Concetti sulla reazione

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Categoria:Elettronica

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Testo

CAPITOLO 8
CONCETTI SULLA REAZIONE
8.1. Alcune definizioni
A seconda del segno, valgono queste due relazioni:
Si= Se + Sf Si = Se - Sf
In prima approssimazione possiamo associare mentalmente la somma al concetto di reazione positiva e la sottrazione al concetto di reazione negativa.
Definiamo la funzione di trasferimento ad anello chiuso o guadagno di anello chiuso il rapporto tra uscita e ingresso prima del nodo:
close loop gain GF =
Definiamo guadagno di anello aperto il rapporto tra uscita e ingresso dopo il nodo:
open loop gain =
Nel caso particolare degli amplificatori, G rappresenta il guadagno dell’amplificatore base.
Vediamo di calcolare il guadagno di anello chiuso in funzione di G, nei due casi di nodo di somma e di sottrazione:
nodo di somma:
L’ultima espressione rappresenta il guadagno di anello chiuso espresso in funzione di G e H.
nodo di sottrazione:
Nota bene: come vedremo, nei circuiti non è affatto semplice individuare i blocchi G e H, ma esiste un metodo per calcolare direttamente la quantità GH, che quindi risulta molto più importante dei singoli G e H.
Il blocco GH viene definito normalmente guadagno di anello.
Il guadagno di anello chiuso GF , nel caso della sottrazione, ha lo stesso segno di G ed è minore di G (viste le assunzioni fatte precedentemente).
Nel caso della somma, abbiamo tre sottocasi:
GH=1: teoricamente il guadagno è infinito (utilizzato negli oscillatori)
GH G e concorde in segno con G (utilizzato nei comparatori di soglia)
GH>1: l’uscita cambia segno ad ogni ciclo (sistema instabile)
Supponiamo ora di ragionare su una reazione con nodo di sottrazione.
Immaginiamo che Se rimanga costante e che ci sia una variazione positiva di Su; di conseguenza si ha una variazione positiva di Sf e dunque una variazione negativa di Si. Il risultato è intuitivo: la reazione negativa si oppone alle variazioni,cioè tende a stabilizzare il sistema perchè minimizza i cambiamenti dell’uscita. La reazione positiva, al contrario, tende ad esaltare le variazioni, ingigantendole.
Calcoliamo la variazione del guadagno di anello chiuso GF in rapporto alla variazione del guadagno G:
In altre parole, una variazione nel guadagno G induce una variazione di GF , ma divisa per la quantità (1+GH), quantità chiamata desensitivity. Questo significa che, come abbiamo già detto, nella reazione negativa una variazione di G ha un effetto molto trascurabile sul guadagno di anello chiuso (perché la quantità (1+GH) è normalmente grande, specialmente se parliamo di amplificatori).
Per fare un esempio, poniamo che il guadagno G possa variare da x a 10x, cioè dG/G=10, che siano G=25000 e H=0,1;
Si può vedere che più G è grande e meglio l’anello minimizza la variabilità di G. Quindi se abbiamo incertezza sul valore di G, ma G è abbastanza grande, otteniamo un valore di GF più piccolo ma ne conosciamo il valore con maggior precisione.
8.1.1. Definizione di guadagno di anello e di reazione positiva/negativa
Vediamo ora la definizione vera e formale del guadagno di anello.
Dato un sistema ad anello chiuso con Se=0, si definisce all’interno dell’anello un taglio, mantenendo invariati i livelli di impedenza; si applica da un lato del taglio un generatore di tensione e si misura la tensione S all’altro lato del taglio (fig. 8.3).

A questo punto siamo in grado di dare la vera definizione di reazione positiva e negativa:
una reazione è positiva quando il rapporto S/ è positivo, è negativa quando tale rapporto è negativo.
Come promesso, vediamo ora il metodo che si adotta per calcolare il guadagno di anello.
Consideriamo ad esempio il circuito di fig 8.4.
In questo esempio (amplificatore di tensione), A coincide con il blocco G e la parentesi coincide con il blocco H.
Se noi consideriamo invece l’amplificatore di trans-resistenza (identico al precedente ma il generatore di tensione si trova sul ramo con R1), otteniamo come guadagno di anello lo stesso valore, ma in questo caso non è vero che A coincide con G e la parentesi con H.
Comunque, come già detto, a noi non interessa individuare sul circuito i blocchi G e H, ma solo il metodo per calcolare Ga.
8.2 Amplificatori reazionati
I concetti di reazione visti, ci interessano solo relativamente alla loro applicazione sugli amplificatori. Vediamo dunque più in dettaglio un anello di reazione quando esso rappresenta un amplificatore (fig 8.5).
Supponiamo che i due blocchi siano dei doppi bipoli (fig 8.6).
Nota: i due blocchi disegnati non devono avere per forza come funzioni di trasferimento i valori G e H, perché abbiamo già detto che negli amplificatori questi due blocchi sono difficilmente individuabili.
Cosa significa prelevare una tensione o una corrente? Significa misurare la tensione SUL carico e la corrente NEL carico. Infatti sono importanti queste grandezze solo se relative al carico, e non ad un qualche altro punto della reazione.
Leggere la tensione
Leggere la corrente
Spostiamo la nostra attenzione sul punto di somma che si trova a sinistra dello schema a blocchi G-H. Circuitalmente, cosa significa sommare (sottrarre) correnti e tensioni? In linea generale, per sommare due tensioni occorre avere una maglia e una serie, per sommare due correnti occorre avere un nodo e un parallelo.
Sommare la tensione
Sommare la corrente
Abbiamo visto due configurazioni all’uscita (prelievo di tensione e di corrente) e due configurazioni all’ingresso (somma di tensioni e di correnti); con le 4 configurazioni possibili che otteniamo possiamo realizzare i 4 tipi di amplificatori che abbiamo già visto.
La prima parte del nome si riferisce alla grandezza prelevata in uscita, la seconda parte alla grandezza sommata in ingresso (ricorda: somma di tensione=serie, somma di correnti=parallelo).
Possiamo a questo punto dimostrare che le impedenze di ingresso e di uscita dei 4 amplificatori dipendendono dalla desensitivity. Per far comparire questo termine nelle equazioni occorre scegliere opportunamente il modello con cui rappresentiamo l’amplificatore di base.
Nei calcoli che seguono supponiamo che il blocco di reazione sia unidirezionale e che abbia impedenze di ingresso ideali (infinite o nulle a seconda dei casi).
8.2.1. Amplificatore di tensione
Impedenza di ingresso:
Impedenza di uscita:
per calcolarla, come al solito sostituisco il carico con un generatore di tensione V, annullo il generatore indipendente VS e poi determino il rapporto V/I:
Sia l’impedenza di ingresso che quella di uscita dipendono da un fattore 1+AH che è la desensitivity.
8.2.2. Amplificatore di corrente
Impedenza di ingresso:
Impedenza di uscita:
per calcolarla, sostituisco il carico con un generatore di corrente e tolgo il generatore di corrente indipendente, poi calcolo il rapporto V/I:
Nota: come già detto prima di iniziare i calcoli, il blocco (1+AH) compare in tutti i risultati non casualmente, ma grazie ad un’opportuna rappresentazione del blocco amplificatore (tramite Thévenin o Norton).
Se provassimo a rifare i calcoli prendendo in esame una reazione positiva, nel caso in cui la quantità AH che compare nelle impedenze fosse minore di 1, troveremmo risultati analoghi ma opposti; se la quantità AH fosse invece maggiore di 1 otterremmo resistenze negative, e ciò significa semplicemente che il sistema sarebbe instabile (i poli si trovano nel semipiano positivo delle sigma) oppure oscillante.
8.3. CASO DI STUDIO: anello di reazione su amplificatore
Faremo alcuni calcoli “formali” e vedremo le differenze tra i risultati teorici e la realtà. Le regole della reazione servono durante la fase di progetto, non nel calcolo della rete, dove si utilizzano le regole dell’elettrotecnica.
Prendiamo in considerazione l’amplificatore di tensione e utilizziamo il metodo dei nodi.
Il circuito di fig 8.17a è la solita rappresentazione dell’amplificatore di tensione; il circuito di fig 8.17b è del tutto equivalente: è stato solo ridisegnato cambiandone solo la forma.
Le equazioni (1) e (2) formano un sistema con due incognite: VS e V2 . Utilizziamo il metodo di Kramer per calcolare V2:
Siccome V2 coincide con l’uscita VU , il rapporto trovato rappresenta il guadagno GF dell’amplificatore di tensione; ora modifichiamo un po’ questa espressione in modo da far comparire una quantità di tipo (1+XY); a questo scopo modifichiamo il denominatore:
Riorganizziamo la seconda grande parentesi del denominatore:
La quantità che abbiamo messo infine in evidenza è riportata qui a sinistra.
Questa quantità, a parte il segno che dipende dalla definizione scelta, coincide con il guadagno di anello Ga.
Operiamo ancora una trasformazione al denominatore, questa volta sulla parentesi quadra a sinistra:
In questa forma possiamo mettere in evidenza due termini:
AD è detto guadagno del sistema “morto”, cioè senza amplificatore; è come se avessimo messo a zero il generatore pilotato (Avi=0); in una reazione teorica questo implicherebbe annullare anche l’uscita, ma in un sistema reale i blocchi non sono unidirezionali e quindi un contributo di guadagno lo vediamo comunque. Tale contributo è tanto più trascurabile quanto è più grande il secondo termine AO , che dipende dal valore di A; siccome A negli amplificatori è un valore molto grande, il contributo di AD è effettivamente trascurabile rispetto ad AO.
AO rappresenta invece il guadagno dell’amplificatore di base (in altre parole il blocco G nello schema a blocchi).
Vale la seguente relazione:

Il guadagno ad anello aperto (AOL) è dato dalla somma del guadagno del sistema morto (senza amplificatore) con il guadagno intrinseco dell’amplificatore. Dividendo AOL per la quantità (1+Ga) si ottiene infine il guadagno ad anello chiuso.
8.3.1. METODO GENERALE PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI REAZIONATI CON 1 ANELLO
Prendiamo in considerazione il circuito appena studiato (fig 8.18).
Abbiamo espresso le variabili dipendenti in funzione di quelle indipendenti tramite opportuni coefficienti.
Ora ricaviamo dalla prima:
Sostituiamo tale espressione nella seconda equazione e rinomianiamo le costanti:
Imponiamo ora l’equazione di vincolo: (infatti circuitalmente la tensione pilotante e quella pilotata hanno lo stesso valore); ora sostituiamo nella prima espressione del sistema :
Quest’ultima espressione fornisce il rapporto tra uscita e ingresso, cioè il guadagno del sistema; nota la somiglianza di questa espressione con quella trovata nel caso di studio precedente.
La quantità t12 t22 è il guadagno di anello; invece, nel caso dell’amplificatore, la quantità t12 t 21 è il guadagno dell’amplificatore. Infine, t11 è il guadagno del sistema morto.
Calcoliamo i coefficienti tij :
Applichiamo queste formule al circuito in esame:
t11:
Questa quantità è il guadagno del sistema morto AD
t12:
t21:
t22:
Nota: con questo metodo formale otteniamo gli stessi risultati che possiamo ottenere con i calcoli visti precedentemente.
8.3.2. FORMULA DI BLACKMAN (doppio bipolo reazionato)
La formula di Blackman è utile per calcolare l’impedenza di ingresso di un doppio bipolo reazionato.
Per calcolare l’impedenza di ingresso di un doppio bipolo posso applicare ai morsetti di ingresso un generatore di tensione V, misurare la corrente I che eroga e calcolare il rapporto V/I (fig 8.19a). Oppure, al contrario, applico un generatore di corrente e trovo l’inverso dell’impedenza di ingresso calcolando il rapporto I/V (fig 8.19b).
V=ingresso, I=uscita: I=f(V) I=ingresso, V=uscita: V=f(I)
Siccome parliamo di doppi bipoli reazionati, tale funzione avrà una forma di questo tipo (trovata precedentemente in via teorica):
Basandosi sulle considerazioni precedenti, la formula di Blackman permette di calcolare l’impedenza di ingresso:

dove RIF=impedenza di ingresso, RID=impedenza del sistema morto,
Per capire meglio, vediamo un esempio; consideriamo il circuito di fig 8.20.
Per calcolare TOC sostituiamo l’ingresso VS con un circuito aperto (fig 8.21) e calcoliamo:
Allo stesso risultato si arriva calcolando l’impedenza di ingresso con i metodi “tradizionali”.
8.4. Risposta in frequenza degli amplificatori reazionati
Vediamo la risposta in frequenza di tre amplificatori base quando vengono posti in reazione; i tre sono rappresentati in fig. 8.23a, 8.23b, 8.23c.
8.4.1. Amplificatore larga banda
La funzione di trasferimento è

dove Go rappresenta l’altezza della parte piatta, a è il polo a minor frequenza e è il polo a maggior frequenza.
Posso studiare l’effetto della reazione separando la zona di bassa frequenza e quella di alta frequenza.
Bassa frequenza:
Alta frequenza:
L’effetto complessivo consiste in una diminuzione del guadagno e in un allargamento della banda.
8.4.2. Amplificatore operazionale
L’amplificatore operazionale compensato internamente presenta due poli, quindi è un sistema del secondo ordine (fig 8.26).
Poniamo che un sistema di questo tipo venga chiuso in un anello di reazione (con blocco di reazione costante):
Come si può vedere, la relazione che esprime il guadagno di anello chiuso è composta da una prima parte che indica l’abbassamento di guadagno per la solita quantità 1+G0H, e da una seconda parte che presenta due poli, che possono essere complessi coniugati o reali.
Il denominatore di questa seconda parte può essere scritto in altre due forme:
dove Q è detto fattore di qualità e k fattore di smorzamento.
Si può dimostrare che:
• per presenta un massimo e ha soluzioni complesse e coniugate
• per k>1 ha soluzioni reali
• per ha due soluzioni complesse e coniugate ma non presenta un massimo
Un caso particolare ma molto importante è il seguente.
Assumiamo che valga la seguente relazione:
[]
cioè assumiamo che la distanza tra i due poli coincida con il guadagno di anello in bassa frequenza.
Riprendiamo la formula di prima aggiungendovi questa condizione:
ipotizzando che , la formula precedente si semplifica:
oppure
dove è la frequenza di oscillazione non smorzata. Il polo più a destra ha la stessa pulsazione della frequenza di oscillazione non smorzata (questo è il polo “naturale” dell’amplificatore operazionale, mentre l’altro è il polo compensato;(vediamo più avanti come si compensa).
Risultano:
e siccome presenta un massimo (fig 8.27).
Se invece:
• •>4>G0H presenta due soluzioni reali
• •>=2>G0H presenta due soluzioni complesse coniugate ma non presenta un massimo
• •

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