Le Bucoliche di Virgilio

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Categoria:	Ricerche
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Data:	26.09.2001
Numero di pagine:	13
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- Cerchio orizzontale
Lo zero può essere in qualunque direzione (misuro l’angolo di direzione) oppure al Ng o al Nm (misuro l’azimut geografico o l’azimut magnetico).
Gli angoli misurati servono per la parte planimetrica.
- Cerchio verticale
Lo zero ha direzione fissa verso lo zenit.
Gli angoli misurati servono per la parte altimetrica e per le misure con il metodo indiretto.

Lembo Un sistema ottico permette di vedere una parte del cerchio.
Lo strumento è fornito di microscopi per stimare la frazione d’intervallo.
I microscopi più utilizzati sono:
• Microscopio micrometrico a nonio;
• Microscopio micrometrico a stima;
• Microscopio micrometrico a scaletta;
• Microscopio a micrometro ottico;
• Microscopio a coincidenza d’immagine;
• Microscopio a simmetria d’immagine.
- Lettura d’angolo su C.O.
Si mette in stazione lo strumento = si rende verticale l’asse z
C
Si possono verificare tre casi: D
1. Si porta lo zero del cerchio orizzontale S con il lato AD
Si ruota l’alidada in senso destrorso fino a collimare il
punto B e si legge sul C.O. l’angolo. B A
C
D
2. Lo zero del C.O. si lascia in una qualsiasi direzione lAD
Si collima D
Si ruota l’alidada e si collima B. lAB B
lAB - lAD A
C
D
3. L’indice zero del C.O. è all’interno dell’angolo
Si collima B (lAB)
Si ruota in senso destrorso e si fa la lettura AD. lAD lAB B
A
- Lo squadro graduato
E’ uguale allo squadro agrimensorio, ma è stato aggiunto il C.O.
Non è possibile misurare angoli verticali poiché manca il C.V.
Elementi di teoria negli errori delle misure
I rilievi topografici richiedono sempre la determinazione della misura di determinate grandezze (lunghezze o angoli).
I sistemi operativi per giungere ai risultati di queste misure sono:
• Misure dirette;
• Misure indirette:
• Misure condizionate;
• Misure dello stesso peso;
• Misure di peso diverso.

Se si ripetessero le misure della stessa grandezza usando strumentazioni più precise, si otterrebbe una curva più grande delimitata da un’ascissa -a +a più stretta; usando strumenti meno precisi la curva si abbassa e si allarga.
Da queste considerazioni derivano altre due proprietà:
➢ Tanto più frequenti sono gli errori grandi e tanto meno frequenti sono gli errori piccoli;
➢ La maggiore o minore accentuazione della curva è indice di > o < precisione nell’esecuzione delle misure della grandezza presa in esame.
La curva empirica di frequenza degli errori fu studiata da Gauss, che ne diede nel 1794 l’espressione analitica detta legge di Gauss.
y = n * e-h2x2

h = costante di precisione
e = base dei logaritmi
La curva analitica di frequenza degli errori non è perfettamente uguale a quella empirica, perché rispetto a quest’ultima risulta asintotica all’asse delle ascisse.
Al di fuori dei limiti -a +a previsti dalla curva empirica, quella di Gauss si distacca dall’asse x di una quantità trascurabile.
Principio fondamentale della teoria degli errori
Il valore più probabile di una grandezza, misurata con un certo numero n di osservazioni dirette e aventi lo stesso peso, è la media aritmetica degli n valori della misura.
Vm=V1+V2+V3+……….+Vn
n
n
* Vi
Vm = i = 1 .
n
- Scostamento o scarto
E’ la differenza tra la media aritmetica e le singole misure
Si = Vm - Vi
Gli scarti si possono presentare con segno + o -; ciò non comporta alcuna conseguenza, in quanto nelle formule della teoria degli errori gli scarti vanno sempre considerati al quadrato.
Se il valore Vm coincide con il valore vero Vx della grandezza misurata gli scarti rappresentano gli errori veri di ogni osservazione.
Proprietà degli scarti
1) La somma algebrica degli scarti è nulla
n
* Si = 0
i=1
S1 = Vm– V1
S2 = Vm – V2
S3 = Vm – V3
Sn = Vm – Vn
Classificazione degli errori nelle misure dirette
L’errore vero di una misura è dato dalla differenza fra il valore vero di x e il valore della misura Vo.
ex = VX - VO
Poiché VX di una misura non può essere determinato con assoluta certezza anche il valore ex rimane una quantità incognita.
Si può tuttavia limitarne l’entità ricorrendo al calcolo delle probabilità.
Ogni volta che si esegue una misura topografica si commettono i seguenti errori:
1) Materiali o grossolani;
2) Sistematici o strumentali;
3) Accidentali.
Errori accidentali: non si possono eliminare, ma attenuarli ripetendo un certo n° di volte la misura e contenendo entro la tolleranza desiderata l’errore.
Distribuzione degli errori accidentali --- Legge di Gauss
Dicesi probabilità matematica p di un evento il rapporto fra il n° dei casi favorevoli e il n° dei casi possibili.
p= m/n

Si definisce frequenza relativa il rapporto fra il numero nx in cui si è verificato l’avvenimento e quello n delle prove fatte.
fx = Nx/n
All’aumentare delle prove la frequenza è circa uguale alla probabilità. fx p
Supponiamo ora di misurare una grandezza (lunghezza o angolo) riscontrando i valori sottoriportati, i quali sono affetti tutti da errori accidentali.
V1, V2, V3,……………, Vn
Se teoricamente supponiamo di conoscere il valore vero Vx della grandezza misurata, facendo la differenza fra essa e i singoli valori riscontrati si otterranno i veri valori d’errore ex di osservazioni detti anche veri residui o veri scostamenti.
S1 = VX – V1
S2 = VX – V2
S3 = VX – V3
Sn = VX – Vn
Questi errori risultano positivi e negativi; ordinandoli in ordine crescente nei due segni si possono distribuire sull’asse delle ascisse di un sistema d’assi cartesiani suddiviso in tanti intervalli consecutivi ax, facendo i rapporti fra il numero nx di errori compresi in ciascuno di questi intervalli ed il numero totale n degli errori, avremo la frequenza degli errori nei rispettivi campi di variazione nx.
Innalzando dalle posizioni baricentriche dei rispettivi intervalli x le ordinate uguali ai corrispondenti valori Nx/n e unendo le estremità di queste, ne deriva una curva detta “curva empirica di frequenza degli errori relativi a misure dirette”.
Essa è simmetrica rispetto all’asse y, ed è compresa in un intervallo d’ascissa -a +a , ed ha la caratteristica forma di una campana.
y y x x
Esaminando la curva di frequenza si può dedurre che:
➢ La frequenza degli errori decresce in modo simmetrico; errori positivi e negativi si succedono in egual numero.
➢ Gli errori sono sempre compresi entro due limiti -a +a.
➢ La frequenza degli errori nulli è massima.
➢ Gli errori piccoli sono più frequenti di quelli grandi.
- Diottra
Serve per realizzare una linea di mira.
Linea di mira
- Squadro agrimensorio
E’ costituito da un cilindro o da una sfera cava in metallo.
Fenditure
Per rendere verticale l’asse dello squadro usiamo la livella sferica.
Due fenditure opposte devono contenere all’interno del loro piano l’asse dello squadro.
Lo squadro agrimensorio si usa per tracciare allineamenti(1) a 45° e 90°.
(1) = è la traccia del piano verticale sul terreno passante per due punti.
- Squadri a prisma
• Triangolare
Argentatura
Serve per creare allineamenti a 90°.
• Prisma di Wollaston [quadrilatero]
135°

Serve per creare allineamenti a 90°.
• Prisma pentagonale (detto di Zeiss)
Serve per creare allineamenti a 90°.
45°
Forma e dimensioni della Terra
- Verticale
- E’ la risultante fra la forza newtoniana (diretta verso il centro della Terra) e la forza di gravità;
- E’ la superficie perpendicolare in ogni punto al GEOIDE;
- E’ la superficie perpendicolare in ogni punto al Livello Medio del Mare (l.m.m.);
- La verticale è materializzabile con il filo a piombo;
- Geoide (sup. di rif.)
- E’ la superficie equipotenziale che passa per il l.m.m. in un determinato punto e si assume come superficie primaria nelle operazioni topografiche;
- E’ la superficie di riferimento per le quote;
- Non è possibile scriverne un’equazione matematica poiché non si conosce la densità terrestre;
- Ellissoide di rotazione (sup. di rif.)
- E’ la superficie più vicina al geoide ed è usata per misurare la latitudine e la longitudine;
- La sua equazione matematica è: X2+Y2+Z2=1
a2 b2
Coordinate geografiche o elissoidiche
Si indicano con S, , Q.
Latitudine Longitudine Quote
1) Latitudine: è l’angolo che la normale passante per P forma con il piano dell’equatore;
2) Longitudine: è l’angolo diedro che il meridiano passante per P forma con il meridiano d’origine;
3) Quote: è la distanza che intercorre lungo la verticale tra il punto P e il geoide (l.m.m.).
La superficie di riferimento è l’ellissoide.
Coordinate astronomiche o geoidiche
1) Latitudine: è l’angolo che la verticale passante per P forma con il piano dell’equatore;
2) Longitudine: è l’angolo diedro che la verticale passante per P forma con il meridiano d’origine;
3) Quote: è la distanza che intercorre lungo la verticale tra il punto P e il geoide (l.m.m.).
La superficie di riferimento è il geoide.
Campo geodetico o campo di Weingarten
Il campo geodetico è quella zona di terreno, di raggio uguale a 100 Km., in cui si può sostituire all’ellissoide la sfera locale.
R= *N
Gran normale
Raggio di curvatura ellisse meridiano
Raggio della sfera locale
R ed N sono funzione della latitudine.
La distanza che intercorre tra due punti sull’ellissoide è chiamata geodetica.
Prendendo tre punti non allineati e unendoli otteniamo un triangolo sferico.
- Teorema di Legendre
Quando ci troviamo all’interno del campo geodetico, i lati del triangolo sferico li possiamo considerare all’incirca uguali a quelli del triangolo piano.
AB=R*A =
Errore: deve essere < di 10-6, vale a dire < della precisione degli strumenti.
- Influenza dell’errore di sfericità negli angoli

C ”1===” ”””r
r = S _
R2
”1==”” S .
R2

A B
l
L
- Errore di passaggio da piano fisico a piano sferico
R1= 25 Km. L= l= r2- r2 = 3r2/4
2 2 4
L=l=2LLLL3r2/4 L=l= 3 r
L=l= 3 LL25000= 43301,27 m. =43,301 Km.
S’= 3r2/4 / l2 = 3r2/4 / 43,3012 = 811,89 Km2
2”1==”” S =20626522222222222= 4”,12
R2 63372
Su ciascun angolo commettiamo un errore di 4”,12=1”,56
3
- Influenza dell’errore di sfericità nel calcolo delle verticali
Se prendiamo come superficie di riferimento la sfera locale le verticali convergono tutte nel centro della sfera.
Nella superficie di riferimento piana le verticali sono // e l’errore è rappresentato da //
Quest’errore diventa trascurabile all’interno del campo topografico.

A
- La livella torica
La livella torica è costituita da un tubo di vetro (fiala), chiuso ermeticamente; è riempito con un liquido facilmente evaporabile (etere, alcool).
Lo spazio vuoto è detto bolla.
La livella torica ci permette di rendere orizzontale un asse o un piano.
L’asse è orizzontale quando la bolla è centrata.
Verifica e rettifica di una livella torica.
a) Rendo orizzontale un piano; b) Ruoto la livella di 180 ° e verifico se è ancora orizzontale.

Vite di rettifica

- La livella sferica

Bolla
Viti di rettifica
- Livella a coincidenza d’immagine
- Scentrata - Centrata
Proprietà delle livelle
Prontezza: è il tempo impiegato dal liquido a mettersi in equilibrio.
Sensibilità: è l’angolo, espresso in secondi, di cui deve ruotare la livella perché la bolla si sposti di 1 mm.
Strumenti per la misura degli angoli
• Teodolite;
• Tacheometro;
• Stazione totale;
• Squadro graduato.
- Teodolite e tacheometro
Asse verticale Asse di collimazione
Cannocchiale
Alidada
Cerchio verticale Asse di rotazione del cannocchiale
Cerchio orizzontale
Viti calanti

Treppiede
Somma angoli interni di un triangolo sferico:
S’+’’’’’=’’’
’’’’’’SSSSSSSSSSSS[Radianti]
3 R2
Raggio della sfera locale
Eccesso sferico
E’= NOTO = NOTO
’- ” Gradi sessagesimali ’’’’’+ ”
Campo topografico
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA B AB’ = 25 Km.
B’
R Sfera locale

- Influenza dell’errore di sfericità nel calcolo delle distanze.

AB’ = 25 Km
R = 6.337.000 m.
= AB’ = 25000 m. = 0,003945084
R 6337000 m.
”= 0,003945084 00206265 = 813”, 7327513
3°= 813”, 7327513 = 0°, 226036875
3600
AB = 6337000 tg. 0°,226036875 = 25000,15318 m.
=15,318 cm.
- Influenza dell’errore di sfericità nel calcolo del dislivello.
D2+R2 = (R+ x)2
D2+R2 = R2+ 2Rx+ x2
x = D2
2R

x = 25000 = 49,0042 m.
2 6337000
- Nel calcolo dei dislivelli la Terra NON può essere considerata piana per 25 Km.
x = 1 cm. D = 2Rx = 2 633700060,01 = 357,12 m.
x = 1 mm. D = 22633700060,001 = 112,13 m.
Su una distanza di 357,12 m. commettiamo un errore di 1 cm.
Su una distanza di 112,13 m. commettiamo un errore di 1 mm.
STRUMENTI SEMPLICI
• Segnali:
- Permanenti;
- Provvisori.
• Mire:
- Semplici;
- di precisione.
• Filo a piombo;
• Diottra;
• Squadro agrimensorio;
• Squadri a prisma;
• Livella torica;
• Livella sferica.
- Segnali:
- Permanenti
• Campanili o fabbricati di una certa importanza;
• Pilastrini (h=1,20 m.) con, in sommità, il centrino di superficie, che permette di riportare l’esatta posizione del punto.
- Provvisori
• Picchetti [in legno, C.A., e in ferro].
- Mire:
- Semplici
• Capriata: serve per visualizzare i pilastrini (hmax=5=6 m.);
• Palo con alette: serve per visualizzare i pilastrini;
• Palina: è costituita da un’asta con h=1,80 m., suddivisa in tratti alti 20 cm. l’uno;
• Biffa: è una palina con uno scopo (dispositivo che scorre verticalmente lungo la palina);
Visibilità delle mire

s
D
s= D s r
rr= ””””””””””””
180 3600
s= D * ” = D * ” =0,00030D
206265 206265
s= D * ” quindi D= s * 206265 * I
206265 * I ”
D= s sss” * I
”
- Filo a piombo
E’ costituito da un filo in nylon ed un peso variabile fra 150 e 300 g. Filo a piombo.
Permette di determinare la verticale passante per un punto.
E’ usato per rendere verticale una palina.
E’ usato per indicare la posizione, sul terreno, di un punto che sta al di sopra di esso.
USO DEGLI STRUMENTI TOPOGRAFICI
L’uso corretto di un teodolite o tacheometro richiede l’osservazione di alcune condizioni, in parte meccaniche e in parte operative.
Le condizioni meccaniche che devono essere soddisfatte dal costruttore sono le seguenti:
1) L’asse dell’alidada deve essere perpendicolare al piano del C.O.;
2) L’asse dell’alidada deve passare per il centro del C.O.; se questa condizione non è verificata la lettura al C.O. è affetta dall’errore di eccentricità dell’alidada;
3) L’asse di collimazione deve intersecare l’asse generale; se questa condizione non è soddisfatta la lettura al C.O. è affetta dall’errore di eccentricità dell’asse di collimazione, detto errore di eccentricità del cannocchiale;
4) La graduazione del C.O. deve essere esatta.

1)
C.O.
±1”
±±±±15’
Con la meccanica di precisione che esiste oggi, i costruttori riescono a
contenere l’errore di posizionamento dell’asse in meno di 15’ con un
errore della misura minore di 1” che è la precisione dello strumento; di
conseguenza l’errore può essere trascurato.

l1 l

e e / sin ////R / sin /
sin sssse · sin ee/ R
sin ss~~sin srr
Se SSSS90° sin 9 = 1 quindi l’errore è massimo
” = e · ”” / R
Esempio
e = 0,05 mm R = 40 mm ecc = 636.620
0,05 · 636.620 / 40 = 0g,08 NON è trascurabile, poiché il teodolite stima 4 cifre dopo la
virgola (decimillesimo).
Per cancellare questo errore si fanno le letture coniugate:
l = l1 +
l = l2 - - 200g
2l = l1 + + l2 - - 200g l1 l l2
l = l1 + l2 – 200g / 2
l1 > l2 si sommano 200g
3) Errore di eccentricità dell’asse di collimazione
P sin s = e / D
“ = e · “” / D
cc = e · cc /D

D e = 1 mm
A’ B” D = 10,00 m = 63cc,66
D = 100,00 m = 6cc,37
D = 1000,00 m = 0cc,637
l2 e
l l1 l = l1 +
l = l2 - - 200g
0 2l = l1 + + l2 - - 200g
l = l1 + l2 – 200g

A” B’
4) Errore di graduazione del cerchio
Le parti in cui è diviso il C.O. non sono uguali (c’è un piccolo errore).
Quest’errore non si può eliminare, ma si può ridurre facendo più letture sul cerchio.
Le letture si possono ottenere in due modi diversi: con la reiterazione e con la ripetizione.
Il C.O. orizzontale è reiteratore quando si può muovere indipendentemente dall’alidada e dal basamento.
Il C.O. orizzontale è ripetitore quando può essere bloccato all’alidada e successivamente al basamento.
Un teodolite può essere ripetitore o reiteratore per la misura degli angoli sul C.O.