I limiti

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	18.05.2007
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LICEO CLASSICO “N. CARLOMAGNO” LABANCA LUCIANO IIIB
MATEMATICA
Illustra il concetto di limite di una funzione reale ad una variabile in tutti i casi possibili, avvalendoti della rappresentazione grafica.
Data una funzione: y = f(x)
con x appartenente all’insieme dei numeri reali R e definita in un intervallo (a,b), riportata la variabile x su una retta r orientata, ad ogni valore di x corrisponde un punto P di tale asse e all’intervallo di definizione della funzione, corrisponde un segmento che contiene, nel suo interno il punto P. Pertanto per intorno di un punto P di una retta r, si intende l’insieme dei punti, diversi da P, del segmento contenente P nel suo interno (gli estremi del segmento possono essere compresi o esclusi). Per intorno destro di P, intendiamo l’insieme dei punti, diversi da P, di un qualunque segmento avente P come primo estremo (il secondo estremo può essere compreso o escluso). Per intorno sinistro di P intendiamo l’insieme dei punti, diversi da P, di un qualunque segmento avente P come secondo estremo (il primo estremo può essere compreso o escluso).

Per intorno di + ∞ si intende l’insieme di tutti i punti della retta r di ascissa maggiore (o maggiore o uguale) di un numero a. Per intorno di - ∞ intendiamo l’insieme di tutti i punti della retta r di ascissa minore (o minore o uguale) di un numero a. Escludendo l’estremo a, si può indicare in simboli (a, + ∞), (-∞, a).
• Si dice che la funzione f(x) tende al limite l (o ha per limite l, o converge ad l) per x tendente ad , se posto un numero positivo ε, è possibile determinare in corrispondenza ad esso un intorno (a,b) di , contenuto nell’insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell’intorno risulti:
da cui l – ε < f(x) < l+ ε.
In simboli:

• Si dice che la funzione f(x) tende a + ∞ (o ha per limite + ∞ o diverge positivamente), per x tendente a , se prefissato liberamente un numero positivo M, abbastanza grande, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di , contenuto nell’insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell’intorno risulti
f(x)>M.

In simboli:
• Si dice che la funzione f(x) tende a - ∞ (o ha per limite - ∞o diverge negativamente), per x tendente a , se prefissato liberamente un numero positivo M, abbastanza grande, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di , contenuto nell’insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell’intorno risulti
f(x)M
In simboli:

• Si dice che la funzione f(x) tende a - ∞, (o che ha per limite - ∞, o che diverge negativamente) per x tendente a + ∞ [o a - ∞], se prefissato ad arbitrio un numero M, abbastanza grande, si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno di + ∞ [o di - ∞], contenuto nell’insieme di definizione della funzione, tale che per ogni x dell’intorno risulti:
f(x)