Integrazione

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Categoria:	Matematica
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Data:	16.01.2001
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Integrazione

Curve regolari
Si consideri nel piano complesso C un arco di curva regolare tale che = {z C : z = z(t), t [a; b }, cioи z(t) и di classe c1 e z’(t) 0 in [a; b . Si dica z(a) = z0 e z(b) = z1, rispettivamente punto iniziale e finale dell’arco.
Un arco di curva regolare a tratti sarа l’insieme U di curve regolari 1, ..., ,n tali che il punto finale di ciascuno coincida con il punto iniziale del successivo.
Un arco di curva regolare a tratti U rappresentato da z = f(t), t r I = [a; b и detto chiuso se f(a) = f(b). Una curva regolare и detta semplice se t1 t2, f(t1) ) f(t2) eccetto al piщ per t1 = a e t2 = b. Una curva regolare chiusa e semplice sarа detta ciclo. e - rappresentano la stessa curva percorsa in senso opposto.

Una regione si dice avere ordine di connessione n, ovvero n-planamente connessa, se la sua frontiera consta dell’unione di n curve chiuse. Per n = 1 la regione si dice semplicemente connessa.
Una regione di ordine di connessione n ha (n - 1) buchi.
Sotto condizioni molto generali, da una regione con ordine di connessione n si puт ricavare, con (n - 1) tagli, una regione semplicemente connessa.

Integrazione lungo archi di curve regolari
Se f = u + jv и una funzione complessa continua di una variabile reale t, f : [a; b, C, si definisce l’integrale di f su [a; b, come

Sia f funzione complessa a valori complessi, definita su di un arco di curva regolare a tratti S. Sia z(t) = x(t) + jy(t), t . [a; b una rappresentazione di . L’integrale di f lungo . и per definizione

si dice cammino di integrazione.

Siano f(z) e g(z) due funzioni complesse e continue di variabile complessa su di una curva regolare a tratti S. Allora:
1. ;
2. ;
3. Sia S = 1 2, allora .

Sia S una arco di curva regolare a tratti e sia f(z) una funzione a valori complessi definita e integrabile su , allora se in piщ z z , ,f(z)f>z-z0 < < si ha (z - z0)f(z) - h(z0)) < < e, data la definizione di , si ha (z - z0))(z)=(z - z0)f(z)-h(z0). Allora )) > 0 scegliendo R = > si ha che (z - z0)f(z)-h(z0)) = (z - z0))(z)( < < e si conclude e cioи che il residuo di и nullo.
Un criterio pratico per il calcolo del residuo di un polo semplice in z0 и che se con n e d analitiche e n(z0) ) 0, allora

DIM.:

Formula integrale di Cauchy
Sia f analitica in una regione S. Sia . un cammino chiuso tutto contenuto in e percorso una sola volta in verso antiorario. Sia S la regione racchiusa da . Allora se w и un punto di . e z S si ha che z z S

DIM.:
Sia con w C. g(w) presenta al piщ un polo del primo ordine in w= z. Il residuo di g(w) in w = z и dato da
che и f(z).
Derivate successive di una funzione analitica
Sia (f, S un elelmento analitico, e sia un ciclo contenuto in . Allora .z z si ha

DIM.:
La si esegue per induzione completa.
Se esistono due valori successivi di n tali che la formula sia vera, basta che, supposta la formula vera per (n - 1), questa lo sia anche per n.
Se n = 0 allora , che и vera.
Se n = 1 si deve avere
, da cui:
l’operazione di scambio degli operatori limite ed integrale и lecita per la continuitа della funzione 1 / (w - z - /z) rispetto a zz;
.
Ora si supponga sia vera la formula per (n - 1). La si dimostra per n.
si ha
come in precedenza si applica il passaggio al limite e si invertono gli operatori. Si ottiene:
fine dell’induzione.
Sia (f, S) un elemento analitico e sia ) una circonferenza di centro z e raggio , tutta contenuta in ,. Allora detto M l’estremo superiore dei valori di .f(z)f su si ha:

DIM.:
L’equazione di L и (z - z0 = ejj), da cui
Teorema di Liouville
Se la funzione и analitica e limitata per ogni valore z S C, allora f и una costante.
DIM.:
Poichи f и limitata Pz z C, ,M > 0 tale che >f(z)f < M = 1. Allora p(z) = 0 ha almeno una radice.
DIM.:
Se p non fosse mai nulla per z S C, sarebbe analitica e non nulla z z C, inoltre siccome il limite tendente all’infinito di g и nullo, per Liuoville la p(z) sarebbe una costante. Ciт и assurdo.
Teorema fondamentale dell’algebra
In C, un polinomio di grado n ha esattamente n radici.
DIM.:
p(z) = 0 ha una radice z0. Divido allora p(z) per (z - z0) ed ho un polinomio di grado (n - 1) a cui applico lo stesso ragionamento. Ho allora
con n = n0 + n1 + ... + nk.
Sia (f, S) un elemento analitico e sia z0 un polo multiplo di ordine n. Allora

DIM.:
.
Decomposizione delle funzioni razionali
Una funzione razionale propria ha un numero finito di poli di ordine finito negli zeri z1, z2, ..., zn di molteplicitа n1, n2, ..., nn, di d(z), si ha allora la seguente decomposizione in fratti semplici:

in cui, nei coefficienti A, il primo pedice rappresenta il polo che si considera e il secondo il grado.
, , ..., , oppure