La proporzionalità

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Categoria:	Matematica
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Data:	09.05.2007
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La Proporzionalità
Prima di impostare il concetto di “grandezze proporzionali”, bisogna conoscere la definizione di “grandezze omogenee”.
Due grandezze si dicono omogenee se sono confrontabili (uguali, maggiori o minori) e sommabili.
Esempio:
Due o più segmenti sono omogenei perché
Confrontabili e sommabili.
Anche due angoli lo sono.
Grandezze Proporzionali
Date 4 grandezze, A,B,C,D a due a due omogenee si dice che esse sono in proporzione se
A:B = C:D. (ricorda che: Il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi!)
Teorema del quarto proporzionale
Date 3 grandezze A,B,C omogenee esiste ed è unica la grandezza D tale che A:B = C:D.

Grandezze direttamente proporzionali
Due insiemi di grandezze si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.
Esempio:
Insieme 1: {lati} Insieme 2: {perimetri}
Il primo quadrato è di lato uno, mentre il secondo di lato 3. Quindi, il perimetro del primo sarà 4 mentre del secondo 12.
Il rapporto sui lati, è di 1:3
Il rapporto sui perimetri è di 4:12 (1:3) quindi: le due grandezze sono direttamente proporzionali.
Grandezze inversamente proporzionali
Due insiemi di grandezze si dicono inversamente proporzionali quando il rapporto tra 2 grandezze nel primo insieme è uguale al rapporto inverso delle corrispondenti grandezze nel secondo insieme.
Esempio:
Insieme 1: {basi} Insieme 2: {Altezze}

Il Primo triangolo ha altezze 2 e base 3. Il secondo base 6 e altezza uno.
Il rapporto tra le basi: 3:6 (1:2)
Il rapporto tra le altezze: 2:1
Nota che: il rapporto delle basi è l’inverso delle altezze!
Criterio generale di proporzionalità diretta
Condizione Necessaria e Sufficiente (C.N.E.) affinché due insiemi di grandezze si dicano direttamente proporzionali è che si verifichino le seguenti proprietà:
1) A grandezze uguali nel primo insieme corrispondono grandezze uguali nel secondo insieme
2) A somme di grandezze nel primo insieme corrispondono le corrispondenti somme nel secondo insieme
Esempio:
Insieme 1: {archi} Insieme 2: {angoli al centro}
A

C B
D
AB (arco) = CD (arco) come AOB (angolo) = COD (angolo)
AB (arco) + BD (arco) = AD (arco) come AOB (angolo) + BOD (angolo) = AOD (angolo)
Il criterio generale è soddisfatto poiché tutte e due le condizioni sono verificate.
Esempio 2: ( il criterio in questo caso non è soddisfatto)
Insieme 1: {archi} Insieme 2: {corde}
A B
C D
AC (corda) = BD (corda) come BD (arco) = AC (arco)
AC (corda) + CD (corda) = AB (corda) ma AC (corda) + BD(corda) = ??