I limiti

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	14.03.2001
Numero di pagine:	2
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Teorema dell’unicità del limite
Posta una per x che tende a c, la funzione ammette un limite e questo è unico. Per assurdo ammettiamo che:

1
per la definizione di limite abbiamo che:
2
3
intersechiamo e ,

in questo intorno valgono le due relazioni 2 e 3 e quindi le sommo membro a membro:
4
confrontando la 1 con la 4 ricaviamo che:

poiché tende a 0 anche tende a 0 e quindi tende a .
È dimostrata l’unicità del limite.

Teorema del confronto
Siano date tre funzioni esistenti nello stesso dominio tali che . Per ipotesi
.
Si dimostra che .
Analizzando le funzioni dei due limiti abbiamo che:

intersecando i due intorni si ha:

pertanto è possibile affermare che:

per ipotesi

quindi

il limite è sempre .

Teorema della permanenza del segno
Data una esistente nel dominio D in cui
se ,
se in
per definizione

pongo

per quindi
per quindi .

Funzioni continue – quando .

Si dice che per la ha un punto di discontinuità di prima specie quando esistono e sono finiti e diversi tra loro i limiti dalla destra e dalla sinistra della funzione:
.
Si dice che per la ha un punto di discontinuità di seconda specie quando non esiste o non esiste finito uno almeno dei due limiti dalla destra e dalla sinistra:
.
Si dice che per la ha un punto di discontinuità di terza specie quando esiste finito ed uguale il limite da destra e da sinistra:

Limiti notevoliB

: consideriamo una circonferenza goniometrica e un angolo piccolo tendente a 0
Consideriamo i triangoli e , l’arco , ,
; ; ;
; ;
poiché la funzione seno è pari vale anche per un angolo negativo.

Asintoto obliquo -
se esiste ed è finito si calcola q
se è finito esiste l’asintoto.