Matematica finanziaria

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Matematica Finanziaria 1 prof.sa Carla Angela
26/10/99
La definizione di Matematica Finanziaria può essere vista come: formalizzazione dello scambio fra importi monetari pagabili in epoche diverse e dei calcoli connessi a valutazione di impegni per operazioni relative a movimenti monetari. Per quanto riguarda fomalizzazione si prende in considerazione un fenomeno in termini matematici, ossia esprimiamo un fenomeno in termini quantitativi o matematici. Alla base della M.F. vi sono:
L’ importo monetario = ossia il capitale
L’ epoca = che deve essere collocata al momento in cui noi avremmo disponibilità monetaria.
Lo scambio è lo spostamento di un importo. Questo spostamento anche se per poco tempogenera un cambio di valore del denaro, quindi in definitiva non si deve vedere solo l’ importo ma anche l’ epoca. Per quanto riguarda la scambiabilità nel tempo, bisogna tener conto di un asse temporale ordinato del tipo:
X Y Z
Quindi per esprimere uno scambio tra importi monetari disponibili in epoche diverse, per esempio tra X e Y, bisogna prima di tutto formalizzare tale scambio. Il passo successivo poi è quello di valutare questa operazione. Se per esempio io il 26/10 prendo a prestito 1000€ che dovrò restituire il 26/12, io però in questa data non dovrò più restituire 1000 ma 1100€. Quindi io dovrò valutare questo impegno e fare i calcoli per vedere quanto ci guadagno da questa operazione. Quindi le valutazioni vengono ad essere equivalenze fra importi diversi e pagati in tempi diversi. Cioè per me è ininfluente avere 1000€ oggi o 1100€ domani, però c’è da notare che gli importi non sono equivalenti perché c’è un intervallo di tempo. La matematica Finanziaria si basa su:
1 Movimenti monetari certi
2 Operazione finanziarie con elementi incerti
Nel primo punto siamo nel caso dell’ esempio precedente, ossia noi diamoper scontato che se io do 1000 avrò 1100, e questo sarà assolutamente certo. Però in queste 1100 vi è un po’ di incertezza, in quanto vi è da analizzare la persona, se infatti io mi fido poco chiederò 1200, quindi io scarico le mie paure sul prezzo. Poi che siano 1100 o 1200 allora questo movimento risulterà assolutamente certo. L’ andamento certo o aleatorio è un principio di equivalenza che è il fondamento della Matematica Finanziaria. Il principio di equivalenza si basa su alcuni postulati chi sono:
1- Il possesso di un capitale è vantaggioso, ossia i soldi devono essere immessi nel mercato.
2- La disponibilità temporanea di un capitale (altrui o proprio) è servizio vantaggioso, ed ha un prezzo che è l’ Interesse. Ed è un servizio perché se io sono amministratore delegato di una società e se per finanziare un tipo di prodotto vado in banca e chiedo dei soldi in prestito avrò anche una certa somma di interessi passivi, quindi in definitiva io dovrò valutare se avrò dei risvolti positivi. Il prezzo o interesse varia a seconda dell’ ammontare del capitale e della durata del prestito.
Per esempio noi potremmo avere un importo monetario (S), in un epoca (X), e quindi se noi abbiamo un importo datato (S,X), che è una prestazione finanziaria.
S è un valore che ha un segno:
+ se io lo rilevo
- se io lo devo dare.
Quindi nella nostra scala :

X Y Z

Per la Banca: -S +S’
Per l’ ammini: +S - S’
3 – Se noi abbiamo in una sola epoca due importi monetari differenti ossia:
S’’
S’

X
Bisognerà vedere che tipo di relazione intercorre tra S’ e S’’ per poterli sceglierli. Cioè se S’ sarà > o < di S’’. A parità di epoca : (S’,X) e (S’’,X) è preferibile quella che ha l’ importo maggiore.
4 – Se invece in caso contrario ci troviamo con uno stesso capitale però in due epoche diverse ossia:
S S
Z X Y
Ora qualunque Z a parità di importo: chi incassa preferisce la scadenza anteriore, chi paga invece quella a scadenza posteriore.
5 – Criterio di preferenza assoluta nelle scelte finanziarie di massimo profitto. Per esempio il prestito.
Per valutare e confrontare prestazioni finanziarie occorre aggiungere ai criteri detti opportune regole con parametri di natura soggettiva (!), infatti è il mercato che detta le regole e si pone superpartes, quindi tali regole sono soggettive al mercato.
Data una situazione del tipo:
S M
X Y
Quindi (S,X) e (M,Y)e se (S,X) è indifferente a (M,Y). Questa è una relazione di indifferenza.
Cioè dato S,X,Y determino M, oppure dato M,X,Y, determino S. Cioè una volta si può essere creditore e una volta debitore quindi vi è l’ indifferenza dei ruoli quindi nessuno dei due ci guadagna. Gli operatori concordano una legge che regoli il calcolo di M in funzione di S,X,Y in modo tale che (S,X) risulti indifferente a (M,Y) quindi devono stabilire il parametro e la forma di applicazione. Quindi in finale se (M,Y) è indifferente a (S;X) le prestazionni sono scambiabili fra le due parti di un contratto.
27/10/99
Quindi il principio di indifferenza è: se io ho un importo dato S e uno M, è indifferente avere oggi l’ importo S datato X o più in là l’importo M datato Y. Il principio di indifferenza ci porta al principio di equivalenza. Se:
X Y
S M
E S 0 interesse
Tutto questo in condizione di certezza.
Considerazioni:
1° M=S S M Mz

X Y Z
Se S è un capitale impiegato M è un Montante (operazione di prestito o impiego).
Se:

X Y
M
È equo anticipare M per il periodo (Y-X) e avere S.
D=M-S> 0 Sconto
S è il valore scontato o valore attuale o anticipato, operazione di sconto ( o anticipazione)
S M
M=S+I
X Y
S M
X Y S=M-D
Lo pago qui.
I= prezzoche io pagherò per avere a disposizione il capitale.
D = prezzo che io pago adesso per avere a disposizione.
Questa è la formulazione empirica fondamentale.
Principio di equivalenza finanziaria:
È equivalente incassare (pagare) una somma oggi o incassarla (pagarla) in un epoca successiva purchè ci sia l’ incasso (pagamento) aggiuntivo degli interessi.
I=M-S
D=M-S

Disponibile
Operazione di prestito:
I / S = i x,y tasso di interesse per periodo (y-x), tale tasso è indipendente dal capitale iniziale.
Operazione di sconto:
D / S = d x,y tasso di sconto per periodo (y-x).
Questi sono tassi relativi al periodo (periodali).
Se X,Y,S,M hanno lo stesso valore numerico I=D, però se le date di inizio e fine sono uguali e hanno gli stessi importi ix,y e dx,y non sono uguali.
Questo perché in I le 100 le prendo in Y e in D le prendo in X e non è la stessa cosa perché non è soddisfatta la relazione di indifferenza., infatti la disponibilità monetaria è in momenti diversi.
Se I=D l’ operazione di prestito e quella di sconto si dicono corrispondenti che ci portano allo stesso valore assoluto.
I=S*ix,y fattore di montante o di capitalizzazione
D=M*dx,y
M=S+I=S+S*ix,y=S*(1+ix,y)
Fattore di sconto o di attualizzazione
S=M-D=M-M*dx,y= M*(1-dx,y)
Se I=D e operazioni corrispondenti i*S=I=M-S=D=d*M
M=S*(1+ i)
S=M*(1-d )
1+ i = 1 / (1- d) Il fattore di montante è uguale al reciproco del fattore di sconto.
I > 0
0 < d < 1
1+ i =1 / (1- d) i= 1 / (1- d) –1= d / (1- d) > d
i= (1+ i ) * d
solo per operazioni corrispondenti.
d= (1- d) * i

Grandezze fondamentali e grandezze derivate
Per quanto riguarda tali grandezze molto importante è l’ importo monetario.
S,M,I,D, tempo.
Derivate sono :
Flusso = Importo/ Tempo. I/(y-x) D/(y-x)
Tasso= Importo / Importo I/S D/M
Intensità= Importo / ( Importo * Tempo) I/(S*(y-x)) D/(M*(y-x))
Tasso / Tempo
02/11/1999
Operazione di prestito
x y
S ?
M= fc (S,X,Y)
In modo tale che M>S
(M,Y) = (S,X)
fc = funzione di capitalizzazione = legge di capitalizzazione.
È una funzione a 3 variabili = ( capitale iniziale, e le date di inizio e di fine dell’ operazione).
Una funzione di capitalizzazione non può partire da 0 e deve essere non decrescente:
1
Se invece abbiamo :
x y
? M
S= fa ( M,X,Y,)

Tale che:
(S,X) = (M,Y) S Y allora f = fa
Per questa legge valgono alcune proprietà:
Proprietà riflessiva vale x tutte:
Se X = Y
(S,X) = (S,Y)
fc (S,X,Y) se X < Y
f (S,X,Y) = S se X = Y
fa (S,X,Y) se X > Y
Proprietà simmetrica non vale x tutte le leggi
Se qualunque (S,X,Y) e XY
Leggi a due variabili (temporali).
SE VALE LA SIMMETRIA:
m (x ,y) * a (x , y) = 1
m ( x , y) = 1 / (a (x,y))
a (x,y) = 1 / (m ( x,y))
03/11/1999
M = S * m(x,y) funzione m= come cresce il capitale
S = M * a ( x,y) funzione a = come decresce il capitale
Se m ( x,x) = a ( x,x) = 1 cioè non c’è di traslazione di denaro nel tempo.
Se vale la simmetria m( x,y) = 1 / (a (x,y))
X Y
1 m (x,y)

m (x , y) fattore di montante dall’ epoca X ad Y> X
m ( x, y) interesse per unità di capitale impiegato da X ad Y. La differenza fra il fattore del montante e della unità di capitale = interesse
Se ( m (x,y) –1 ) / (y-x) Interesse / durata
Sarà uguale a intensità d’ interesse per l’ operazione di impiego iniziata in X
- Il tasso periodale (x , y)
Non sono la stessa cosa
- L’ intensità di interesse
Se si ha :
X Y
? 1 = m (x,y)
dovrò investire per avere 1 1 / ( m(x,y))
Questo perché?
1 / (m (x,y)) * m( x,y) = 1
Se noi abbiamo che :
X Y Z
1 / (m (x,y)) 1 ?
m (x,z) / m (x,y) fattore di montante di proseguimento da y a z
cioè montante in Z
z
del montante unitario in y
y z
per impiego iniziato in x
x y z

Ora se:
m (x,z) / m (x,y) - 1 lira che avevo in y
(m (x,z) – m(x,y)) / m(x,y) tasso di interesse di proseguimento da y a z
(m (x,z)- m (x,y)) / (m (x,y) * (z-y)) intensità di interesse di proseguimento da y a z
X Y Y+u = Z

Allora: (m (x, y+u) - m ( x,y)) / ((y+u – y) * m (x,y))
(m (x,y+u) – m (x,y)) / u * 1 /m (x,y)
rapporto incrementale parziale rispetto a una sola variabile cioè y
u
x y y + u
se esiste la derivata allora esiste il limite del rapporto incrementale:
lim (m (x,y + u ) – m( x,y)) / u =
u 0
= §/§u * m(x,y) = §/§u * m (x,y) = §/§u * log (m,x,y) = (X;Y)
u = y u = y m (x,y)
= forza istantanea con la quale si vanno maturando gli interessi oppure intensità di accrescimento del capitale nel continuo ( istante x istante).
Oppure si può vedere come intensità istantanea di interessi in Y per un impiego già iniziato in X.
Y+u y + u
( x,y) = §/§u * log m (x,u) = (x,y) dy = log m (x,u)
u = y y y
y +u
(x,u) du = log (m (x,y + u)) / (m(x,y))
y

y + u
(x,u) du
y
m(x,y + u) / m(x,y) = e
fattore di proseguimento da y a y +u
Tutta la funzione sopra indica la legge calcolata in funzione dell’ intensità.
m
X y y + u
m ( x,y +u ) – m (x,y) = m – m ( x,y) (x,y) u
A parità di capitale accumulato in y si produrrà tanto più interesse quanto più è alta l’ intensità.
Lo stesso discorso vale per la legge di attualizzazione:

X Y
? 1
a (x,y) fattore di sconto
1- a (x,y) 0< a (x,y) < 1 tasso di sconto
(1 – a (x,y)) / ( y-x) intensità di sconto
Intensità istantanea di sconto:
(x,y) = §/§q log a( q,y)
q =x
04/11/1999
Le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione consistono in uno scambio tra somme di denaro disponibili ad epoche diverse.
Capitalizzazione = significa determinare con parametri finanziari, l’ importo disponibilein y generato da una somma implicata in x con xx
Legge di capitalizzazione = applicata da x ad y ad un capitale Sin modo che fornisca un montante M
M = S * m (x,y)
Legge di sconto applicata da y ad x su una somma che alla scadenza M fornisca un valore attuale S
S = m a (x,y) con x y
Di norma per definire z (x,y) si ha a (x,y) = 1 / m(x,y)
Le due leggi sono tra loro coniugate.
ESEMPIO sulla intensità instantanea
Sia (x,y) = a + b (y – x) con a, b>0
Determinare m(x,y) per impieghi da x’ a y> x’
§/§r * log ( m(x’,r)) = a + b(r –x’)
Integrando ambo i membri rispetto a r in [ x’,y] allora
y y
log (m(x’,r)) = ( a – bx’ + br) dr
x’ x’
y
log (m (x’,y) = ( a – bx’) * r + b* r / 2
x’
da cui:
[(a – bx’ ) * ( y- x’ )+ b * ( y – x’ ) / 2]
m (x’y) =e

09/11/1999
m (x,y)
legge finanziaria
a (x,y)
Se coniugate m (x,y) = 1 / a (x,y) allora m(x,y) * a (x,y) = 1
Cioè traslo le date di inizio e di fine
X X+h Y Y + h dell’ operazione.
Allora per il principio di equivalenza avrò che se ( S,x) = (M,y)
Allora anche (S,x + h) = (M, y + h) per qualunque h.
M = S m(x,y)
M = S m( x + h , y + h)
m (x,y) = m (x + h, y + h) per qualunque h
Quindi non è importante il tempo di inizio e di fine ma la durata .

y – x = t = durata operazione finanziaria.
m (x,y) = m(y-x) = u (t) = fattore di capitalizzazione
La legge uniforme dipende solo dalla durata t dell’ operazione finanziaria
La stessa cosa vale per il fattore di attualizzazione
a (x,y) = a (y – x) = v (t)
Se vale la simmetria = u(t) = 1 / v(t)
u (t) legge di interesse UNIFORME = fattore di capitalizzazione iniziale per la durata t
a (t) legge di sconto UNIFORME = fattore di sconto iniziale per la durata t
Breve formulario:
u (t) – 1 =tasso iniziale per la durata t
1 – v (t) = tasso iniziale per la durata t
(u (t) – 1) / t = intensità iniziale per la durata t
(1- v(t)) / t = intensità iniziale per la durata t
(u (t +h)) / u (t) = fattore di proseguimento per ulteriore durata h dopo t.
(v(t +h)) / v (t) = fattore di proseguimento per ulteriore durata h dopo t
= tasso di proseguimento

= tasso di proseguimento
= intensità di proseguimento
= intensità di proseguimento.
Se u (t) e v (t) è derivabile allora:

Intensità istantanea
Tale uguaglianza vale se integriamo in [ a, b] se 0 < a < b
Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinchè u (t) * v (t) = 1
È uguaglianza
Esempio:
Si calcoli u (t)
Da cui
10/11/1999
Esempio:
Scindibilità della legge finanziaria:
m (x,y) ; a (x,y)
S M M’’
X Y Z
M’
M = S m (x,y)
M’’ = M m(x,y)
M’ = S m (x,z)
Se e solo se : qualunque (S x y > z:

Z Y X
1
a (x,y) * a (y,z) = a (x,z) scindibilità debole
3- Se x < z z > y:
Y Z X
a (x,y) * m (y,z) = a (x,z).
Sapendo che m (x,y) * m (z,y) = m (x,y), e riprendendo il terzo caso:
m (z,y) = m (x,y) / m (x,z) = 1 / a (y,z)

Ciò vuol dire che le due leggi sono coniugate ( sempre nel caso della scindibilità forte, mentre no per la scindibilità debole).
11/11/99
Condizione di scinbilità debole : per qualunque (S, x < y < z) allora
m (x,y) * m (y,z) = m ( x,z)
a (x,y) * a (y,z) = a (x,z)
Condizione di scindibilità forte: per qualunque (S,x,y,z) allora
z (x,y) * z (y,z) = z (x,z)
Scindibilità Debole = le relazioni di indifferenza e non qulla di simmetria
Scindibilità forte = la relazione è simmetrica quindi le leggi sono coniugate.
Se abbiamo:
S ? M
X Z Y

M = S m (x,y)
Ma S m (x,z) non è disponibile, perché l’investimento è vincolato fino ad ye non si può riprendere prima. In questo caso quando l’ interesse è vincolato fino ad y l’ interesse è maggiore.
Allora sapendo che :
m (x,z) * m (z,y) = m (x,y) e che M = S m (x,y) allora :
S m (x,z) = M / m (x,y) * m (x,z) = M / m(z,y) che è il valore attuale di M riportato all’ epoca z.
Nel caso che le leggi fossero coniugate e appartengono al sistema z (x,y), allora potrò scrivere:
M / m(z,y) = M * a (z,y).
Nella prassi però non si usa attualizzare una legge che non è coniugata. Infatti legge coniugata significa che :
a ( z,y) = 1 / m (z,y), Nella pratica invece a (z,y) è diverso da 1 / m(z,y), Infatti:
a (z,y) < 1 /m (z,y) quindi non esiste la scindibilità forte.
M
X Z Y
S m (x,z) è diverso da M a (z,y), quindi la differenza mi rappresenta il costo dell’ operazione
Se x