Esercizi e soluzioni sui polinomi

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	12.12.2001
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Esercitazioni sui polinomi.
1) Trova tutti i polinomi p tali che p(0)=0 e che per ogni x, p(x²+1)=p(x)²+1
2) Siano a,b,c e d interi distinti e supponi che
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-4=0
abbia una radice intera r. Dimostrare che:
4r=a+b+c+d
3) Risolvi il seguente sistema:
x+y+z=a
x²+y²+z²=b²
xy=z²
per x, y e z (sono date le necessarie condizioni di a e b affinchè x,y e z sono distinti e positivi).
4) Sia a un numero fissato diverso da 0. Trova tutte le soluzioni(che ovviamente
dipendono da a) del sistema:
x+y+z=a
(1/x)+(1/y)+(1/z)=1/a
5) Per quali interi positivi n l’espressione:
x^n+(2+x)^n+(2-x)^n
ha una radice razionale?(y^n significa y elevato alla n-esima potenza)
6) Dimostrare che se a,b e c sono tre termini consecutivi di una progressione
aritmetica di interi allora non è possibile che a^n+b^n=c^n
7) Un polinomio P(x)=x^n+ax^(n-1)+bx^(n-2)+……..+1 con coefficienti reali
ha n radici reali. Dimostrare che P(2)>3^n o P(2)=3^n.
8) Sia P(x) un polinomio i cui coefficienti sono interi positivi. Chiamiamo a(n) la
Somma delle cifre di cui è composto lo svolgimento di P(n). Dimostra che c’è una sequenza che appare infinite volte nella sequenza a(1),a(2),…….a(n),…….
9) (a)Trova il minimo valore che può assumere il polinomio
P(x,y)=4+x²y^4+x^4y²-3x²y²
(b)Dimostrare che questo polinomio non può essere espresso come somma di quadrati di polinomi in x e in y con coefficienti reali.

Soluzioni dei problemi
1) Possiamo facilmente individuare infiniti x tali che p(x)=x (0,1,5,26,….). Quindi p(x)-x è un polinomio con infinite radici e quindi deve essere uguale a 0. Dunque l’unico polinomio che soddisfa le richieste è p(x)=x
2) Nota che (r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4 e i fattori a destra sono tutti interi e diversi l’uno dall’altro.Quindi gli unici valori che tali fattori possono assumere sono -1, +1,+2,-2. Sommando queste eguaglianze si ottiene la tesi.
3) Consideriamo il polinomio q(t) che ha x,y e z come soluzioni.
q(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t²+(xy+xz+yz)t-xyz. Ma si ha che
xy+xz+yz=((x+y+z)²-x²-y²-z²)/2=(a²-b²)/2 e sostituendo nell’espressione sopra trovata si ha che q(t)=t^3-at²+((a²-b²)/2)t-z^3.
Dal momento che q(z)=0 si ha che z^3-az²+((a²-b²)/2)z-z^3=0 da cui si ricava che o z=0 o z=(b²-a²)/(2a) e si ricavano poi facilmente le altre soluzioni.
4) Sia s=xy+xz+yz. Quindi xyz=sa. Così x,y e z sono le radici del polinomio
q(t)=t^3-at²+st-sa. Ma a è chiaramente una radice dell’equazione e quindi almeno uno tra x,y e z è uguale ad a(e quindi chiaramente gli altri due termini sono c e –c per un qualsiasi c diverso da 0). Quindi le sole e uniche soluzione dell’equazione sono tutte le permutazioni della terna (a,c,-c) con c reale diverso da 0.
5) Se n è pari nessun termine è negativo e almeno uno è positivo, cosicchè in
Questo caso non esiste nessuna radice reale.Ora supponi che n sia dispari e maggiore o uguale a 3(il caso n=1 è banale). Svolgendo il polinomio, si osserva che lo stesso polinomio è monico e ha il termine noto uguale a 2^(n+1) cosicchè tutte le soluzioni razionali sono intere e divisori di 2^(n+1). Dal momento che è chiaro che né 1 né –1 sono radici, assumiamo che la radice sia pari. Dividendo per 2^n ogni termine quindi si deve trovare una soluzione intera y del polinomio y^n+(1+y)^n+(1-y)^n. Ma in questo caso il termine noto è 2 e il polinomio è ancora una volta monico, cosicchè le sue uniche possibili soluzioni sono 1,-1,2,-2. Ma si nota facilmente che nessuna di esse è radice del polinomio appena trovato. Quindi l’unico n che rispetta le condizioni imposte è 1.
6) Supponiamo di avere tre termini in progressione aritmetica e li definiamo b-d,
b, b+d. Assumiamo tra l’altro che il MCD(b,d)=1 (in caso contrario basta infatti dividere sia b che d per il MCD per ottenere un’altra progressione aritmetica e, nel caso in cui la prima soddisfasse l’esercizio, anche la seconda sarebbe una terna soluzione dell’equazione proposta, e viceversa.) Quindi abbiamo:
(b-d)^n+b^n=(b+d)^n.
Ma allora:
b^n=(b+d)^n-(b-d)^n=(2d)bb(b+d)^i*(b-d)^(n-i))
dove nell’espressione dopo d la i assume tutti i valori da 0 a n-1.
Quindi d è divisore di b^n. Ma dal momento che abbiamo assunto b e d relativamente primi, si ha che d=1. Ma questo caso si può ridurre a quello del problema precedente. Quindi la tesi è dimostrata.
7) Nota dapprima che tutte le radici di P(x) sono negative in quanto se x>0 allora
P(x)>1. Quindi possiamo scrivere P(x)=(x+>>>>xxxxxxxxxxxxxxxxxxx+xn) dove nnnnnnnnnnnnnn sono le radici del polinomio, tutte maggiori di 0 e tali che il loro prodotto sia uguale a 1. Per la diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica otteniamo:
2+2iiiiiiiiiiiiradcub(1*1*rrr
dove >= significa maggiore o uguale e radcub(k) indica la radice cubuca di k.
Dal momento che abbiamo che il prodotto delle radici è 1 otteniamo che:
P(2)=(2+PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPnnnnnn^n)*(radcub(^^^^^^^^^^^^^^^^n))=3^n
da cui si ricava immediatamente la tesi.
8) Supponi che il coefficiente maggiore abbia k cifre. Quindi per ogni m>k
La rappresentazione decimale del polinomio P(10^m) sarà semplicemente costituita dai coefficienti separati da qualche 0. La somma delle cifre di ogni svolgimento sarà la stessa e è ovvia a questo punto la verità della tesi in quanto ci sono parti che si ripeteranno sempre.
9) (a) Per la diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, si ha che
1+x²y^4+x^4y²>=3x²y². Quindi il minimo valore che il polinomio può assumere è 3 e si ottiene per x=y=1.
(b) Ragioniamo per assurdo e supponiamo che
P(x)=f²(x,y)+g²(x,y)+....k²(x,y)
Dove f,g.......k sono polinomi.Diciamo ora che un monomio (x^s)*(y^t) ha grado s+t. Supponi ora che il monomio (x^s)*(y^t) abbia il massimo grado tra tutti i monomi dei polinomi f,g,….k. Allora è chiaro che il coefficiente di (x^2s)*(y^2t) deve essere diverso da 0 nel polinomio P(x). Allora s+t=3 e i polinomi non possono avere il coefficiente di x²y² uguale a 0. Dal momento che poi P(x,0)=P(0,y)=4 i polinomi f,g,…..k non possono contenere dei monomi della forma ax^k o by^l. Quindi il coefficiente di x²y² in P(x,y) deve essere uguale alla somma dei quadrati dei coefficienti di xy nei polinomi f,g,……k. Quindi il coefficiente di x²y² deve essere positivo in P(x,y) ma ciò non è vero e quindi raggiungiamo un assurdo.