Le spirali

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Categoria:Matematica
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Testo

• Matematica
Esistono delle forme geometriche, come le spirali, che sono in grado, per complessi fattori psicologici non del tutto chiariti, di comunicarci un senso d’equilibrio, di gradimento e di benessere. Nell’arte e nell’architettura queste forme hanno suscitato interesse sin dall’antichità.
Fibonacci studiò una particolare serie di numeri, in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,...., che compaiono come elementi di base per la costruzione della spirale di Fibonacci.: si costruiscano due quadrati di lato 1 posti uno sull’altro, gli si affianchi un quadrato di lato 2, sopra si costruisca un quadrato di lato 3, ecc.. La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci e prosegue indefinitamente sia verso l'interno che verso l'esterno. Mano a mano che si avvicina al polo, la curva ci si avvolge intorno senza mai raggiungerlo. Se volessimo osservare il centro della spirale logaritmica con un microscopio o con una lente di ingrandimento questo ci apparirebbe esattamente come la spirale che si vedrebbe continuando la curva nel verso opposto, cioè crescere fino a diventare delle dimensioni di una galassia. La spirale logaritmica fu scoperta da Renato Cartesio nel 1638, cinquanta anni dopo un altro matematico, Bernoulli scopri molte altre sue proprietà e ne rimase talmente affascinato che richiese di averne una scolpita sulla sua pietra tombale, accompagnata dalla scritta latina "Eadem mutata resurgo" (Sebbene cambiata, rinasco identica). Purtroppo la spirale che ancora oggi è visibile sulla lapide del matematico a Basilea è una spirale di Archimede, forse l'unica che lo scalpellino riuscì a riprodurre; la scritta invece non compare. La spirale di Archimede e la spirale logaritmica si ottengono come proiezioni ortogonali di eliche avvolte su di un cono rotondo in modo che se ne conservino rispettivamente il passo e l’inclinazione.
• Arte
Le forme spiralizzate appaiono già nella pittura e nelle incisioni rupestri preistoriche. Un esempio è la piana di Nazca, una mappa stellare che utilizza le spirali al fine di segnalare costellazioni raggruppate in modo immaginario. Altro esempio è una Sfinge Etrusca, il cui profilo a spirale presente nell’ala ha il magico potere di trasformare il mostro immaginario in una figura quasi mistica e di straordinaria bellezza. Un caso emblematico di interazione tra geometria ed arte è il passaggio per sovrapposizione, dalla spirale di Cornu al capitello ionico. La pittura non poteva rimanere insensibile al fascino delle spirali: Vincent Van Gogh in un suo quadro inserisce delle stelle generatrici di luce che assumono la forma di spirali. Klimt invece utilizzò il binomio donna/spirale in un contesto di forme preziose e spesso deliranti. L’Art Nouveau, di cui Parigi fu la capitale, utilizzò i motivi spiratici e ad elica per adornare i balconi, verande, cancellate e suppellettili. Questi motivi furono usati per rompere le simmetrie consuete e sviluppare la fantasia. Escher, per esempio, trasse dalla geometria spiralitica delle suggestive figurazioni di livello superiore e riuscì quasi ad evidenziare l’infinito quando tramutò le sue conoscenze matematiche in arte. In “Legame senza fine” egli crea strutture tridimensionali da forme essenzialmente piatte e fornisce una rappresentazione pittorica del suo legame con la moglie. Una banda larga, senza ne inizio en fine, si innalza a formare delle spirale che costituiscono due teste sospese in uno spazio indefinito. I lineamenti sono fortemente stilizzati, in maniera che i due volti finiscono per assomigliarsi. Le forme cave sono circondate da sfere che contribuiscono a creare un senso di profondità spaziale.
• Architettura
Anche l’architettura ha subito il fascino delle spirali, ma soprattutto delle eliche. Nella pavimentazione della piazza del Campidoglio, progettata da Michelangelo, possiamo ritrovare dei motivi a spirale che sono analoghi a quelli presenti nella disposizione dei semi della corolla di un girasole. Le colonne di un monastero ortodosso a Zagorsk (Russia) sono adornate con foglie di vite e grappoli di uva secondo una simmetria elicoidali. In ambito architettonico la migliore analogia con le forme elicoidale la percepiamo nelle scale a chiocciola.
• Computer Graphics
Anche nell’ambito della Computer Graphics vi sono numerosi esempi di immagini digitalizzate o di elaborazioni grafiche che rappresentano casi interessanti di spirali. Strettamente connesso è l’uso di algoritmi per realizzare opere digitali dove la tela è sostituita dal monitor e il pennello dal mouse.
• Natura
In natura si trovano realizzate molte forme a spirale ed a elica, ne sono un esempio le galassie, le nebulose e l’occhio di un ciclone. Anche le conchiglie e le spiritrombe delle farfalle sono un esempio di spirali ed elicoidi. Altre crescite tipicamente elicoidali sono presenti nella formazione di comunissime piante e liane. Tipico esempio è la disposizione dei frutti, dei semi, delle margherite e dei girasoli. La disposizione delle foglie su un ramo rispetta una legge di tipo elicoidale non a caso ma per un motivo ben preciso: non farsi ombra reciprocamente in modo che possa avvenire correttamente la fotosintesi clorofilliana. Questa disposizione matematica delle foglie sui rami prende il nome di filolassi e fu messa in evidenza da Leonardo Da Vinci. La divergenza delle foglie o quoziente di filolassi prevede al numeratore il numero di giri che deve compiere l’ideale spirale, al denominatore il numero complessivo delle foglie comprese nel numero di giri della spirale.
• Conclusioni
Sia nella natura sia nell’arte esistono molti riferimenti alle spirali e alle elicoidi. Si è portati a pensare che queste forme, incontrate anche sui graffiti risalenti a miglia di anni fa, sia ancestrali nell’essere umano ( si pensi che il dna stessa ha una struttura elicoidale). Queste forme, a livello psicologico, inducono all’armonia e alla concentrazione. Le spirali e le elicoidi rappresentano quindi due aspetti in cui la matematica , l’arte e la natura si fondono.

Esempio