono compresi con la seguente notazione [a;b].
a e b sono rispettivamente chiamati estremo inferiore dell’intervallo ed estremo superiore dell’intervallo; valgono inoltre le notazioni miste, cioè chiuso, aperto rispettivamente superiormente/inferiormente ( talvolta si usa anche la notazione destra/sinistra al posto rispettivamente di superiormente e inferiormente)
Intervallo illimitato:
-superiormente ]a;+ [ o [a;+ [
Dato 1 numero a qualsiasi l’insieme di tutti i numeri reali maggiori di a è detto intervallo illimitato
Superiormente di estremo inferiore a.
-inferiormente ]-;a[ o ]- ;a]
Analogamente sarà l’insieme di tutti i numeri reali minori di a.
Intorno di un punto:
Definiamo intorno di un punto c, un qualsiasi intervallo limitato aperto che abbia c come punto interno ( o a cui c appartenga).
Definiamo intorno sinistro e destro di c un qualsiasi intervallo limitato aperto che abbia c rispettivamente estremo superiore/inferiore di quell’intervallo.
1 caso di limite:
Si dice che per x tendente a c, la funzione f(x) ha per limite il numero l (sottointeso reale) se scelto un numero arbitrario piccolo a piacere positivo , è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo del punto c tale che per ogni x appartenente a tale intorno, escluso al +c i corrispondenti valori di f(x) differiscono in modulo da l- di , cioè valga la disequazione |f(x) – l|<
o ciò che è lo stesso l - < f(x) < l +
Esempio:
• lim

; ; ; ;

0 5/(5+) 1 5/(5-)
Il limite non è verificato per x → 2
Ma per x → 1
2 caso di limite:
Si dice che per x tendente a c, la funzione f (x) ha per limite l’infinito, se scelto un numero positivo M grande a piacere è possibile, determinare in corrispondenza di esso un intorno completo del punto c, per ogni x del
quale,escluso c, i corrispondenti valori di f(x) sono in valore assoluto maggiori di M, cioè valga la disequazione | f(x) | > M
lim f (x) = + |f(x)|> M →f(x) > M (+)
x→c → f(x) N → x >N : lim f(x) = l
x→ x→
→ x M
lim f(x) =
x→
TEOREMA DELL’UNICITA’ DEL LIMTE:
Se una funzione y = f(x) per x tendente a c (finito/infinito) ammette un dato limite (finito/infinito), questo limite è UNICO.
TEOREMA DEL CONFRONTO:
Siano f, g ,h tre funzioni definite in un intorno I di x, escluso al più il punto x e tali che per ogni x I risulti:
Se lim f(x) = lim h(x) = l allora risulterà : lim g(x) = l
x→x x→x x→x
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO:
Se lim f(x) = l
x→c
esiste un intorno I (c) di c, privato al più del punto c, in cui la funzione assume lo stesso segno di l.
Viceversa se esiste un intorno I (c) di c, privato al più del punto c, in cui risulta f(x) > 0 (f(x) < 0), e se esiste il lim f(x) = l si avrà l
x→c
OPERAZIONI SUI LIMITI:
• TEOREMA: il limite di una somma di funzioni è uguale alla somma dei limiti delle funzioni, se questi sono finiti. Date cioè: lim f(x) =l lim g(x) =l lim
x→c x→c x→c
• TEOREMA: il limite di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle funzioni, se questi sono finiti. Date cioè: lim f(x) = l lim g(x) = l lim
x→c x→c x→c
• TEOREMA: lim kf(x) = kl
x→c
• TEOREMA: lim
x→c
• TEOREMA: se l > 0 lim log
x→c
• TEOREMA: lim a
x→c
• TEOREMA: se lim f(x) = l >0 e lim g(x) = l si ha: lim