Interpolazione di Aitken

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	13.12.2000
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INTERPOLAZIONE DI AITKEN
Un altro metodo di interpolazione è il metodo di Aitken questo metodo ci permette, combinando due rette, di ottenere una parabola, combinando due parabole, di ottenere una cubica, combinando due cubiche, di ottenere una quadratica e così via. Come nell’esempio riportato di seguito:
Abbiamo i seguenti punti noti e supponiamo di avere x=3:
x y
0 1
1 1
2 2
4 5
Rappresentando le rette che si ricavano da questi punti si ottiene il seguente grafico:

Questo si ricava dalla seguente formula:
x y
0 1=P0
1 1=P1 P01
2 2=P2 P02
4 5=P3 P03
t=(x-x1)/(x0-x1)=(3-1)/(0-1)=-2
P01=(t*P0)+((1-t)*P1)=(-2*1)+(1+2)*1=+1
t=(x-x2)/(x0-x2)=(3-2)/(0-2)=-1/2
P02=(t*P0)+((1-t)*P2)=(-1/2*1)+(3/2*2)=+5/2
t=(x-x3)/(x0-x3)=(3-4)/(0-4)=1/4
P03=(t*P0)+((1-t)*P3)=(1/4)+(3/4*5)=4
Dalle rette ottenute ci ricaviamo delle parabole:

x y
0 1=P0
1 1=P1 P01
2 2=P2 P02 P012
4 5=P3 P03 P013
t=(x-x2)/(x1-x2)=(3-2)/(1-2)=-1
P012=(t*P01)+((1-t)*P02)=(-1*1)/((1+1)*5/2)=-5
t=(x-x3)/(x1-x3)=
P013=(t*P01)+((1-t)*P03)
Da queste parabole ricaviamo la cubica:

x y
0 1=P0
1 1=P1 P01
2 2=P2 P02 P012
4 5=P3 P03 P013 P0123
t=(x-x3)/(x2-x3)
P0123=(t*P012)+((1-t)*P013)