La parabola

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	20.11.2001
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LA PARABOLA

Una parabola è "il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta fissa detta direttrice". il punto P appartiene alla parabola se, e solo se, la distanza PF, dove F è il fuoco della parabola, è uguale alla distanza PH dove H è la proiezione di P sulla direttrice.

La parabola è una curva simmetrica rispetto a una retta che prende il nome di "asse" e, contrariamente alla circonferenza e all'ellisse, non è una curva chiusa; i suoi rami si estendono all'infinito. L'equazione canonica della parabola è:

y = ax2 + bx + c

se a è positivo allora la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, mentre se a è negativo la concavità è rivolta verso il basso. Nel caso di una parabola con concavità rivolta verso l'alto, il punto di minimo, ovvero il punto della parabola che ha coordinata x più piccola prende il nome di "vertice" della parabola; nel caso che la concavità della parabola sia rivolta verso il basso, il vertice è il punto di massimo, ovvero il punto che ha coordinata x massima, della parabola.
@Parabole con concavità verso l'alto e verso il basso
@Variazione dell'apertura della parabola al variare di a

Dall'equazione canonica della parabola è possibile determinare le coordinate del vertice:
la coordinata x del vertice è -b/2a
la coordinata y del vertice è (4ac - b2)/4a.
Per quanto riguarda il fuoco della parabola abbiamo:
la coordinata x del fuoco è -b/2a (la stessa del vertice poiché il fuoco e il vertice stanno sull'asse che è una retta parallela all'asse Y)
la coordinata y del fuoco è (1 + 4ac - b2)/4a
l'equazione dell'asse è x = -b/2a mentre
l'equazione della direttrice è y = (-1 + 4ac - b2)/4a

Data una parabola e una retta possono avvenire i seguenti casi:

1. la retta non interseca mai la parabola
2. la retta interseca la parabola in due punti distinti A e B
3. la retta interseca la parabola in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla parabola in T
4. la retta interseca la parabola in un punto P; allora la retta è parallela all'asse delle Y cioè parallela all'asse della parabola.

Analogamente per quanto fatto nel caso della circonferenza, per trovare i punti di intersezione si deve mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta e studiare il discriminante dell'equazione algebrica di secondo grado risultante

y= ax2 + bx + c
y = mx + q

risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo:

ax2 + bx + c -mx - q = 0

e raccogliendo i termini comuni abbiamo:

ax2 + (b-m)x +c -q = 0

Se il discriminante di questa equazione algebrica è positivo allora la retta è secante alla parabola in due punti distinti; se il discriminante è negativo la retta non interseca la parabola, mentre se il discriminante è nullo la retta è tangente alla parabola. Se la retta è parallela all'asse delle y, cioè parallela all'asse della parabola, l'equazione della retta è:

x = k

e quindi messa a sistema con l'equazione della parabola

y = ax2 + bx + c

e sostituendo k al posto di x si ottiene:

y = ak2 + bk + c

che è la coordinata y del punto di intersezione (la coordinata x del punto di intersezione e chiaramente k). Per determinare univocamente l'equazione di una parabola sono necessari tre punti non allineati, altrimenti la parabola degenera in una retta; un punto e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco e le coordinate del vertice; le coordinate del fuoco e l'equazione della direttrice.
La parabola è una curva molto importante per la fisica in quanto la traiettoria seguita da un proiettile sparato con una inclinazione rispetto al suolo diversa da 90° è una parabola.