Logica

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	23.05.2001
Numero di pagine:	5
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1. Una frase della quale si può stabilire la verità o la falsità è un enunciato ( o proposizione i cui valori di verità , vero o falso , indichiamo rispettivamente con 1 , 0 ) .
• Partendo da due enunciati a e b , possiamo collegarli con la congiunzione e , costruendo così un nuovo enunciato , che indichiamo con a Λ b (si legge a et b uno e l’altro ) . Completare la seguente tavola di verità di a Λ b , vale a dire , la tabella che riporta i valori di verità dell’enunciato composto a Λ b a partire da tutti i possibili valori di verità degli enunciati semplici a e b :
A
B
A Λ B

1

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1
(Lo 0 di a ( b in corrispondenza di a = 0 e b = 0 indica che se a e b sono entrambi falsi allora anche a ( b è falso ) . Fare un esempio inventando due enunciati a e b .
Poniamo come esempio i seguenti enunciati:
• a : vado a scuola
• b : sto bene
Considerando la tabella possiamo notare che basta la falsità di uno dei due enunciati per rendere falso l’insieme dei due enunciati(A et B).
Infatti A et B è vero solo nell’ultimo caso in cui i due enunciati sono entrambi veri.
• Possiamo anche collegare i due enunciati a e b con un altro connettivo , la disgiunzione non esclusiva o , indicata a V b ( si legge a vel b , uno o l’altro o entrambi ) . Costruire la corrispondente tavola di verità :
A
B
AVB

1
1
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1
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1

In questo caso ,invece, per rendere vero A V B basta che uno dei due enunciati sia vero, poiché A V B significa uno o l’altro o tutti e due.
Fare un esempio .
A:io gioco a calcio
B:io gioco a tennis
Se A è falso e B è vero allora A V B che significa uno o l’altro o entrambi sarà vero poiché ne basta uno vero..L’unico caso in cui A V B sarà falso è quando tutti e due gli enunciati saranno falsi.
• Indichiamo con ā la negazione dell’enunciato a (si legge non a).Qual è la corrispondente tavola di verità?Fare un esempio.
A
Ā
1

1
A:gioco a bocce
Ā:non gioco a bocce
Se l’enunciato A è vero per forza di cosa l’enunciato b sarà falso.
• Qual è la tavola di verità della disgiunzione esclusiva a aut b (uno o l’altro ma non entrambi)?Fare un esempio.
A
B
A autB

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1
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1
1

Siccome aut significa uno o l’altro ma non entrambi nell’ultimo caso ,in cui entrambi gli enunciati sono veri A aut B è falso, per il resto è uguale ad A V B.
A:gioco a calcio
B:gioco a bocce
Prendendo in considerazione l’ultimo caso “o gioco a calcio o gioco a bocce ma non posso fare entrambi quindi A aut B sarà falso.
• Supponiamo di sapere che il nostro libro preferito si trova in uno dei due cassetti dell’armadio e consideriamo gli enunciati seguenti:
• A: “il libro è nel 1° cassetto”
• B: “il libro è nel 2° cassetto”

Possiamo ritenere equivalenti (affermanti cioè la stessa cosa, in modo che siano entrambi veri o entrambi falsi)questi altri due enunciati?
• ā → b (se il libro non è nel 1° cassetto allora è nel 2°)
• a V b ( il libro è nel 1° oppure nel 2° cassetto)
Si i due enunciati sono equivalenti
in caso affermativo assegnare all’ enunciato ā → b la stessa tavola di verità di a V b e compilare la seguente
A
B
Ā
A V B
Ā→B

1

1
1
1
1
1

1
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1
1

1
1
Questa tavola di verità dimostra che A V B e A → B sono equivalenti.
Se A e B ora indicano due qualsiasi enunciati, quale tavola di verità si può ragionevolmente associare all’ implicazione A→B?
A
B
A V B
Ā → B
A → B
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1

1
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1
In questo caso possiamo notare che A → B è falsa solamente se la premessa è vera e la conclusione è falsa.
2 _ _
Dimostrare che gli enunciati A → B e Β→A sono equivalenti, vale a dire hanno la stessa tavola di verità.
A
B
A →B
B
Ā
B→ Ā

1
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1

Come possiamo osservare dalla tavola di verità A → B e B → Ā, sono equivalenti.

Un modo di ragionare è il seguente: ( A → B) Λ A → B.
Interpretare l’ enunciato e, costruendo la tavola di verità, verificare che è sempre vero (tautologia). Questo modo di ragionare è detto diretto (o modus ponens).
A
B
(A → B) Λ A → B
1
1
1
1

1
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Un altro modo di ragionare e il seguente:( B → Ā) Λ A → B.
Interpretare l’enunciato e verificare che è sempre vero.Questo modo di ragionare è detto indiretto ( o modus tollens).
L’implicazione B → Ā costituisce la cosiddetta dimostrazione per assurdo ,quando si vuole provare che A → B.
A
B
(B → Ā) Λ A→ B
1
1
1

1

1
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5.L’ enunciato “x è un numero primo “,dove x è un numero naturale, si dice aperto, nel senso che non si può dire se è vero o falso, a meno che venga specificato il valore di x.
Collegando il precedente enunciato aperto al predicato P “essere un numero primo “, vale a dire abbreviando la scrittura “x è un numero primo “ con P(x), e utilizzando i simboli “x ( per ogni x) e xx (esiste un x) ,quale dei seguenti enunciati è vero?
I) Ix P(x) = falso poiché non è vero che per ogni x,x è un numero primo
II) Ix P(x) = vero poiché è vero che esiste un x,che possa anche essere un numero primo.
6.Consideriamo l’insieme U(universo) dei numeri sulle sei facce di un dado e il predicato P “essere un numero pari minore di 6” . Se x ” U ( x appartiene ad U) allora P(x) determina un sottoinsieme A di U e precisamente quello dei numeri che rendono vero l’enunciato P(x).
S scrive simbolicamente A = { x | P(x)} e si legge “l’insieme dei numeri x tali che vale per essi P(x)” . Se B è il sottoinsieme di U corrispondente al predicato “x è maggiore di 2”, allora quale insieme produce l’ intersezione A ” B ?
I) A quale connettivo logico è collegata l’ intersezione fra insiemi?
II) A quale connettivo logico è collegata l’unione degli insiemi A I B ?
III) Se indichiamo con U S A l’insieme dei numeri di U che non appartengono ad A (complementare di A rispetto ad U ), a quale connettivo logico è collegata questa operazione tra insiemi?
A = numeri pari minori di 6
B = numeri maggiori di 2
A A B = numeri pari minori di 6 e maggiori di 2
I)Il connettivo logico a cui è collegata l’intersezione fra insiemi è Λ (et)
II)il connettivo logico a cui è collegata l’unione degli insiemi A I B è V (vel uno o l’altro o entrambi)
III)Il connettivo logico in questo caso è Ā poiché se dall’ insieme degli elementi U togliamo il sottoinsieme A ciò che rimane è Ā.

7. I due enunciati seguenti sono equivalenti?
(A V B ) Λ C ; (A Λ C) V ( B Λ C)
Come si può vedere dalla figura i due enunciati sono quindi equivalenti.
(A V B) Λ C, è rappresentata dalla parte evidenziata.La stessa cosa vale per (A Λ C) V (B Λ C).

Il GRUPPO:
Coordinatore : Davide Tammaro:Ha spesso sollecitato il gruppo a non divagare ma a concentrarsi sul lavoro prendendo lui stesso l’iniziativa e di conseguenza ha svolto bene il suo incarico.
Critico : Mattia Mazza:ha partecipato attivamente al lavoro dando lo spunto per la risoluzione all’esercizio 2 e all’esercizio 5,risolti poi collettivamente di gruppo.Ha inoltre controllato che gli esercizi fossero svolti nella più completa pienezza.Infine ha aiutato il documentarista nella stesura della relazione.
Documentarista : Dario Michielin:ha aiutato il coordinatore, rimasto assente le prime lezione ad apprendere i primi concetti svolti in classe. Inoltre ha più volte dato spunto consentendo al gruppo di proseguire nella risoluzione degli esercizi, in particolare gli ultimi esercizi. Ha scritto questa relazione con l’ aiuto del critico cercando di essere esauriente il più possibile.