Appunti di fisica a partire dal piano cartesiano

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Categoria:	Fisica
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Appunti di Fisica

Il piano cartesiano

Il sistema cartesiano è sicuramente uno dei pilastri invisibili della nostra civiltà e permette di tradurre equazioni disequazioni e sistemi in geometria.
E’ infatti una rappresentazione grafica utilizzata in matematica, in fisica e in geometria che consente uno studio profondo di queste materie, ha reso possibile rapportarne i rispettivi risultati e permette di prevedere l’andamento dei fenomeni. E’ costituito da due assi, l’asse delle x o ascissa che per convenzione è posto orizzontalmente, e l’asse delle y o ordinata posta verticalmente. A ogni punto del piano corrisponde una coppia ordinata di numeri, il primo indica la coordinata del punto relativa all’ascissa, il secondo indica la coordinata del punto relativa all’ordinata.
In fisica il piano cartesiano permette di studiare anche fenomeni che si svolgono nello spazio grazie a un’altro asse (z) perpendicolare agli altri due assi.
Grazie al piano cartesiano è possibile rapportare due grandezze per rappresentare un fenomeno. Ad esempio se rappresentiamo un movimento di un corpo possiamo vedere come questo si muova nello spazio(y) in rapporto ad una scansione temporale(x), in questo caso si parla di diagramma orario. Ovviamente più è ripido il grafico più è lo spazio percorso a parità di tempo.
Il piano cartesiano può anche descrivere semplicemente la traiettoria di un oggetto e in questo caso prende il nome di grafico della traiettoria. Tale rappresentazione infine è utile per la descrizione delle parabole al fine di prevedere l’esatto punto in cui l’oggetto cade. I movimenti dei corpi infatti sono regolati da leggi fisiche, gli stessi pianeti si muovono attorno al sole descrivendo curve ellittiche esprimibili con l’equazione F = m x a , dove F è la forza, m è la massa e a l’accelerazione.

Grandezze scalari e vettoriali

Le grandezze scalari sono quelle grandezze che per essere definite necessitano di un’unica indicazione espressa in numeri puri. Ne sono esempi il tempo, espresso in secondi, o la massa, in kg.
Le grandezze vettoriali invece sono grandezze che necessitano di più indicazioni per essere definite e descritte. Ne sono esempi la velocità, lo spazio e l’accelerazione. Le grandezze vettoriali possono essere rappresentate sul piano cartesiano dai vettori

Vettori e forze

I vettori sono segmenti orientati rappresentati sul piano cartesiano.
Prima proprietà dei vettori: è possibile spostare il punto di applicazione di un vettore lungo la linea di direzione che lo contiene.

Seconda proprietà dei vettori (scomponibilità): è possibile sostituire un vettore da una somma di vettori con medesima direzione e stesso verso o sommare una pluralità di vettori se la direzione e il verso sono uguali.

Terza proprietà dei vettori: se due vettori hanno stessa direzione ma verso opposto il vettore risultante deriverà dalla sottrazione di questi due.

Legge del parallelogramma: se due vettori differiscono per verso e direzione il vettore risultante avrà come entità, direzione e verso quelli della diagonale del parallelogramma che ha come lati i due vettori

Il primo esempio di vettori sono le forze.
Definiamo le forze le cause che attribuiamo al mutamento di velocità dei corpi. Le forze possono anche deformare oggetti non rigidi, mentre gli oggetti rigidi non possono essere deformati.
Per misurare una forza si può utilizzare una molla entro una certa scala di valori ( ovviamente la forza applicata alla molla dovrà rientrare in questi valori, ad esempio se appendessimo un elefante a una molla piccola e sottile questa si spezzerà poiché non appropriata alla misurazione di un tale peso ); la forza con cui la molla torna alla sua situazione di partenza permette di misurare la forza precedentemente esercitata su di essa grazie alla legge di Hooke F = - k x , dove la k dipende dal materiale di cui è costituita la molla.
Tale legge esprime la proporzionalità tra deformazioni elastiche e sforzi.
Due forze della medesima intensità con stessa direzione e verso opposto danno origine ad una condizione di equilibrio.

La statica studia proprio questi equilibri ed è molto utile in architettura.
Per bilanciare una coppia di forze è necessario opporre una forza con medesima direzione ma verso opposto alla risultante.

Calcolo della risultante:
- Se le due forze hanno medesimo punto di applicazione ma direzione e verso differenti si otterrà la risultante grazie alla legge del parallelogramma.

- Se forze hanno punti di applicazione differenti, sfruttando la prima proprietà dei vettori, si possono prolungare le due direzioni dei vettori sino a che non si incontrano, si spostano i vettori sino al punto di contatto e si calcola con la legge del parallelogramma la forza risultante.

- Se si applicano due forze parallele con stesso verso la risultante sarà una forza che avrà stessa direzione e stesso verso delle due forze, la cui intensità deriverà dalla somma delle due forze e la cui posizione sarà intermedia fra i due vettori.

- Se le due forze invece sono parallele con verso opposto e diversa intensità la risultante sarà derivante dalla sottrazione fra le due forze con direzione e verso della forza più grande.

- Se infine le due forze sono parallele con stessa intensità ma verso opposto si avrà la rotazione del braccio della coppia di forze. La rotazione è esprimibile con un’altro vettore, detto vettore momento (M).

Il vettore momento ci rende conto dell’intensità della rotazione del verso in cui ruota l’oggetto e del piano su cui ruota. La stessa rotazione può essere prodotta da molte coppie di forze se varia la loro distanza.
Quindi il vettore momento ha come modulo l’equazione M = F x b ( dove F ha intensità uguale a una delle due forze uguali e contrarie e b è il braccio della coppia di forze ), come direzione la perpendicolare al piano su cui il corpo ruota e come verso quello di un osservatore in piedi sul piano con rotazione antioraria, quindi se la rotazione avviene in senso antiorario il vettore momento sarà posizionato sopra al piano, mentre se avviene in senso orario il vettore si troverà sotto al piano.
La legge di Newton afferma che ad ogni azione corrisponde una forza uguale e contraria.
Collegato a questa legge vi è il concetto di reazione vincolare.
Un vincolo è la direzione verso la quale un corpo non può spostarsi, ad esempio un perno. Se infatti applichiamo una forza ad un corpo vincolato, quindi appeso per un punto, poiché la rotazione è dovuta a un equilibrio tra una coppia di forze parallele e opposte con medesima intensità, sottoponendo il corpo a tale forza insorgerà un’altra forza uguale e contraria chiamata reazione vincolare, che avrà come punto di applicazione il vincolo. Per bloccare tale rotazione è necessario applicare un vettore momento opposto a quello della rotazione.