Teoria dei Campi Gravitazioinali

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Storia del pensiero scientifico
Lo studio sul moto dei corpi celesti, sui legami che esistono tra i pianeti e le stelle o tra due “enti” qualunque nello spazio ha sempre interessato gli uomini sin dalla loro “comparsa” (anche se non si puт propriamente definire “comparsa”) sulla Terra.
Sappiamo che giа i Babilonesi avevano una buona conoscenza dei cicli planetari, ma i loro studi erano comunque legati alla religione. Poi seguirono gli Egiziani, anch’essi sottomessi ad una forma di venerazione. Per riuscire a trovare concezioni cosmologiche che non dipendono da alcun tipo di idolatria dobbiamo rifarci ai presocratici, tra i quali ricordiamo Talete, Anassimandro, Anassimene, Democrito ecc., che diedero una loro risposta di carattere fisico (anche se si tratta ancora di una fisica agli albori) nei vari trattati (((Perм Phiseos) «Sulla natura»; i loro discorsi, anche se contengono ancora caratteri metafisici, sono il primo stadio dell’evoluzione del pensiero scientifico nei secoli avvenire.
Il periodo successivo fu dominato dal modo di pensare di Socrate e Platone, che perт non toccarono mai l’argomento nei loro dialoghi..
Dall’ereditа di questi grandi della filosofia greca nasce Aristotele la cui “fisica” influenzerа tutti gli studi da lм a piщ di mille anni dopo.
Talvolta, quando si parla di Aristotele, ci si riferisce a lui come padre della fisica. In termini moderni la fisica и la scienza delle regole di base, dei principi e degli “elementi” della natura. La concezione di natura che Aristotele proponeva nel suo (( и molto differente da quella che intendiamo oggi. I suoi libri «Sulla natura» possono essere concepiti piщ come manuale di filosofia che come guide allo studio delle scienze naturali.
Combattuto tra l’idealismo e il materialismo Aristotele rifiutт completamente la concezione platonica di idea (() e propose quattro tipi di cause dell’esistenza: causa materiale, causa formale, causa efficiente e causa finale. La materia per Aristotele и la “prima parte” di un oggetto. L’oggetto и sinolo (unione) tra materia e forma, che и l’essenza stessa dell’esistenza. La materia и l’oggetto in potenza ed и realizzata dopo l’intervento della forma.
L’evoluzione nella natura и data dalla continua trasformazione della materia in cui il suo potenziale diventa realtа.
La dinamica di Aristotele si reggeva su un unico asserto: “I corpi che si trovano in un luogo che non и il loro naturale tendono a muoversi “. Cosм la pietra lasciata cadere torna sulla terra, nella sua posizione naturale.
Aristotele rifiutava anche il concetto di vuoto assoluto, cioи completa assenza di materia. L’universo aristotelico era di tipo geocentrico: la Terra, appunto, al centro dell’universo circondata da 9 sfere celesti perfette che erano le orbite dei pianeti e il tutto si muoveva di moto armonico. La causa di questo moto era l’atto puro o (((((Noesis) (spirito universale), ma qui entriamo nel campo metafisico che non ci riguarda.
Tutto il pensiero scientifico, dalle origini ad oggi, puт essere diviso in quattro grandi momenti (ricordo che comunque и una pura costruzione storiografica): una prima fase di tipo prevalentemente metafisico, che va dai primi passi nel pensiero scientifico umano a Platone, una seconda epoca dominata dalla figura di Aristotele, un terzo periodo che comincia timidamente grazie agli umanisti (tra cui non si possono non nominare Leonardo e Galileo) e tocca il suo apice con Newton, Leibniz, Cartesio ecc., e perciт con l’evoluzione della fisica e della matematica classica, il quarto periodo che parte dalla metа del XIX secolo circa sino ai giorni nostri, in cui geometria, fisica e matematica non sono piщ cosм separate come in precedenza (anzi vedremo come le prime due siano strettamente legate tra loro). Anni in cui vivono personaggi quali Einstein, Maxwell, Clerk, Faraday per la fisica, e per la geometria, forse un po' meno conosciuti ma ugualmente importanti, Riemann, Lobachevski, Mach, Poincarи, Christoffel, e l’italiano Levi - Civitа.
Per quanto riguarda la fisica queste quattro etа potrebbero essere definite in ordine: metafisica, aristotelica, meccanicistica e relativistica. Delle prime due ho giа parlato, ora passo a trattare gli argomenti inerenti le ultime, ma non sicuramente per importanza, due concezioni del mondo.
Aristotele, come giа detto, dominт il suo periodo e le altre figure che possiamo ricordare sono Aristarco da Samo (che per primo propose un sistema eliocentrico), Tommaso d’Aquino, che con la Scolastica ripropose il pensiero di Aristotele in chiave religiosa e Tolomeo che modificт adattandolo ad alcune osservazioni che lo contraddicevano, il sistema cosmologico dello Stagirita.
Le prime figure della nuova epoca in campo scientifico sono quelle di Niccolт Cusano e Giordano Bruno che svilupparono filosoficamente le idee di Copernico criticando le teorie di Aristotele e Tolomeo, rifiutando l’idea di un universo finito e l’esistenza di un centro fisso nell’universo stesso.
Niccolт Copernico nel suo «De revolutionibus orbium coelestium» cambiт completamente il modo di concepire lo spazio e diede il via ai primi concetti di moto relativo.
Egli dimostrт che la teoria aristotelica non era esatta, tramite un’analogia: sembra ai marinai di una nave appena salpata che tutto attorno alla nave si muova e tutto vicino a loro, stia fermo. Ovviamente Copernico continuт dicendo che lo stesso succede sulla Terra e cioи che a noi sembra di stare fermi mentre l’universo ci ruota attorno.
Tutto ciт portт un altro scienziato, Galileo Galilei, a scrivere un trattato «Sopra i due massimi sistemi del mondo: tolemaico e copernicano» in cui scrisse come il sistema copernicano fosse il piщ adatto a descrivere l’universo.
Galileo formulт anche quello che viene chiamato principio galileiano della relativitа: nessuna prova meccanica dimostrerа che un sistema и fermo o и in moto uniforme lungo una linea retta. Ogni movimento all’interno di questi due sistemi di riferimento и identico.
I concetti di Isaac Newton risentirono notevolmente dei concetti galileiani. L’affermazione che non esiste il vuoto in Natura di Aristotele venne dimostrata come falsa proprio in quegli anni. Lo spazio di Newton era tridimensionale, continuo, statico, infinito, uniforme e isotropo (cioи uguale in tutte le direzioni), e il tempo era assoluto e indipendente. La successione degli eventi non modificava lo scorrere del tempo. Perciт il tempo era unidimensionale, continuo, omogeneo ed infinito. Galileo non aveva avuto i mezzi matematici di cui invece si avvalse Newton. Insieme a Leibniz sviluppт il calcolo infinitesimale, strumento utilissimo per i suoi studi di carattere fisico che lo portarono a formulare le tre leggi della dinamica classica: la legge di inerzia, la legge del moto e la legge di azione e reazione. La forza F nella seconda legge и dovuta ad un’interazione fra due corpi, per esempio la forza gravitazionale и una forza di questo tipo.
Consideriamo ora un sistema di riferimento inerziale. Si parla di sistema di riferimento inerziale e galileiano quando il movimento libero dei corpi, cioи il moto dei corpi non sottomessi ad azioni di forze esterne, si effettua con velocitа costante. Se due sistemi di riferimento sono animati di moto rettilineo uniforme uno rispetto all’altro e uno dei due и un sistema inerziale, и evidente che anche l’altro sarа dello stesso tipo. Tutti le leggi della natura in un sistema di riferimento inerziale sono identiche per qualunque altro sistema inerziale.
Vogliamo provare ora che la seconda legge della dinamica newtoniana segue questa affermazione.
La trasformazione galileiana da un sistema di coordinate S ad un altro S’ и:

La legge di Newton nel sistema S si esprime con ( usando la notazione differenziale; m = massa, a = accelerazione ). Secondo la meccanica newtoniana la F = F’ e la m = m’ perchй sono quantitа assolute. L’espressione della forza nel sistema di riferimento S1 и uguale a () perciт la seconda legge di Newton и un invariante rispetto a trasformazioni di tipo galileiano.
Newton riuscм anche a dare una quantizzazione matematica alla forza gravitazionale osservando il moto della Luna rispetto alla Terra e grazie soprattutto alle 3 leggi sul moto dei pianeti nello spazio di Johannes Kepler. Le tre leggi di Keplero dicevano che:
1. I pianeti si muovono lungo orbite ellittiche di cui il sole и uno dei fuochi.
2. Le aree spazzate dai raggi vettori sono proporzionali ai tempi impiegati per percorrerle.
3. I quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
Furono le prime due leggi a indurre Newton alla formulazione della legge di gravitazione universale:

In cui F и la forza agente su due masse m1 e m2 separate da una distanza r; G и la costante di gravitazione universale o costante di Cavendish, dallo scienziato che grazie ad un brillante esperimento ne trovт il valore numerico (G = 6,67·10 -11 ).
La scoperta della forza gravitazionale portт ad una conseguenza fondamentale riguardo il concetto di massa.
La massa puт essere determinata misurando la forza con cui un corpo и attratto da un altro corpo. Il valore ottenuto ci dа la capacitа del 1° corpo di essere attratto dal 2°. Questa verrа chiamata massa gravitazionale (mgr). Un’altra via per determinare la massa di un corpo и applicare la 2a legge della dinamica newtoniana, osservando la resistenza di un corpo ad una forza esterna; questo tipo di massa la chiameremo massa inerziale (min). Galileo provт che l’accelerazione di un corpo in caduta libera (nel vuoto) и costante e non dipende dalla sua massa. Possiamo arrivare allo stesso risultato ponendo min = mgr e perciт min·a = mgr·g. La dimostrazione dell’equivalenza tra le due masse и una conseguenza degli esperimenti di Galileo e Newton (con i pendoli, le oscillazioni non dipendono dalla massa del pendolo). Comunque il significato fisico delle due masse и profondamente diverso: la prima (mgr) rappresenta la carica gravitazionale di un corpo, mentre la seconda la sua resistenza ad una forza esterna tendente a modificarne il suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme. Alle stesse conclusioni ci si potrа arrivare applicando il principio di equivalenza di Einstein.
A questo punto prima di passare alla trattazione dell’evoluzione della fisica nel 1800 conviene prima parlare dell’evoluzione che la geometria (che come ho giа detto avrа un legame sempre piщ solido con la disciplina della fisica) ha avuto nel corso di piщ di 2000 anni.

La geometria: da Euclide a Riemann
Un primo tentativo organico di creazione di una geometria del mondo fu proposto da Euclide nei suoi 13 monumentali volumi conosciuti con il nome di Elementi. Essenzialmente tutta la geometria euclidea si basa su 5 assiomi (postulati considerati senza prove e ovvi).
Gli assiomi di Euclide erano:
1. Dati due punti esiste un intervallo che li unisce.
2. Un intervallo puт essere indefinitamente prolungato.
3. Un cerchio puт essere costruito quando sono dati il suo centro e un punto su di esso.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
e poi il quinto:
5. Se una linea retta che interseca due linee rette crea due angoli interni nello stesso fronte che misurano meno dei due angoli retti, le due linee rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui gli angoli misurano meno di due angoli retti.
A una prima lettura appare ovvio di come il quinto assioma differisca in chiarezza dai primi quattro. Qualcuno crede che lo stesso Euclide abbia esitato nell’includerlo nella lista dei suoi assiomi. La geometria basata sui primi quattro assiomi viene definita geometria assoluta, mentre i postulati dimostrati con l’aiuto del quinto assioma entrano a far parte entrano a far parte della geometria euclidea propria.
Euclide puт aver scelto di separare in questo modo la sua geometria proprio a causa dei tentativi senza successo di provare il quinto postulato.
Tentativi e prove sono stati suggeriti lungo 2000 anni, ma non и riusciti mai a darne di convincenti. La geometria si trovava perciт con un “punto nero” al suo interno di pura veritа che come lo definм Farkas Bolyai in una lettera al figlio Janos Bolyai che aveva cominciato a lavorare su questo problema, era una missione da Ercole riuscire a risolvere.
La soluzione a questo problema giunse nella seconda metа del XIX secolo grazie alle menti di Nikolai Lobachevski (1792-1856), Janos Bolyai (1802-1860) e Karl Gauss (1777-1855).
Il problema fu risolto contemporaneamente dai tre matematici in un brevissimo arco di tempo senza che nessuno dei tre sapesse del lavoro degli altri.
Lobachevski presentт il suo lavoro “Sui fondamenti della Geometria” in una sessione del congresso scientifico nell’Universitа di Kazan il 23 febbraio del 1826.
Bolyai pubblicт i suoi studi nel suo Appendice nel 1832. Dai suoi appunti sappiamo che Gauss giunse alle sue conclusioni negli anni ‘20.
Ma vediamo ora di ritornare all’essenza della scoperta. I matematici, nonostante le differenze di metodo, volevano investigare su che cosa sarebbe accaduto se avessero abbandonato il quinto postulato e assunto come vero il contrario, cioи, preso un punto C esterno ad una linea retta AB possono essere tracciate non una ma due e conseguentemente infinite linee parallele ad AB. Questa nuova geometria ha importanti proprietа quali: la somma degli angoli interni di un triangolo и minore di 180°, non esistono figure simili e le caratteristiche geometriche del sistema dipendono dalla sua grandezza in rapporto ad un parametro (chiamato costante spaziale).
Questa geometria perciт per spazi piccoli era praticamente euclidea, ma per spazi piщ grandi erano due teorie molto differenti. Lobachevski chiamт la sua geometria “immaginaria” (o “pangeometria”).
Tuttavia Lobachevski e Gauss non diedero mai prove logiche della consistenza delle loro teorie, ma comunque cercarono di applicarle alla fisica calcolando ad esempio la somma degli angoli interni del triangolo formato da tre montagne o della parallasse di una stella.
Le prove dell’effettiva possibilitа di una geometria non-euclidea furono portate da Eugenio Beltrami e Felix Klein, due matematici, nel 1870. L’idea fondamentale era di generalizzare questa geometria, inizialmente costruita per un piano, in una geometria in una ipersuperficie tridimensionale con una curvatura negativa costante (un iperboloide tridimensionale), nell’ambito della geometria euclidea quadridimensionale la cui esistenza era giа stata provata. Era solo il caso di cambiare la nozione di rette (le linee piщ corte nello spazio euclideo) in quella di geodetiche (curve estreme) su un ipersuperficie.

Poichй и impossibile rappresentare un mondo tridimensionale trasformato iperbolicamente mi riferirт a linee, chiamate iperboli, su un iperboloide bidimensionale.
In un punto C esterno all’iperbole AB passano infinite iperboli che non intersecano AB e abbiamo anche che la somma degli angoli iiiiiiiiii. Per questa ragione ci si riferisce ad una geometria del genere come a geometria-iperbolica. In questa geometria, la costante-spaziale acquisisce il senso del raggio di curvatura dell’iperboloide tridimensionale. Ora и facile comprendere che le proprietа geometriche delle figure dipendono dalla loro dimensione.
Un altro passo nello sviluppo della geometria Bernhard Riemann (1826-1866) un matematico tedesco nel 1854. Il contributo di Riemann allo sviluppo delle nostre idee sulla relazione tra geometria e fisica и diviso in due parti. Prima di tutto, Riemann creт una geometria sferica (o ellittica) che era esattamente il contrario di quella di Lobachevski, ciт a dimostrare la possibilitа di una geometria finita. In secondo luogo ebbe il coraggio di costruire geometrie molto piщ generali di quella euclidea o di quelle esili non-euclidee.
Il primo punto ha bisogno di una spiegazione. La letteratura scientifica si riferisce alla “geometria Riemanniana” quando parla di una seconda geometria non-euclidea che corrisponde ad uno spazio con curvatura positiva e costante e corrisponde alla geometria in una ipersfera tridimensionale.

La proprietа fondamentale и che il volume и finito e perciт un punto che si muove sempre nella stessa direzione puт ritornare al punto di partenza. Le geodetiche qui sono archi di grandi cerchi. Dall’illustrazione bidimensionale dell’ipersfera и semplice comprendere come il quinto assioma di parallelismo non и assolutamente valido perchй ogni arco di grande cerchio passante per C (che non giace sulla geodetica AB) necessariamente intersecherа AB e persino in due punti. La somma degli angoli interni и sempre piщ di 180°. Einstein fu entusiasta delle conclusioni di Riemann che ipotizzт che le relazioni geometriche tra due corpi potevano dipendere da cause fisiche, ad esempio da forze, cioи fisica e geometria potevano essere combinate. Il tutto sfociт nella teoria generale di relativitа che combinava la geometria e la teoria gravitazionale.
William Clifford nel suo “Il senso comune delle Scienze Esatte” (The common sense of Exact Sciences) anticipт le basi della teoria della relativitа, ipotizzando tre tipi di curvatura nello spazio di cui il primo и proprio quello in cui rientrano le leggi di gravitazione universale newtoniane. Tutte e tre le curvature furono poi riscontrate nella teoria della relativitа generale. Ernst Mach, un fisico austriaco, giocт un ruolo importante nella creazione della teoria di Einstein. Lo stesso Einstein mentre lavorava alle basi della sua relativitа generale era convinto di realizzare le idee di Mach. Le fondamenta matematiche per la teoria della relativitа speciale di Einstein furono date dagli studi degli italiani Ricci-Cubastro e Levi-Civitа e da Sophus Lie e Elwin Christoffel che introdussero l’algebra tensoriale adatta a descrivere spazi curvi. Mancavano solo due elementi per la costruzione della teoria della relativitа generale. Primo, l’unificazione dello spazio e del tempo. Secondo, l’introduzione della gravitazione nella teoria della relativitа speciale, giа tentata da Henrм Poincarи.

La relativitа speciale
Il passo dell’unificazione dello spazio e del tempo fu preceduto da una catena di idee che partirono dagli studi sul campo magnetico ed elettrico di James Clerk Maxwell. Fino a quel momento tutte le leggi della fisica erano invarianti rispetto ad una trasformazione galileiana (del tipo di quella esposta a pagina 3). Le equazioni sul campo elettromagnetico di Maxwell invece cambiavano la loro forma in questo tipo di trasformazioni. Alcuni esperimenti furono condotti per accertare il moto della terra rispetto all’etere (considerato come una sostanza capace di trasmettere le forze gravitazionali, elettromagnetiche ecc.). Albert Michelson riuscм a dimostrare che tutti gli asserti riguardanti il moto dell’etere erano falsi. Man mano la teoria della misteriosa sostanza andava sgretolandosi sotto il peso delle sue stesse forzate supposizioni.
Un grande passo verso le odierne ipotesi fu compiuto da Hendrik Antoon Lorentz. Nel 1904, Lorentz, sviluppт una serie di trasformazioni che rendevano le equazioni del campo di Maxwell invarianti. Invarianza suggerita da Poincarи negli anni successivi.
Einstein esaminт il concetto di «simultaneitа» e giunse alla conclusione che la nozione «eventi simultanei in luoghi diversi» non aveva nessun senso in mancanza di ulteriori precisazioni. Insieme a ciт arrivт alla formulazione della teoria della relativitа ristretta (o speciale) basandosi su altri due principi: 1) и impossibile rivelare il moto traslatorio uniforme di un sistema mediante esperienze di qualsiasi natura eseguita nell’interno del sistema; 2) la velocitа C di un raggio di luce и una costante che non dipende dalla velocitа relativa della sua sorgente e dell’osservatore.
La concezione di «simultaneitа» di Einstein implica il concetto di intervallo tra due eventi. Per parlare di intervallo perт, bisogna prima introdurre il concetto di distanza in uno spazio VN (dove N rappresenta il numero delle dimensioni). Se la distanza in uno spazio qualunque tra due punti vicini con coordinate x1 e x1+ dx1 и data dalla forma differenziale
[ 1 ]
dove gij sono funzioni di xi soggette solo alla restrizione ; uno spazio del genere viene definito spazio di Riemann.
L’equazione [ 1 ] и chiamata metrica ed и il quadrato dell’elemento lineare ds e gij и detto tensore fondamentale dello spazio di Riemann ed и un tensore covariante simmetrico di secondo ordine. (Vedi Appendice «Calcolo tensoriale»). Nello spazio euclideo la materia vale:

La metrica dello spazio quadridimensionale della teoria della relativitа ristretta fu definita da Hermann Minkowski.
Lo spazio-tempo di Minkowski (o spazio-tempo piatto) dove il quadrato della distanza tra due eventi (o metrica) и definito come segue:

La quantitа ds и l’intervallo tra due eventi . Il tensore metrico dello spazio di Minkowski и dato dalla matrice quadrata:

L’intervallo и un invariante per ogni trasformazione di Lorentz. Ora possiamo avere varie possibilitа cioи ds2 = 0, ds20. Nel caso di ds2=0 significa che c2dt2 e dxi (abbreviando lo spostamento spaziale) sono uguali e perciт significa che un corpo si sta muovendo con la velocitа della luce o che i due avvenimenti possono essere messi in relazione da un qualsiasi impulso elettromagnetico (ad es. la luce). Nel caso di ds2>0 abbiamo che: ds2 = c2t2 - (dxi)2 >0 e nel caso particolare di dxi=0, cioи gli avvenimenti avvengono nello stesso luogo, c2t2>0 e quindi l’intervallo и di tipo temporale ed и di genere reale.
Se l’intervallo vale ds2 0 - possibile relazione causa-effetto tra gli eventi
2. ds2 = 0 - eventi collegati da un raggio di luce
3. ds2 < 0 - eventi non collegati
Prendiamo un avvenimento O come origine delle coordinate spazio-temporali. La luce che si diffonde dall’evento verso l’esterno forma un cono tridimensionale nello spazio-tempo quadridimensionale. Questo cono viene definito «cono di luce» futuro dell’evento. Allo stesso modo disegniamo un altro cono dalla parte opposta chiamato cono di luce passato dell’evento.
Tutti gli eventi che si trovano nel futuro assoluto sono avvenuti a velocitа minore di quella della luce a partire da O, mentre tutti gli avvenimenti che si vengono a trovare sulla superficie del cono futuro sono collegati da un raggio di luce. Gli eventi che avvengono al di fuori del cono di luce sono quelli del terzo tipo e perciт avvengono «altrove» (si potrebbero collegare a O solo attraverso segnali che viaggiano piщ velocemente della luce - superluminal signals -).
Appendice «Le contrazioni di Lorentz»

Consideriamo un regolo a riposo nel sistema di riferimento K posto parallelamente all’asse x. Sia la lunghezza del regolo in K. Ora, esprimiamo la lunghezza del regolo in un sistema K’ in movimento rispetto a K.
Per le equazioni di trasformazione di Lorentz:

Per questo essendo possiamo scrivere

che chiameremo lunghezza propria del regolo. Designando con e essendo l la lunghezza nel sistema K’ osserviamo che

e significa che il regolo и piщ lungo in un sistema a riposo e si contrae in un sistema che si muove a velocitа v. La quantitа si chiama in relativitа contrazione di Lorentz. Cosм come le lunghezze, si contraggono i volumi e i tempi sempre secondo la velocitа del corpo

e

Ciт spiega il famosissimo paradosso dei gemelli.

Bibliografia

L. Landau et E. Lifchitz, «Thиorie des champs», Editions Mir, 1970

AA. VV. , «Space, time, gravitation», Mir Publishers, 1987

S. Weinberg, «Gravitation and Cosmology: principles and application of the general theory of relativity», John Wiley & Sons

B. Spain, «Calcolo tensoriale», 1971

B. Marion, «La fisica e l’universo fisico», Zanichelli, 1975

I. Asimov, «Libro di fisica», Arnoldo Mondadori, 1986

S. Hawking, «Dal big bang ai buchi neri», Rizzoli, 1988
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