Matematica finanziaria

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Testo

Matematica Finanziaria
Obiettivi della matematica finanziaria
Scopo della matematica finanziaria è lo studio delle operazione finanziarie che si definiscono come scambi fra prestazioni riferite nel tempo ad epoche diverse, lo scambio implica la valutazione di somme di denaro fra due parti A e B. Si studiano in pratica Interessi e Montanti, sconti e valori attuali, rendite ecc.
Caratteristiche generali di calcolo
Caratteristica importante, presente sia nel regime di capitalizzazione semplice che nel regime di capitalizzazione composta, è il principio di equivalenza finanziaria, ovvero tasso percentuale e tempo di impiego devono sempre essere concordi: se il tasso è annuale, anche il tempo deve essere riferito ad anni o frazioni di esso; se il tasso è semestrale, trimestrale ecc., anche il tempo deve essere calcolato in semestri, trimestri ecc.
Denominazione dei tassi:
i = tasso annuale;
i2 = tasso semestrale;
i3 = tasso quadrimestrale;
i4 = tasso trimestrale;
i6 = tasso bimestrale
i12= tasso mensile
Esempi.
• Tasso annuale, tempo 5 mesi trasformo il tempo in frazione di anno ovvero 5/12 (12 mesi a denominatore = 1 anno)
• Tasso annuale, tempo x giorni trasformo il tempo in frazione di anno ovvero X/360 (uso a denominatore, se non specificato diversamente dall’esercizio, l’anno commerciale)
• Tasso trimestrale, tempo 2 anni e 6 mesi trasformo il tempo, ovvero 24/3 + 6/3 = 8 trimestri + 2 trimestri = 10 trimestri
• Tasso semestrale, tempo 1 anno e 3 mesi trasformo il tempo, ovvero 12/6 + 3/6 = 2 semestri + 0,5 = 2,5
La trasformazione del tempo, fa sì che nel calcolo degli interessi, diversamente da quanto applicato nei calcoli effettuati in tecnica commerciale, non abbiamo il denominatore Altra caratteristica importante, che differenzia i calcoli di matematica finanziaria è la trasformazione del tasso in numero decimale: il tasso del 5% risulta così, nell’applicazione del calcolo preventivamente trasformato in 0,05 ovvero 5/100, un tasso dello 0,5% diventa 0,05 ovvero 0,5/100 e così via.
Due capitali possono essere confrontati tra loro solo se valutati alla stessa epoca, ovvero in caso di CAPITALIZZAZIONE (trovare l’interesse prodotto da un capitale, e quindi il risultante MONTANTE, capitale + Interessi) dovrò portare i capitali AVANTI nel tempo, mentre, se conosco il montante e desidero determinare il capitale che lo ha generato, dovrò ATTUALIZZARE i capitali, portandoli indietro nel tempo, ovvero calcolare il solo ammontare dei capitali, “scorporandolo” dall’interesse. Anche il calcolo dello sconto è un’operazione di attualizzazione.
Capitale Capitale + Interessi
Attualizzazione

Linea del tempo
Capitalizzazione
Valore Montante
attuale

Di solito il valore attuale corrisponde a 0, oggi.
Regime di capitalizzazione semplice
Caratteristica degli interessi calcolati in regime di capitalizzazione semplice è quella di non essere fruttiferi per il periodo successivo, ovvero non venire reimpiegati insieme con il capitale che li ha generati per un periodo ulteriore. Di solito gli Interessi sono applicati su un periodo inferiore o uguale ad un anno.
Formule per i calcoli in regime di capitalizzazione semplice
Legenda:
- I = interesse
- i = tasso percentualizzato
- t = tempo d’impiego
- C = capitale originario
- M = montante (capitale + Interessi)
- Sc = sconto
- Va = valore attuale
Formule dirette:
I = C x i x t ; M = C x (1+ i x t)
oppure, più semplicemente M = C +I (se si hanno a disposizione i dati Capitale ed Interessi,conviene applicare questa seconda formula)
Formule inverse

C = ____I____ ; t = ____I____; i = _____I_____
i x t C x i C x t
Sconto operazione inversa della capitalizzazione
Lo sconto (Sc) è il compenso che spetta a colui che rimborsa con un anticipo di tempo t un prestito di valore nominale C il “valore”dello sconto come valore a se stante si evince con la nota formula Sc = C x i x t
Esistono tra tipologie di sconto: lo sconto razionale, lo sconto commerciale, lo sconto composto. Alla legge di capitalizzazione semplice si applica lo sconto razionale
Sconto Razionale
Noti il Montante, il tasso ed il tempo d’impiego, debbo trovare il Capitale originario e valore attuale (V). In questo modo lo sconto è calcolato come interesse semplice sul valore attuale, e si chiama sconto razionale.
Formula

C = _____M______ oppure C = M – Sc (ricordare che Sc = C x i x t )
1 + i x t

Formule inverse:
i = ___ M – C___ ; t = ____M – C ____ ; M = C x (1 + i x t )
C x t C x i
Sconto commerciale
Lo sconto è direttamente proporzionale al valore nominale C del capitale e al tempo di anticipazione. per t > 1/d, con d che indica lo sconto di un’unità di capitale anticipata di un periodo, la legge perde di significato, in quanto darebbe uno sconto maggiore del capitale dovuto.

Formula
Sc = M x i x t
Formule inverse
i = ____M - C_____ ; t = _____M - C______ ; C = M x (1 – i x t)
M x t M x i
Regime di Capitalizzazione composta
Mantiene le caratteristiche di calcolo di tempo e tasso concordi e tasso percentualizzato, sennonché, nella capitalizzazione composta, alla fine del periodo di utilizzazione, gli Interessi maturati vengono reinvestiti insieme con il Capitale originario, procurando ulteriori Interessi composti, quindi si può dire che il montante di ogni periodo diventa capitale per il periodo successivo.
C M1 M2 M3 M4
0 1 2 4 5
Formula del Montante in capitalizzazione composta (con t = 1 anno)
M1 = C x (1 + i)

M2 = C x (1 + i)2
M3 = C x (1 + i)3
M4 = C x (1 + i)4
quindi
M = C x (1+ i) t
dove t rappresenta il numero di anni di impiego totale
Formule inverse
t
i = _M_ - 1
C
C = __M __
(1+i)t
M = C x (1 + i)t
Applicazione del tempo composto (formula inversa del tempo) nel calcolo del tempo l’ incognita è un esponente della base; calcolo innanzitutto
(1 + i)t = __M__ equazione esponenziale
C
quindi applico i logaritmi
log (1 +i)t = log __M__
C
tlog (1 +i) = logM - logC
da cui T = __logM – logC__
log 1+i
Montante per tempi non interi
E’ possibile calcolare il montante anche su capitalizzazioni con tempi non interi ( es 2 anni e 3 mesi ecc.).
Esistono 2 metodi di calcolo:
1. calcolo in convenzione esponenziale
M = C x (1 + i )n (1 + i)f (con f = tempo frazionato)
2. calcolo in convenzione lineare che consiste nel calcolo esponenziale per la parte intera n di periodo e nell’applicazione della formula del montante in regime di capitalizzazione semplice semplice per la frazione f di periodo
M = C x (1 + i)n ( 1 + if)
Dal punto di vista finanziario si opera in regime comosto per la parte intera della durata ed in regime semplice per la parte frazionaria. Si ha cosi la capitalizzazione mista con risultati maggiori di quelli ottenuti con il solo calcolo esponenzialie poichè il montante per un tempo inferiore ad una unità a parità di tasso e capitale è maggiore in regime semplice rispetto a quello composto.
CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA E TASSI EQUIVALENTI
Utilizzando sottomultipli dell’anno ( mesi, bimesti, trimestri, quadrimestri semestri) per la capitalizzazione, si otterrà che il montante diventa capitale per il periodo successivo non annuo benzì mensile, bimestrale ecc. Il tasso, può essere un tasso effettivo periodale ik (essendo k il numero dei periodi presenti in un anno) riferito alla frazione di tempo e precisamente:
i2 = tasso semestrale
i3 = tasso quadrimestrale
i4 = tasso trimestrale
i6 = tasso bimestrale
i12= tasso mensile
Il montante sarà quindi calcolato così:
M = C x (1 + ik)tk
(Tk = tempo espresso nella frazione di tempo = al i)
Spesso nelle operazioni di prestito viene assegnato il tasso annuo nominale convertibile k volte nell’anno ovvero il jk
Questo tasso non si può applicare direttamente nelle formule, ma occorre passare al corrispondente tasso periodale ik con la formula
Ik=__Jk__
k
Due tassi relativi a periodi di capitalizzazone diversi si dicono equivalenti quando a parità di capitale C e di tempo i con diversa capitalizzazione producono montanti uguali. Indicati con i il tasso annuo e con ik il tasso relativo ad 11 k di anno si ricavano
Formula per determinare il tasso annuo conoscendo il tasso di periodo in capitalizzazine composta
i = (1 + ik)k – 1
Formula per deterninare il tasso di periodo conoscendo il tasso annuo
ik = k 1+ i - 1
Formula per passare direttamente dal tasso annuo nominale convertibile k volte nell’anno Jk al tasso annuo i
i = (1 + __Jk__)k – 1
k
Sconto composto
Lo sconto composto è inteso come l’operazione finanziaria inversa della capitalizzazione in regime composto calcolabile come l’interesse composto sul valore attuale V per una durata di tempo t iul quale sommato al valore attuale V produce una somma di importo pari al valore nominale C.
Presa la formula del montante M = C x (1 + i)t si sostituisce ad M il valore nominale C il valore attuale V e si considera t come il tempo di anticipazione quindi si ricava
C = V x (1 + i)t
V= __C__
(1 + i)t
S = C – V ovvero = C x 1- (1 + i)- t-
1

Esempio