Disequazioni ed equazioni

Materie:Riassunto
Categoria:Matematica

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Testo

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
IDENTITA’ ED EQUAZIONI
Analizziamo alcune frasi :
- Un poligono regolare ha i lati tutti congruenti. FRASE VERA
- Un numero diviso 3 è uguale al suo triplo. FRASE FALSA
- Il 10% di….. è uguale a 350 FRASE APERTA
Se nella terza frase al posto dei puntini mettiamo 3500, la frase diventa FRASE VERA, se scriviamo un numero qualsiasi, per esempio 2500 la frase diventa FRASE FALSA.
Consideriamo due frasi vere:
a) La somma di un numero con se stesso è uguale al suo doppio
b) La differenza di un numero con se stesso è uguale a zero
Traduciamo in termini matematici , indicando con x il numero di cui si parla:
a) x + x = 2x b) x-x = 0
Otteniamo delle uguaglianze fra espressioni letterali che sono sempre vere qualunque sia il valore che diamo a x .
REGOLA :

“ LE UGUAGLIANZE CHE TRADUCONO IN TERMINI MATEMATICI DELLE FRASI VERE
SONO SEMPRE SODDISFATTE E SI DICONO IDENTITA’. “”
“ L’IDENTITA’ E’ UNA UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI ( DI CUI ALMENO UNA LETTERALE ) VERIFICATA PER QUALSIASI VALORE DELLE LETTERE CHE VI FIGUARANO.”
“LE UGUAGLIANZE CHE TRADUCONO IN TERMINI MATEMATICI DELLE FRASI
APERTE SONO SODDISFATTE SOLO PER DETERMINATI VALORI E SI DICONO EQUA-
ZIONI.”
“ UN’EQUAZIONE E’ UN’UGUAGLIANZA FRA DUE ESPRESSIONI (DI CUI ALMENO
UNA LETTERALE) VERIFICATA SOLO PER PARTICOLARI VALORI DELLE LETTERE
CHE VI FIGURANO.”
Prendiamola seguente frase aperta:
- Il triplo del quadrato di un numero aumentato di 5 è uguale al doppio del numero stesso diminuito
di 3, traduciamola in equazione:
3x + 5 = 2x-3
Le due espressioni letterali che formano l’uguaglianza si dicono rispettivamente 1° membro e 2° membro dell’equazione.
3x + 5 = 2x – 3
Le lettere (o la lettera) che compaiono nell’espressione sono le (o la) INCOGNITE dell’equazione:
3x + 5 = 2x – 3
In base al numero di lettere diverse che compaiono in una equazione, si dice EQUAZIONE A UNA, A DUE, A TRE….. INCOGNITE.
Tutti i termini che non contengono le incognite si dicono TERMINI NOTI.
3x +5 = 2x-3
Il grado più elevato dei vari monomi che formano l’equazione si chiama GRADO DELL’EQUAZIONE.
I particolari valori delle incognite che rendono vera l’equazione si dicono SOLUZIONI o RADICI dell’equazione.
Le soluzioni di un’equazione sono numeri appartenenti ai vari insiemi numerici studiati, l’insieme a cui appartengono le soluzioni si chiama INSIEME VERITA’ (O AMBIENTE) dell’equazione.
Risolvere un’equazione significa calcolare tutte le sue soluzioni o radici.
Un’equazione si dice INTERA se l’incognita non figura al denominatore, si dice FRAZIONARIA O FRATTA in caso contrario.
TRATTIAMO ORA DI EQUAZIONI INTERE DI PRIMO GRADO A UNA INCOGNITA.
PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI.
6x + 4 = 28 10x = 6x + 16
x = 4
6 . 4 + 4 = 28 10 .4 = 6 . 4 + 16

24 + 4 = 28 40 = 24 + 16

28 = 28 40 = 40
“ DUE EQUAZIONI SI DICONO EQUIVALENTI SE HANNO LE STESSE SOLUZIONI”
- Per risolvere qualsiasi equazione è opportuno trasformarla in una equazione ma di forma più semplice. Vediamo come fare esaminando i due principi di equivalenza delle equazioni.
1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
“ADDIZZIONANDO O SOTTRAENDO AI DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE UNO
STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE
L’INCOGNITA SI OTTIENE UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA”
APPLICAZIONE DEL 1°PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Consideriamo l’equazione 5x + 7 = 27 , togliamo da entrambi i membri il numero 7 diventa:
5x + 7 -7 = 27 -7 ovvero 5x = 27 – 7
Se confrontiamo le due equazioni 5x + 7 = 27 e 5x = 27 – 7 osserviamo che l’applicazione del 1° principio di equivalenza si riduce a spostare il termine noto dal primo membro al secondo membro dove lo ritroviamo cambiato di segno.
“ IN OGNI EQUAZIONE UN TERMINE QUALSIASI PUO’ ESSERE SPOSTATO DA UN
MEMBRO ALL’ALTRO PURCHE’ LO SI CAMBI DI SEGNO (LEGGE DEL TRASPORTO).
2) Consideriamo l’equazione 3x – 5 = 2x + 10 – 5 , applichiamo la legge del trasporto spostando il termine – 5 dal primo al secondo membro cambiandolo di segno, diventa:
3x = 2x + 10 -5 + 5 ovvero 3x = 2x + 10

Confrontando abbiamo eliminato il termine – 5 presente in entrambi i membri.
“ SE IN ENTRAMBI I MEMBRI DI UN’EQUAZIONE FIGURANO DUE TERMINI UGUALI, ESSI POSSONO ESSERE ELIMINATI.”
2° PRINCIPIO DI EUIVALENZA
“MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO ENTRAMBI I TERMINI DI UN’EQUAZIONE PER UNO
STESSO NUMERO (DIVERSO DA ZERO) SI OTTIENE UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE A
QUELLA DATA”.
APPLICAZIONE DEL 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
1) Consideriamo l’equazione 5x – 4 = 2 e moltiplichiamo per – 1 i membri:

-1 . (5x-4) = -1 . 2 ovvero -5x + 4 = -2
Confrontando, si nota che praticamente si passa dalla prima alla seconda cambiando di segno tutti i termini dell’equazione.
“CAMBIANDO IL SEGNO DI CIASCUN TERMINE DI UN’EQUAZIONE SE NE OTTIENE UNA EQUIVALENTE A QUELLA DATA. “
2) “UN’EQUAZIONE A TERMINI FRAZIONARI SI PUO’ RIDURRE A UN’EQUAZIONE A
TERMINI INTERI A ESSA EQUIVALENTE MOLTIPLICANDO TUTTI I SUOI
TERMINI PER IL M.C.M. DI TUTTI I DENOMINATORI.
L’ELIMINAZIONE DEI DENOMINATORI SI DICE RIDUZIONE DI UN’EQUAZIONE A
FORMA INTERA.”
RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI 1° GRADO
Per risolvere un’equazione ridotta in forma normale basta applicare il 2° principio di equivalenza dividendo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente della x :
ax = b x = b / a
“PER RISOLVERE UN’EQUAZIONE RIDOTTA IN FORMA NORMALE BASTA DIVIDERE IL TERMINE NOTO DELL’EQUAZIONE PER IL COEFFICIENTE DELL’INCOGNITA.”
Per risolvere una qualsiasi equazione di 1° grado a una incognita possiamo usare la seguente regola:
1) Si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale
2) Se l’equazione è a termini frazionari, si riduce in forma intera moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.
3) Si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presente la legge del trasporto.
4) Si eseguono le addizioni algebriche ottenute al primo e al secondo membro in modo tale da ottenere l’equazione in forma normale.
5) Si determina la soluzione x = b/a
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI.
1° caso ax = b con a,b diversi da 0
La soluzione x = b/a esiste ed è unica; l’equazione si dice DETERMINATA
2° caso ax = b con a diverso da 0 e b = 0

La soluzione x = 0/a esiste ed è unica x = 0; l’equazione si dice DETERMINATA
3° caso ax = b con a = 0 e b diverso da 0

L’equazione diventa 0.x = b , siccome non esiste numero che moltiplicato per o ci dia un
Risultato che non sia 0, l’equazione non ha soluzione, si dice IMPOSSIBILE.
4° caso ax = b con a,b = 0
L’equazione diventa 0 . x = 0 siccome qualsiasi numero moltiplicato per 0 da 0,
l’equazione ammette come soluzione un numero qualsiasi, cioè infinite soluzioni
si dice INDETERMINATA.
VERIFICA DI UN’EQUAZIONE.
“SOSTITUIRE ALL’INCOGNITA LA SOLUZIONE TROVATA SEPARATAMENTE, AL 1° E AL 2° MEMBRO DELL’EQUAZIONE, CALCOLARE IL VALORE NUMERICO DELLE DUE
ESPRESSIONI OTTENUTE E CONSTATARE L’UGUAGLIANZA DEI DUE VALORI.”

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