Matematica

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PROBLEMI DI DECISIONE
I problemi di decisione sono una parte della ricerca operativa e sono basati sull’utilizzo della matematica per scegliere tra alternative diverse oppure per calcolare le condizioni che rendono massima o minima una funzione economica.
In tutti i problemi occorre inanzitutto ricavare il modello matematico.
La parola “Modello” in ricerca operativa e nelle scienze applicate in genere indica una descrizione della realtà attraverso strumenti grafici, matematici, geometrici, informatici, fisici..
I problemi di decisione si definiscono in condizioni di certezza quando le variabili sono perfettamente deterministiche.
Si definiscono con effetti differiti quando il tempo trascorso non è trascurabile ed è necessario attualizzare le somme mediante la matematica finanziaria.
Problemi in condizione di certezza con effetti differiti:
1. Attualizzazione
2. tasso effettivo di impiego
3. onere medio annuo
ATTUALIZZAZIONE
Con questo metodo si confrontano le controprestazioni di ciascuna alternativa portandole alla stessa epoca (si sceglie in genere l’anno zero).
Se poi si tratta di investimenti sceglieremo l’alternativa con il valore attuale maggiore, se si tratta di costi sceglieremo l’alternativa con il valore attuale minore.
TASSO EFFETTIVO DI IMPIEGO
Questo procedimento di calcolo è basato su una prima parte in cui si trovano per tentativi due valori, uno immediatamente superiore e l’altro immediatamente inferiore al valore cercato. Vi è poi una seconda fase in cui si applica l’interpolazione lineare per cercare con un metodo approssimato il valore che sarà compreso fra i due valori precedentemente calcolati.
La parola lineare ci ricorda che in modo approssimato noi riteniamo che fra i due valori noti all’operatore finanziario sia una funzione lineare, ossia una retta. La parola interpolare significa calcare un valore intermedio conoscendo i valori agli estrmi.
LA PROGRAMMAZIONE LINEARE
La programmazione lineare è la parte della ricerca operativa che studia i problemi di ottimizzazione in cui sia la funzione obbiettivo che i vincoli sono espressi da funzioni, disequazioni, equazioni di primo grado.
Questi tipi di problemi vengono classificati in base al numero delle variabili
1 VARIABILE
All’interno dell’intervallo il minimo assoluto si trova all’estremo sinistro e il massimo assoluto all’estremo destro se la retta è crescente. Viceversa se la retta è decrescente.
Inoltre se il vincolo è costituito da un intorno di +infinito, ossia del tipo x>k, se la retta è crescente c’è il minimo assoluto a destra ma non c’è massimo. Se la retta è decrescente c’è il massimo assoluto a sinistra ma non c’è il minimo assoluto.
2 VARIABILI
Una funzione a due variabili di primo grado rappresenta nello spazio un piano che non ha né gobbe né cavità e non ha quindi massimi o minimi relativi. Sarà infatti sempre crescente o sempre decrescente.
METODO GRAFICO
1. Si trascrive una tabella con i dati del problema dove sulle collone vi sono i prodotti, sulle righe i mezzi di produzione e i vincoli.
2. Si esplicano dai dati del problema la funzione obiettivo e il sistema dei vincoli
3. Essendo il sistema dei vincoli formato da equazioni e disequazioni di 1°grado in due incognite è possibile risolverlo graficamente sul piano xy. Con il metodo del punto test.
4. Una volta ottenuto il poligono che racchiude la zona di piano che è soluzione delle condizioni di vincolo si calcolano le coordinate xy dei vertici.
5. Le coordinate dei vertici vengono sostituite nella funzione obiettivo.Il punto che da il valore massimo per z sarà il massimo relativo, e così anke per il minimo. Se due vertici consecutivi danno lo stesso valore tutti i punti di quel lato saranno punti di massimo o di minimo.
PUNTO TEST
1. Si trasformano le disequazioni in equazioni che vengono considerate come equazioni dirette.
2. Si tracciano le rette sul piano cartesiano individuando per ognuna il semipiano soluzione.
3. Si sostituiscono le coordinate di un punto nella disequazione associata alla retta, se si ottiene una disuguaglianza vera il semipiano soluzione è quello cercato, se la disuguaglianza è falsa il semipiano è quello opposto.
4. Si tratteggiano sul piano tutte le soluzioni e la zone comune rappresenterà la soluzione del sistema.
3 VARIABILI RIDUCIBILI A 2
Per risolvere questi esercizi con il metodo grafico occorre poter ricavare una delle due variabili in funzione della altre due , per fare ciò occorre che tra i vincoli ci sia un’equazione in cui siano presenti tutte e 3 le variabili. Il procedimento è il seguente:
1. Dall’equazione si ricava una variabile in funzione delle altre due e la si sostituisce sia nei vincoli delle disequazioni si a nei vincoli di segno e nella funzione obiettivo.
2. Il problema è ridotto a due variabili e si risolve normalmente con il metodo grafico.
3. Note le soluzioni per le prime due variabili per sostituzione è possibile ricavarsi anke il valore della terza
Vincoli tecnici Sono quelli che ci fornisce direttamente il problema
Vincoli di segno Ad esempio un vincolo di segno è x>o dove x è il numero di ore di lavoro.

FUNZIONI IN 2 VARIABILI
Sia A l’insieme delle coppie ordinate di valori x,y e sia B l’insieme di numeri indicati con la lettera Z si definisce funzione in due variabili z=f(x,y) una qualunque relazione che associa ad ogni coppia ordinata (x,y) uno e un solo valore di Z. Se x e y sono reali la funzione è detta “Di variabile reale”.
Il dominio è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x e y in modo tale che Z sia reale.
DOMINI DI FUNZIONI IN DUE VARIABILI
1. Funzione polinomiale
D=R² (Dominio in due dimensioni)
2. Funzione fratta
Il denominatore deve essere diverso da ZERO. D=R²/denominatore0
3. Funzione irrazionale
Ciò che si trova sotto radice deve essere maggiore o uguale a zero.
D=R²/radicando≥0