Integrali indefiniti

Materie:Riassunto
Categoria:Matematica
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Testo

INTEGRALI INDEFINITI
Consideriamo due funzioni ed definite in un intervallo [a,b].
Si dice che è primitiva di se F’(x) = .
Esempi:
• La funzione è una primitiva di , poiché è:
• La funzione è una primitiva di , poiché è:
• La funzione è una primitiva di , poiché è:
Se è primitiva di , anche + c sarà primitiva di .
L’insieme di tutte le primitive di una certa funzione si chiama Integrale indefinito e s’indica con il simbolo:
La funzione prende il nome di funzione integranda ed il simbolo indica la variabile rispetto alla quale si effettua l’operazione d’integrazione.
Da quanto è stato detto, finora, l’integrazione indefinita è l’operazione inversa della derivazione.
Esempi:
;
;
Le proprietà degli integrali indefiniti
Per l’operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà,che valgono anche per la derivazione:
• l’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:
con .
• l’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni:

Esempi:
.
Il metodo di scomposizione
Come abbiamo visto nell’ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma algebrica di altre funzioni, l’integrale si calcola scomponendo la funzione di partenza. Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione: l’integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali.
Esempi:
;

Altre regole di integrazione
Esistono altri metodi d’integrazione, tra cui:
- l’integrazione per sostituzione;
- l’integrazione delle funzioni razionali fratte;
- l’integrazione per parti.
Integrazione per sostituzione
Questo tipo d’integrazione permette di presentare l’integrale in una forma più semplice, questo accade solo se si sostituisce la variabile d’integrazione con un’altra variabile , legata a da una opportuna relazione. Dopo aver eseguito l’integrazione si deve nuovamente passare dalla variabile alla variabile .
Esempio:

Se poniamo:

e quindi:


Se poniamo:
e quindi:
Integrazione delle funzioni razionali fratte.
A volte la funzione integranda non si presenta come la derivata di una funzione nota, ma si può presentare come il rapporto tra due funzioni razionali intere di ugual grado.
Ogni qual volta la funzione integranda si presenta nella forma con e polinomi interi e con il grado di maggiore o uguale a quello di , è opportuno dividere per ;si otterrà cosi un quoziente ed un resto .Scrivendo allora:
la funzione integranda apparirà in una forma più semplice per il calcolo d’integrazione.
Esempio:

2x x+1
-2x-2 2
-2
dove:
q = 2
r = -2
quindi:


x2 +2x-3 x-2
-x2 + 2x x+4
4x-3
-4x+8
5

Se al denominatore si presenta un trinomio di secondo grado, l’integrazione si effettua con tre tecniche diverse, a seconda che nel trinomio il delta () sia maggiore, minore o uguale a zero.
Nel primo caso, con il , la tecnica d’integrazione, consiste nell’effettuare la scomposizione e poi nello spezzare la frazione in una somma algebrica di due frazioni col denominatore di primo grado.
In altre parole dopo la scomposizione del denominatore, la funzione integranda viene scritta come la somma algebrica di due funzioni aventi come denominatori i due fattori di 1° ottenuti e come numeratori due variabili A, B. In seguito si passa alla costruzione di un sistema per il calcolo delle variabili ( A, B), per poter definire le equazioni che compongono il sistema si sfrutta il principio d’identità dei polinomi, il quale enuncia che: due polinomi sono uguali se sono uguali i coefficienti d’egual grado.
Definiti i valori delle variabili, si va a sostituire il loro valore nell’integrale che a questo punto è di facile risoluzione.
Esempio:
scomposizione del denominatore
Quindi:
Costruzione del sistema:
Da cui:
quindi, l’integrale sarà:
Nel secondo caso, ∆ =0, il trinomio presente è uguale al quadrato di un binomio, eventualmente, moltiplicato per una costante. In questo caso, prima di passare alla scomposizione, bisogna far apparire al numeratore la derivata del denominatore.
Esempio:
La derivata del denominatore è .
Al numeratore bisogna far apparire l’espressione :
Svolgimento dell’integrale:
Quindi il risultato finale è:
Nel terzo caso, , il trinomio non è scomponibile in fattori, ma si può scrivere :
Questa legge deriva dallo sviluppo della regola di scomposizione di un’equazione di secondo grado :
imponiamo che x1 e x2 siano, alternativamente,:
La tecnica d’integrazione, in questo caso prevede di ricondursi alla derivata di un arcotangente (arctg).
Esempio:

Cerchiamo, separatamente, le soluzioni del denominatore:

Quindi:

A questo punto imponiamo la quantità in parentesi uguale a una variabile t

Il risultato finale sarà:
Integrazione per parti
Quando in un integrale è presente il prodotto di due funzioni, non è possibile risolvere in modo immediato l’integrale, per questo si utilizza la regola d’integrazione per parti.
La regola d’integrazione per parti si ricava dalla regola della derivazione di un prodotto di due funzioni.
Se e sono due funzioni derivabili si ha:
Ponendo l’integrale indefinito a entrambi i membri:
Essendo l’integrale l’inverso della derivata si elidono, quindi:
Da qui avremo che:
La regola d’integrazione per parti dice che: l’integrale del prodotto di una funzione finita per una funzione differenziata è uguale al prodotto delle due funzioni finite meno l’integrale della prima differenziata per la seconda finita
Esempi:
FF FD

Secondo la regola dovremmo sottrarre il fattore finito (FF, vale a dire e ) all’integrale del fattore differenziale (FD, in pratica e 1) quindi avremmo che:

Esempio