equazioni 3° grado

Materie:Altro
Categoria:Matematica

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Testo

6. La formula risolutiva delle equazioni di 3° grado

Vogliamo risolvere l'equazione di 3° grado :

Ponendo riduciamo l'equazione data alla sua forma normale :
(1)
dove :

La formula и meno misteriosa di quanto possa sembrare.
Data un'equazione di grado n e primo coefficiente 1, , il coefficiente a di и l'opposto della somma delle radici. Poichй le radici sono tre, a/3 и il baricentro delle radici. Il cambio delle coordinate sarа la nuova somma delle radici, che deve essere zero, perchй il nuovo baricentro и l'origine.
Torniamo all'equazione (1). Supponiamo e . Cerchiamo le soluzioni ponendo :

dove u e v sono complessi. Elevando al cubo ambo i membri :

affinchй questa equazione sia equivalente alla (1) deve essere :
(2)
eleviamo al cubo la prima equazione, ottenendo il sistema :
(3)
I sistemi (2) e (3) non sono equivalenti. Quindi, risolto il sistema (3), occorre scartare quelle soluzioni che non sono valide per il sistema (2). Il sistema (3) и simmetrico e l'equazione in z associata и :
(4)

le cui soluzioni sono :

Consideriamo il caso . Si ha:

con:

da cui:

perciт :

Se allora , e puт scriversi :

Posto ora :

con e radici complesse dell'equazione , si ha :

Bisogna ora scegliere le coppie in modo che :

E' subito visto che le coppie da considerare sono :

Pertanto:

che costituiscono le formule di risoluzione dell'equazione di terzo grado quando il dell'equazione (4) и positivo (o nullo, caso in cui si ha una radice doppia). Il caso si risolve in maniera analoga, e viene lasciato come esercizio per il lettore.

7. Un'applicazione: correnti elettriche variabili nel tempo
Molte questioni fisiche che coinvolgono grandezze variabili periodicamente si prestano all'uso dei numeri complessi. In questo esempio, analizzeremo un semplice circuito in corrente alternata.
Supponiamo di applicare al circuito in fig.7 una f.e.m. :

Il circuito и caratterizzato da una resistenza R e da un'induttanza L. La corrente che otterremo avrа intensitа:

e sono valori massimi (ampiezze), и la frequenza e la fase.
Figura 1
Ci interessa calcolare
1. la relazione fra le ampiezze e
2. il ritardo di fase della corrente rispetto alla f.e.m.

Analizziamo separatamente gli effetti della resistenza R e dell'induttanza L. Se il circuito presentasse solo una resistenza R si avrebbe una f.e.m. di ampiezza:

in concordanza di fase con la corrente I. Se invece il circuito presentasse dolo un'induttanza L, che agisce opponendosi alla variazione di intensitа di corrente, si avrebbe una f.e.m. di ampiezza :

in quadratura di fase con la corrente. Ne segue che per produrre nel circuito la corrente I и necessario impiegare entrambe le f.e.m. appena scritte.
E' significativo pensare E ed I come numeri complessi, cioи come punti (o vettori) nel piano di Gauss (fig.6).
Rappresentiamo sull'asse reale x le grandezze in concordanza di fase con I, e sull'asse immaginario y le grandezze in quadratura di fase con I.
Poniamo :

Figura 2
Z viene chiamata impedenza complessa del circuito, ed ha modulo :

e argomento :

Esempio