Rimozione di alcune ipotesi semplificative di calcolo

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Categoria:	Economia
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Data:	17.01.2001
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3.6. Rimozione di alcune ipotesi semplificative di calcolo
1- Tra le ipotesi aggiuntive enunciate nel paragrafo 3.1.2 , la numero 4) esprimeva l’uguaglianza tra il costo del capitale K e il tasso di reinvestimento i dei flussi di cassa positivi.
Volendo ora eliminare tale ipotesi, assumendo ii K, deve essere riformulata l’espressione di NPV ;seguiamo i passi fondamentali da percorrere .
1° passo : noti i flussi di cassa positivi FC IN , calcolarne il Terminal Value attraverso il tasso di reinvestimento i
TV = dove i= tasso di reinvestimento
2° passo : calcolo NPV attualizzando il TV e i FC OUT attraverso K
NPV = dove K = costo del capitale
2- Rimuoviamo adesso l’ipotesi numero 2), secondo la quale K e i rimangano costanti negli anni.
Se i cambia negli anni :
TV = dove j=t+1 in quanto un flusso di cassa in t puт essere capitalizzato a partire da t+1
Se K cambia negli anni :
NPV =
ESEMPIO
Valutare il NPV di un progetto che presenta i seguenti valori di F.C., K e i al variare del tempo:
Anno
Flussi di Cassa
K
i

- 1000 MЈ
1
+ 300 MЈ
12%
15%
2
+ 700 MЈ
13%
18%
3
+ 1500 MЈ
14%
20%
1. Calcoliamo il TV nel caso di i variabile
TV = 300 (1+0,18) (1+0,2) + 700 (1+0,2) + 1500 = 2764,8 MЈ
2. Calcoliamo NPV
NPV = MЈ
3.7. Il Valore Attuale e il Costo del Capitale modificati
Le decisioni d’investimento comportano sempre degli effetti secondari sul finanziamento: ogni dollaro che viene speso deve essere in qualche modo raccolto.
In un mondo ipotetico dove non esistono imposte, costi di transazione e altre imperfezioni di mercato, le imprese potrebbero prendere in esame tutte le opportunitа di investimento come se fossero totalmente finanziate da capitale proprio, quindi decidere quali attivitа acquistare e successivamente preoccuparsi di ottenere denaro con cui pagarle. Nessuno si preoccuperebbe della provenienza del denaro, in quanto la politica di indebitamento, la politica dei dividendi e tutte le altre scelte finanziarie possibili non avrebbero alcuna ripercussione sulla ricchezza degli azionisti.
In pratica perт gli effetti secondari non possono venire ignorati: in particolare ci concentreremo sui benefici fiscali degli interessi sui debiti. Tali interessi sono costi deducibili, cosм un progetto che spinge l’impresa a contrarre maggior debito, crea valore. Il Net Present Value deve quindi essere corretto per tener conto dei benefici fiscali degli interessi generati dal debito che finanzia il progetto.
Affrontiamo la questione attraverso una serie di esempi pratici.
3.7.1. Aumento della capacitа di debito dell’impresa
Supponiamo che un’impresa abbia come obiettivo un rapporto d’indebitamento del 50% : la sua politica и cioи quella di limitare il debito al 50% delle sue attivitа. E’ chiaro quindi che piщ investe, piщ si indebita: la societа tende ad aumentare quindi la sua capacitа di debito.
Un aumento dell’indebitamento crea un qualche valore? La risposta generalmente piщ accettata и “sм”, a causa dei benefici fiscali generati dal pagamento degli interessi sul debito. Se consideriamo quindi l’impresa nel suo complesso, si puт affermare che:
valore dell’impresa = valore se fosse finanziata totalmente dal capitale netto
+ valore attuale del beneficio fiscale

Possiamo utilizzare lo stesso approccio anche nel caso di progetto particolare: al NPV del progetto si dovrа aggiungere il contributo dei benefici fiscali, che costituiscono il valore della capacitа di debito addizionale creata dal progetto, quindi
Valore Attuale Modificato = VAM = NPV base + VA del beneficio fiscale
Esempio: Progetto Pannelli Solari
Si prevede che il progetto pannelli solari aumenti le attivitа dell’impresa “Calore a tutte le ore” di 10 milioni di lire e che la societа si senta quindi stimolata a prendere a prestito altri 5 milioni. Il prestito viene restituito in rate costanti di 500mila lire. Il prestito viene concesso ad un tasso d’interesse dell’8% e il risparmio fiscale generato dagli interessi и del 34%.
Calcoliamo ora i benefici fiscali degli interessi.
Dati di Partenza:
1. Aliquota d’imposta marginale = 0.34 ; Beneficio Fiscale = 0.34 * interessi
2. Capitale restituito alla fine dell’anno in 10 rate da 500 000 Ј l’una
3. Il tasso d’interesse sul debito и l’8%
4. Il valore attuale и calcolato al costo di indebitamento pari all’8%
Anno
D = Debito in circolazione ad inizio anno [10^3 Ј]
I =Interessi
B =
Beneficio fiscale
degli interessi
VAB =
Valore attuale
del beneficio fiscale
1
5000
400
136
126
2
4500
360
122
105
3
4000
320
109
87
4
3500
280
95
70
5
3000
240
82
56
6
2500
200
68
43
7
2000
160
54
32
8
1500
120
41
22
9
1000
80
27
14
10
500
40
14
6
TOTALE =
561
Per ogni anno i si calcola:
I = D * 0.08
B = I * 0.34
VAB = B/ (1.08)i
Da cui:
VAM = NPV base + VA del beneficio fiscale = NPV base + 561 000 KЈ
Dal risultato ottenuto si vede come il progetto pannelli solari и ancor piщ interessante se si riconosce il suo contributo alla capacitа di debito dell’impresa. Infatti fino ad ora ritenevamo accettabili investimenti con NPV>0, in questo caso invece si vede come il progetto in esame sia accettabile anche quando il suo NPV fosse anche solo di poco superiore a -561 000 KЈ.
3.7.2. Il Costo Modificato del Capitale
Dal punto di vista matematico, calcolare il VAM non и difficile, ma individuare e valutare gli effetti secondari di un progetto richiede una buona dose di raffinatezza. Molte imprese usano allora una procedura piщ semplice: invece di correggere il valore attuale, correggono il tasso di attualizzazione. Questo permette di utilizzare direttamente la formulazione di NPV, introducendovi un costo del capitale modificato r* che riflette sia il costo opportunitа r del capitale, sia gli effetti secondari connessi con il finanziamento del progetto.
La regola di accettazione di un progetto si riscriverа semplicemente come:
Accettare progetti che presentano un NPV positivo al costo modificato del capitale
Un metodo semplice e universalmente corretto per calcolare r* non esiste ; vi sono perт alcune utili formule “pronte per l’uso”.
La formula di Modigliani-Miller
La formula proposta da M&M и corretta solo per progetti:
1. che generano un flusso di cassa costante e perpetuo
2. in grado di sostenere un debito permanente
Tuttavia se si applica la formula per progetti a vita limitata o che presentano successioni non troppo irregolari dei flussi di cassa, gli errori si mantengono accettabili [2- 6 %].
L’espressione и cosм esplicitata:
r* = r ( 1- T* L )
dove:
r = costo opportunitа del capitale
L = contributo marginale del progetto alla capacitа di debito dell’impresa in proporzione al valore attuale del progetto stesso
T* = risparmio fiscale netto generato dagli interessi
Esempio: il progetto geotermico
Cerchiamo di spiegare l’approccio del costo del capitale modificato con M&M con un esempio. Il progetto prevede lo sfruttamento di una sorgente di energia geotermica al fine di fornire riscaldamento a un centro commerciale. Si tratta di un progetto da 1 milione di lire. Una volta avviato, il progetto farа risparmiare 220mila Ј all’anno, al netto delle imposte. Ipotizziamo che il risparmio continui all’infinito. Il rischio operativo dell’iniziativa richiede un tasso di sconto del 20%: questo и r, il costo opportunitа del capitale. Cosм, il NPV base del progetto и appena positivo:
NPV base = -1 000 000 + (220 000 / 0.20) = + 100 000 Ј
Si ipotizzi che il progetto presenti un effetto collaterale finanziario e cioи che aumenti di 400 000 Ј la capacitа di debito dell’impresa. Il progetto, di durata infinita, sostiene un indebitamento perenne. Se il tasso d’interesse и il 14% e il beneficio fiscale netto и T*=0.34, il progetto sostiene benefici fiscali pari a
Benefici Fiscali = 0.34*0.14*400 000 = 19 040 Ј all’anno per sempre
Il valore attuale di questi benefici fiscali corrisponde a
VAB = 19 040 / 0.14 = 136 000 Ј
Il valore attuale modificato del progetto geotermico и quindi :
VAM = NPV base + VA del beneficio fiscale = 100 000 + 136 000 = + 236 000 Ј
Il progetto geotermico и ancora piщ interessante qualora si riconosca il suo contributo alla capacitа di debito dell’impresa.
Il valore attuale del beneficio fiscale degli interessi и +136 000 Ј. Il progetto geotermico sarebbe quindi ancora accettabile anche nel caso in cui il NPV base fosse solo -136 000 Ј. In questo caso, quale sarebbe il minimo reddito accettabile ? Per rispondere alla domanda dobbiamo metterci proprio nel caso di NPV base pari a -136 000 $ e quindi ricavare il reddito annuo del progetto :
minimo NPV accettabile = - 1000 000 + (reddito annuo / 0.20) = -136 000 Ј
da cui reddito annuo = 172 800 Ј
Questo и il minimo reddito annuo accettabile dall’impresa, mentre il minimo tasso interno di rendimento accettabile и
r* = 172 800 / 1000 000 = 0.173 = 17.3 %1
Quello appena calcolato и il rendimento minimo che l’impresa и disposta ad accettare da progetti di questo tipo : si tratta del IRR per il quale il VAM и pari a zero.
Il valore di r* puт essere calcolato direttamente mediante la formula di M&M : il contributo del progetto geotermico alla capacitа di debito dell’impresa и 400 000 Ј quindi L=0.40, il costo opportunitа del capitale del progetto e r=0.20, mentre ipotizziamo che T*=0.34. Quindi :
r* = r ( 1- T* L ) = 0.20 [1- 0.34 (0.4)] = 0.173 =17.3 %
Abbiamo cosм ritrovato il valore precedentemente calcolato del costo modificato del capitale del progetto.
La formula di Miles - Ezzell
Miles ed Ezzell hanno elaborato un’altra formula per la valutazione del costo del capitale modificato:
in cui, rispetto alla formula di M&M, compare il termine rD, cioи il costo dell’indebitamento.
Questa formula parte dal presupposto che l’impresa modificherа il proprio indebitamento in modo da seguire ogni fluttuazione del valore futuro del progetto. Se questo presupposto и corretto, la formula puт essere applicata a progetti con qualsiasi tipo di scadenza o sequenze di flussi di cassa.
La caratteristica della formula di Miles-Ezzel и quella di dare tassi di attualizzazione modificati leggermente piщ alti di quelli che si ottengono con la formula di M&M : la veritа sta probabilmente in qualche misura tra le due posizioni.
Esempio
Supponiamo di analizzare la situazione di un’azienda la cui strategia non sia “Prendere sempre a prestito 400 000 Ј”, bensм “Prendere sempre a prestito il 40% del progetto geotermico”. In questo caso se il valore del progetto aumenta, l’impresa assume maggior debito; se diminuisce, ne assume meno. A queste condizioni, non siamo piщ in grado di scontare i benefici fiscali degli interessi futuri al tasso d’interesse dell’indebitamento, in quanto tali flussi non sono piщ un dato certo e fisso. L’entitа del beneficio dipende dall’ammontare per il quale ci si и realmente indebitati e quindi dal reale valore futuro del progetto.
Quando un’impresa modifica il suo indebitamento per mantenere costante la sua incidenza sul valore del progetto, la formula di Miles-Ezzell permette di ottenere la soluzione esatta:
Riprendendo i dati relativi al progetto geotermico risulta:
r*= 0.20 - (0.4) (0.14) (0.34) (1.20 / 1.14 ) = 0.18 = 18 %
Attualizzando i flussi di cassa del progetto al 18%, otteniamo un valore attuale netto di:
NPV = - 1 000 000 + ( 220 000 / 0.18 ) = + 222 200 Ј
La formula del Costo Medio Ponderato
Entrambe le formule prima introdotte presuppongono di conoscere il valore di r, cioи il costo opportunitа del capitale. Se questo non и noto, si puт valutare il costo del capitale modificato usando la formula del costo medio ponderato:
dove rD и il tasso corrente d’interesse sui debiti dell’impresa, rCN и il tasso di rendimento atteso che gli investitori richiedono dalle azioni dell’impresa, Tc и l’aliquota d’imposta marginale sul reddito della societа. Le quantitа D e CN sono i valori correnti del debito e del capitale netto, mentre A=D+CN rappresenta il valore globale dell’impresa.
Il concetto sul quale si basa questa formula и semplice e intuitivo. Un nuovo progetto и un buon progetto se и sufficientemente redditizio da pagare gli interessi (al netto delle imposte) maturati sul debito contratto per finanziarlo e generare al tempo stesso un maggior tasso di rendimento atteso sul capitale netto investito, dove, per rendimento sul capitale netto “maggiore”, intendiamo un valore superiore a rCN, tasso di rendimento atteso richiesto da coloro che investono nelle azioni dell’impresa.
A rigore di termini, questa formula puт essere applicata solo a progetti assolutamente identici all’impresa esistente, progetti quindi che presentano lo stesso rischio operativo e che verranno finanziati al fine di conservare l’attuale rapporto d’indebitamento. Le imprese possono comunque applicarla per ottenere un tasso di riferimento che verrа aumentato nel caso di progetti particolarmente rischiosi e diminuito nel caso di progetti particolarmente sicuri.
Esempio: applicazione della formula del Costo Medio Ponderato al progetto geotermico
Immaginiamo il progetto geotermico come un’impresa indipendente, costituita da una sola attivitа che chiameremo Geothermal. Quando il progetto sarа realizzato, il valore di mercato delle Geothermal corrisponderа all’investimento iniziale piщ il VAM del progetto.
Nell’esempio precedente, abbiamo calcolato che se la Geothermal mantenesse un rapporto d’indebitamento costante del 40%, il VAM sarebbe 222 200 Ј. Quindi il bilancio delle societа sarebbe:
ATTIVITA’
(investimento iniziale + VAM )
1 222 200
488 900
DEBITO
(40% del valore dell’impresa)
733 300
CAPITALE NETTO
(60% del valore dell’impresa)
------------------
-----------------------
1 222 200
1 222 200
Gli azionisti, ogni anno, si aspettano di percepire il flusso di cassa proveniente dall’investimento (C), meno il pagamento degli interessi sul debito (rD D), piщ il beneficio fiscale dell’interesse (TC rD D):
reddito atteso del capitale = C - rD D + TC rD D = 220 000 - 0.14 (488 900) + 0.34 (0.14) (488 900) =
reddito atteso del capitale = 174 800 Ј
Il tasso di rendimento atteso dal capitale netto и pari al reddito atteso del capitale netto diviso il valore del capitale netto:
tasso di rendimento atteso dal capitale netto = rE = (reddito atteso del capitale netto)/(capitale netto)
rE = 174 800 / 733 300 = 0.238 = 23.8 %
Supponiamo ora che la Geothermal incontri inaspettatamente un’altra opportunitа d’investimento in tutto uguale alla prima, ad eccezione della redditivitа. Presenta lo stesso rischio operativo e la stessa sequenza di flussi di cassa. Di conseguenza, la Geothermal decide di prendere a prestito il 40% del valore del progetto.
Se il management avesse dimenticato i calcoli riportati nell’esempio precedente, potrebbe applicare la formula del costo medio ponderato del capitale per ricavare il giusto tasso di attualizzazione modificato:
= 0.14 (1 - 0.34) (0.4) + 0.238 (0.6) = 0.18 = 18 %
Abbiamo cosм ritrovato lo stesso valore al quale siamo arrivati applicando la formula di Miles ed Ezzell.
Esempio di Riepilogo
La societа “Kuki & Scila” sta valutando la bontа del progetto “Nuovi Cuccioli”, caratterizzato da un esborso iniziale di 800 MЈ. Tale progetto garantisce una rendita annua, al netto delle imposte, di 150MЈ.
La strategia di finanziamento dell’impresa prevede di coprire il 30% del valore del progetto con capitali presi a prestito.
Sapendo che il costo del capitale и il 22%, il tasso d’interesse sui debiti и il 15% e il beneficio fiscale и il 34% , valutare l’accettabilitа dell’investimento.
Svolgimento
Il testo suggerisce l’applicabilitа della formula di Miles ed Ezzel, dove:
r = 0,22
rD = 0,15
T* = 0,34
L = 0,30
quindi il costo modificato del capitale sarа:
= 0,204
I flussi di cassa del progetto devono essere attualizzati attraverso il costo del capitale modificato; si ha cosм:
NPV = - 800 + ( 150 / 0,204 ) = - 65 MЈ < 0
L’investimento non deve quindi essere accettato.
La minima rendita annua accettabile si ricava dall’espressione:
NPV N 0 NPV = - 800 + ( FC / 0,204 ) / 0
da cui:
FC F 164 MЈ

1 Dato che il progetto genera una successione costante e ininterrotta di flussi di cassa, il IRR si ricava dividendo il flusso di cassa per l’investimento iniziale
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