Matematica

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La matematica nel biennio


Un piano é un insieme di elementi detti punti che obbedisce ai seguenti assiomi
A1-Esiste almeno un sotto insieme r di che comprende almeno due punti distinti e al quale si da il nome di retta.
A2-Due punti distinti di determinano una e una sola retta.
A3-Considerati in un piano una retta r e un punto P r, esiste una e una sola retta s passante per P non avente alcun punto in comune con r, tale cioè che r s = #.
A4-Per ogni retta r di un piano esiste almeno un’applicazione biiettiva tra l’insieme dei punti di r e l’insieme dei numeri reali R.
A7-In un piano , se una retta r é a una retta s, allora s a r
A8-Le rette r e s sono secanti.
A9-Per un punto P passa una e una sola retta s a una retta r.
A10-Se r e s sono , allora ogni retta parallela all’una e perpendicolare a ogni retta parallela all’altra.
A11-d (A,B) = d(B,A)
A12-Se A=B allora d(A,B)=0 e viceversa
A13-Se A,B,C sono tre punti qualunque del piano allora d(A,B)d(A,C)+d(C,B)
A14-In una proiezione parallela di r su rI il punto medio M di un segmento AB di r si proietta nel punto medio MI del segmento A I BI su rI
A15-Quali che siano due punti P e Q del piano, detti PI e QI i punti corrispondenti, risulta d(P,Q)=d(PI,QI )
DEFINIZIONI
-Due rette si dicono parallele se esse sono disgiunte o coincidenti.
-Due rette di un piano si dicono secanti se la loro intersezione é costituita da un solo punto, se cioè esse hanno un solo punto in comune.
-Semiretta: Consideriamo una retta r sulla quale si sia fissato un riferimento di origine O e un punto di unità U
-Segmento: Riferendoci alla retta r prendiamo due punti A e B, Chiameremo segmento AB l’insieme dei punti che sulla retta r seguono A e precedono B
-Si chiama distanza di due punti A e B di una retta numerica e si indica col simbolo d(A,B) il numero reale xa-xb ,cioè il valore assoluto della differenza delle loro ascisse.
-Si chiama punto medio di un segmento AB di una retta il punto medio M del segmento tale che sia AM=MB
-Si dice asse di un segmento la perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
-Si chiama distanza di due punti A e B di un piano il numero reale non negativo d(A,B) tale che: A11-A12-A13
-Fissata in un piano una retta a , si chiama simmetria rispetto ad a l’applicazione di in sé che a ogni punto P fa corrispondere un punto PI, in modo che :1-Se Pa allora a é l’asse del segmento PPI 2-Se Pa allora PI=P
-Si chiama angolo l’insieme dei punti di due semirette aventi la stessa origine
TEOREMI
10-1 Un piano contiene almeno tre punti distinti non appartenenti alla stessa retta e contiene almeno tre rette distinte
10-2 Due rette distinte r e s hanno al più un punto in comune
10-3 Se due rette r e s sono parallele allorea ogni retta t che seca l' una seca anche l' altra
10-4 Due rette r e s, entrambe parallele a una terza retta t, sono parallele tra di loro
10-6 In un piano due rette distinte perpendicolari a una terza retta sono tra loro parallele
10-7 Se due rette sono parallele ogni retta perpendicolare allì una è perpendicolare all' altra
10-8 -Se su una retta numerica AC e CB allora d(A,B)=d(A,C)+d(C,B)
10-10 -In un triangolo la parallela condotta per il punto medio di un lato a un altro lato passa per il punto medio del terzo lato
10-11 -La retta che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo é parallela al terzo lato
10-12 -In un trapezio la retta parallela alle basi condotta per il punto medio di un lato passa per il punto medio dell’altro lato
10-13 -In un trapezio la retta che congiunge i punti medi dei lati non paralleli é parallela alle due basi
11-1 -In una Sa (simmetira assiale) a una retta r non parallela e non perpendicolare ad a corrisponde una retta rI che seca r in un punto dell’asse di simmetria
11-2 In una Sa a una retta r parallela ad a corrisponde una retta r' parallela ad a
11-3 In una Sa auna retta r perpendicolare a a corrisponde se stessa
11-4 In una Sa a due rette r e s tra di loro parallele corrispondono due rette r' es' tra loro parallele
11-5 -Un qualsiasi punto dell’asse di un segmento ha la stessa distanza dagli estremi del segmento, é cioè equidistante dagli estremi
11-6 -Se un punto é equidistante dagli estremi di un segmento, allora il punto appartiene all’asse del segmento
11-8 In una simmetria assiale a due rette r e s tra loro perpendicolari corrispondono due rette r' e s' tra loro perpendicolari
11-9 La distanza di un punto P da una retta r è la minima tra P e qualsiasi altro punto della retta distinto dalla proiezione ortogonale di P su r
11-11 Dato una angolo di un piano esiste ed è unica la simmetria assiale che trasforma l' angolo in se stesso
11-12 Un qualunque punto della bisettrice di un angolo è equidistante dai lati dell' angolo
11-15 Un triangolo isoscele pissiede un' asse di simmetria che coincide con l' asse della base; l' altezza e la mediana relative alla base coincidono e sitrovano sulla bisettrice relativa alla stessa base
11-16 Se un triangolo è equilatero allora esso possiede tre assi di seimmetria che coincidono con gli assi dei tre lati; l' altezza e la mediana relative a ciascuno dei lati coincidono e giacciono sulla bisettrice relativa allo stesso lato
11-18 In un triangolo rettangolo il punto medio dell' ipotenusa è equidistante dai tre vertici
11-19 I tre assi di un triangolo si incontrano in uno stesso punto che si chiama circocentro del triangolo
11-20 Le bisettrici di un triangolo si incontrano in uno stesso punto che si chiama incentro del triangolo
DEFINIZIONI SIMMETRIA CENTRALE
-Fissato in un piano un punto O, si chiama simmetria di centro O l’applicazione di in sé che a ogni punto P fa corrispondere un punto PI simmetrico di P rispetto ad O e tale che il punto O sia punto medio di PPI.
-Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso nel quale i vertici opposti si corrispondono in una stessa simmetria centrale.
-Si chiama rettangolo un parallelogramma avente due lati consecutivi .
-Si chiama rombo un parallelogramma avente due lati consecutivi di uguale lunghezza.
-Si chiama quadrato un parallelogramma avente due lati consecutivi e di uguale lunghezza.
TEOREMI DELLA SIMMETRIA CENTRALE
11-21 Il centro O di simmetria SO è l’unico punto unito della trasformazione.
11-22 Il prodotto di due simmetrie ortogonali aventi assi tra loro è una simmetria centrale il cui centro coincide con il punto di intersezione dei due assi.
11-23 La trasformazione prodotto di due simmetrie ortogonali conserva la distanza di due punti.
11-24 In una simmetria SO l’immagine di una retta r è una retta rI parallela ad r. Se r passa per O, allora rI coincide con r, altrimenti r e rI sono disgiunte.
11-27 Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia un parallelogramma è che i lati opposti siano paralleli a due a due.
11-30 Condizione necessaria e sufficiente affinché un quadrilatero convesso sia un parallelogramma è che i suoi lati opposti abbiano uguale lunghezza.
11-31 Se un quadrilatero convesso ha due lati opposti paralleli e di uguale lunghezza, allora esso è un parallelogramma.
11-32 La distanza di un qualunque punto di una retta da una retta parallela è costante, cioè due rette parallele sono equidistanti.
11-33 Il segmento avente per estremi i punti medi di due lati di un triangolo ha lunghezza uguale alla metà di quella del terzo lato.
11-37 Un rettangolo possiede due assi di simmetria tra loro e che coincidono con le mediane.
11-38 Le diagonali di un rettangolo hanno uguale lunghezza.
11-39 Le diagonali di un rombo sono tra loro e giacciono sulle bisettrici degli angoli individuati dai due lati del rombo.
- La mediana di un trapezio ha lunghezza uguale alla semisomma delle due basi.
TRASLAZIONI
DEFINIZIONE
-Assegnato in un piano un vettore [a], si dice traslazione individuata da quel vettore l’applicazione di in sé che a ogni punto P fa corrispondere un punto P’ tale che il segmento orientato PP’ appartenga alla classe di [a].
- non é involutoria la composizione non da l’identità.
TEOREMI
11-42 Una traslazione trasforma un segmento in un segmento parallelo e conserva la distanza di due punti.
11-43 Il prodotto Sb o Sa di due simmetrie ad assi paralleli è una traslazione avente direzione ortogonale a quella data dei due assi, verso da a a b e modulo uguale al doppio della distanza d dei due assi.
IP: Sa: PP’ Sb: P’P’’; a b
QQ’ Q’Q’’
TS: Sb o Sa è una traslazione di dir. a quella di a e b, verso da a a b e modulo = 2d.
DIM.
Provare che PP’’ e QQ’’ equipollenti.
P, P’ e P’’ sono allineati; conseguenza che PP’ a e P’P’’ b, con a parellelo b. PP’’ a.
Per le stesse ragioni QQ’’ a.
I segmenti PP’’ e QQ’’ essendo a sono tra loro paralleli.
Si ricava:
PP’’ = 2r+2s=2(r+s)=2d
QQ’’= 2m+2n=2(m+n)=2d
pertanto PP’’ = QQ’’ =2d
Cio’ vuol dire che sono equipollenti.
11-44 Proiettando su una retta, secondo una data direzione, due segmenti paralleli e di uguale lunghezza, si ottengono due segmenti di uguale lunghezza.
DIM.
BB’ intersecato con parallela ad AB condotta da A’=R
DD’ intersecato con parallela a CD condotta da C’=S
Poichè A’RBA e C’SDC parallelogrammi:
A’R=AB ; C’S=CD
Essendo per ipotesi AB=CD segue che A’R=C’S.
Siccome i segmenti precedenti sono anche paralleli allora il quadrilatero A’C’SR parallelogramma e A’C’=RS
E’ un parallelogramma anche B’D’SR dall’uguaglianza B’D’=RS segue A’C’ =B’D’
Infine:
A’C’=B’D’ A’B’+B’C’=B’C’+C’D’ A’B’=C’D’
PROPRIETA’
Ta ° Tb = Tb ° Ta a,b V commutativa
(Ta ° Tb) ° Tc = Ta °( Tb ° Tc) a, b, c V ass.
Ta ° T0 = Ta
Tc= Ta + Tb elemento neutro(vettore nullo perché modulo nullo).
A * b = a * bp Prodotto scalare di vettori vale commutativa.
EQUAZIONE DELLA RETTA
ax + by + c = 0 forma implicita
x=0 asse y
y=0 asse x
y = mx + p forma esplicita
ax + by = 0 retta passante per origine
ax + c = 0 retta parallela asse y
by + c = 0 retta parallela asse x
pendenza o coefficente angolare= in una retta passante per l’origine é il rapporto tra ordinata e ascissa di un suo qualunque punto diverso dall’origine.
a b
-- = --- m = m’ condizioni parallelismo
a’ b’
aa’ + bb’ = 0 mm’ = -1 condizioni perpendicolarità
y - yp = m (x -xp) per trovare la retta dato un punto
y - yp x - xp
-------- = -------- per trovare la retta dati due punti
yq - yp xq - xp
yq - xq
m =--------- per trovare il coefficiente angolare (se positivo angolo
xq - xp acuto altrimenti ottuso)
Punto medio di un segmento:
2xM = x + x’
2yM = y + y’
Distanza tra due punti A e B AB=(xb-xa)2 + (yb-ba)2=
Sistema determinato rette secanti
Sistema indeterminato rette parallele coincidenti
Sistema impossibile rette parallele distinte
Se q positivo la retta taglia y nel semiasse positivo
Se coefficiente angolare uguale a 0 o é l’asse x o una retta parallela
- equazione con K
· per quale valore di K la retta passa per O = bisogna annullare coefficiente
· per quale valore passsa per un punto = sostituisco le coordinate
· per quale valore ottengo retta parallela y=5 = annullo il coefficiente della x
· per quale valore ottengo retta parallela x=rad di 3 = annullo coefficiente y se devo trovare la retta sostituisco poi K
· retta parallela 1° e 3° Q. x-y=0 = uso la formula per trovare le rette parallele quella implicita se fosse stato 2° e 4° avrei usato x+y=0
retta perpendicolare 1° e 3° Q. x-y=0 = uso al formula per le rette perpendicolari quella implicita.
RADICALI ALGEBRICI
Dato un numero reale a e un numero naturale n escluso lo 0, si dice
radice algebrica ennesima del numero reale a quel numero reale
anch’esso(se esiste) che elevato alla n ci dà il numero di partenza a.
R -> R+
n: indice di radice
a: radicando
: radice
se l’indice é dispari la radice esiste sempre.
se l’indice della radice é pari:
1. se il radicando é negativo allora non esiste mai
2. se il radicando é positivo o nullo ci sono due soluzioni, per convenzione sceglieremo il segno davanti alla radice. Bisogna porre le condizioni.
RADICALI ARITMETICI
Si dice radice aritmetica ennesima di un numero reale positivo o nullo quel numero reale positivo o nullo anch’esso che elevato alla n ci dà il numero di partenza.
R+ -> R+
La radice esiste sempre ed é una sola.
a=b a2= b2 a,b R+
a=b a2= b2 a,b R n pari
n pari an = bn a = b
· Moltiplicando l’indice di radice e il radicando per uno stesso numero il radicale si trasforma in uno equivalente.
· Moltiplicando due radicali se ne ottiene uno solo con il prodotto dei radicandi sotto radice.
· Dividendo due radicali se ne ottiene uno solo con il rapporto dei radicandi sotto radice. Escluso lo zero.
Per ogni n appartenenti ad N la radice di 0 alla n é uguale a 0 e così di uno.
a alla 0 non ha significato.
ANGOLI ROTAZIONI ISOMETRIE
DEFINIZIONI:
- Angolo: Insieme di punti di due semirette aventi la stessa origine.
- Rotazione: fissato in un piano un punto O, si chiama rotazione dicentro O e ampiezza l’applicazione di in sé che a ogni punto P fa corrispondere un punto P’ in modo che:
· se PO allora m PÔP’ = e OP’=OP
· se P=O allora P’ = P = O
- Isometria: dato un piano , si chiama isometria o congruenza un’applicazione biiettiva del piano in sé che conserva la distanza di due punti qualsiasi del piano.
- Due figure si dicono isometriche o congruenti se si corrispondono in un’isometria cioè se esiste un’isometria che trasforma l’una nell’altra .
ASSIOMI:
-A16(assioma goniometro): data una retta AB in un determinato piano e fissato un qualunque punto O compreso tra A e B, a ogni semiretta del piano avente come origine il punto O si può associare un numero reale compreso tra 0 e 180 in modo che:
a) alla semiretta OA sia associato il numero 0 e alla semiretta OB 180;
b) se alla semiretta OP è associato il numero reale x e alla semiretta OQ il numero reale y,allora m PÔQ = x-y
-A17(assioma somma angoli): la somma delle ampiezze di due angoli consecutivi è uguale all’ampiezza dell’angolo formato dai due lati non coincidenti: m AÔB + m BÔC = m AÔC
-A18: angoli che si corrispondono in una simmetria ortogonale hanno la stessa ampiezza.
TEOREMI:
- 17-1: La bisettrice di un angolo divide l’angolo in due angoli di ugual ampiezza.
- 17-2: Due angoli complementari di uno stesso angolo hanno la stessa ampiezza
- 17-3: Due angoli supplementari dello stesso angolo hanno la stessa ampiezza
- 17-4: Il prodotto di due simmetrie ortogonali ad assi secanti è una rotazione avente il centro nel punto di intersezione dei due assi e ampiezza uguale al doppio dell’ampiezza dell’angolo formato dai due assi.
- 17-5: Il prodotto di due simmetrie ortogonali ad assi perpendicolare è una rotazione di ampiezza uguale a 180 e cioè una simmetria centrale.
- 17-6: Il prodotto di due o più isometrie è un’isometria
- 17-7: Il prodotto di due rotazioni aventi lo stesso centro O e ampiezze e è una rotazione di centro O e ampiezza uguale alla somma algebrica + delle due ampiezze
- 17-8: Il prodotto di due rotazioni di centri A e B distinti e di ampiezze e è:
· una rotazione di ampiezza a+b e centro C, in generale distinto da A e B, se a +b 0;
· una traslazione se a+b = 0 cioè se a = -b
- 17-9: Il prodotto di una traslazione per una rotazione di centro O e ampiezza (o viceversa) è una rotazione di ampiezza ma di centro in generale distinto da O.
- 17-10: Il prodotto di un numero pari di simmetrie ortogonali è uguale al prodotto di due simmetrie ortogonali.
- 17-11: Il prodotto di un numero dispari di simmetrie ortogonali è uguale al prodotto di tre simmetrie ortogonali.
- 17-12: Il prodotto di un numero qualsiasi di simmetrie ortogonali è uguale al prodotto di al più tre simmetrie ortogonali e coincide con una delle seguenti isometrie: identità, simmetria ortogonale, traslazione, rotazione, antitraslazione.
- 17-13: Un’isometria C che possiede tre punti uniti non allineati del piano è la trasformazione identica, lascia cioè fissi tutti gli altri punti del piano.
- 17-14: Una qualunnque isometria è completamente individuata se si assegnano tre coppie di punti corrispondenti non allineati.
- 17-15: Assegnata un’isometria C , essa può sempre essere ottenuta componendo al più tre simmetrie ortogonali.
- 17-17: Due angoli aventi lati paralleli e dello stesso verso hanno uguale ampiezza.
- 17-18: Due angoli aventi lati paralleli e di verso opposto hanno la stessa ampiezza.
- 17-19: Due angoli che hanno due lati paralleli e dello stesso verso e gli altri due lati paralleli e di verso opposto sono supplementari.
- 1° criterio di congruenza: Se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso rispettivamente congruenti, allora sono cogruenti.
- 2° criterio di congruenza: Se due triangoli hanno un lato e i due angoli adiacenti rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.
EQUAZIONI DI 2° GRADO
PARAMETRICHE
Porre K=0 se si trova al posto di a
-Perché una radice sia soluzione, bisogna sostituire il valore a x e risolvere trovando k
-Perché ammetta due radici coincidenti, bisogna che Delta=0
-Perché ammetta radici reali, bisogna che 0
-Le radici siano reciproche, x1+x2=0
-Le radici siano opposte, x1x2=0
-La somma dei quadrati si sviluppa: (x1+x2)2 * 2x1x2
-La somma delle reciproche delle radici:1/x1 + 1/x2 = 2
-La somma dei quadrati delle radici sia uguale alla somma dei quadrati dei loro reciproci: si scrive si semplifica e si ottiene: (x1x2)2=1
-Somma di cubi si sviluppa: x13+x23(x1+x2)3 -3x1x2(x1+x2)
-Per altri casi bisogna impostare il sistema
EQUAZIONI
-Pura: ax2+c=0 a e c devono essere discordi allora ax2=c : x=-c/a
-Spuria: ax2+bx=0 si raccoglie x: x(ax+b)=0 e le soluzioni sono
x1=0 e x2=ax+b
- Se il >0 allora due radici reali distinte
- Se il =0 allora due radici reali coincidenti x= - b/2a
- Se il 0 alla semiretta opposta se K