Il piano cartesiano

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	15.11.2001
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IL PIANO CARTESIANO

La geometria analitica, introdotta per la prima volta da Descartes (italianizzato in Cartesio) nella prima metà del XVII secolo, tratta lo studio di figure piane e solide utilizzando metodi algebrici, cioè risoluzione di equazioni, piuttosto che metodi geometrici, cioè strumenti come riga e compasso e l'uso delle proporzioni e di criteri di proporzionalità.
Dato che è relativamente semplice creare degli algoritmi, ovvero delle procedure standard e ripetitive, per eseguire le operazioni algebriche, l'applicazione dell'algebra alla geometria si rivela estremamente efficace e ha contribuito in maniera essenziale a un notevole sviluppo di entrambe le discipline.
L'idea fondamentale che sta alla base della geometria analitica è molto semplice e si fonda sulla rappresentazione dei numeri reali su una retta.
Se tutti i numeri reali hanno una rappresentazione sulla retta, allora prendiamo due rette perpendicolari che si intersecano entrambe nel punto zero (origine); se consideriamo la coppia ordinata di numeri (x, y), dove il primo numero x viene preso sulla retta orizzontale, chiamata anche asse delle X o asse delle ascisse, mentre in secondo numero y viene preso sulla retta verticale, chiamata anche asse delle Y o asse delle ordinate, allora "esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano formato dagli assi x e y e le coppie ordinate di numeri".
In altre parole a ogni punto del piano corrisponde una e una sola coppia ordinata di numeri (ricordiamo che "ordinata" significa che la coppia (2, 5) è diversa dalla coppia (5, 2), come si può vedere in figura 1), mentre ad ogni coppia ordinata di numeri corrisponde uno e un solo punto del piano. Poiché l'insieme delle coppie ordinate altro non è che l'insieme prodotto cartesiano R X R, tutti i punti del piano possono essere visti come la rappresentazione di questo insieme prodotto cartesiano. Le coppie ordinate prendono il nome di "coordinate del punto"; il primo numero della coppia prende il nome di "coordinata x" e rappresenta la distanza del punto dall'asse Y, mentre il secondo numero prende il nome di "coordinata y" che rappresenta la distanza del punto dall'asse X (in figura per il punto A di coordinate 2, 4).
Gli assi X e Y dividono il piano in quattro quadranti: se le coordinate x e y sono entrambe positive il punto è nel primo quadrante; se la coordinata x è negativa mentre la coordinata y è positiva il punto è nel secondo quadrante; se le coordinate x e y sono entrambe negative il punto è nel terzo quadrante; se la coordinata x è positiva mentre la coordinata y è negativa il punto è nel quarto quadrante. Tutti i punti che hanno coordinate del tipo (0, y) sono punti che giacciono sull'asse X, mentre tutti i punti che hanno coordinate del tipo (x, 0) sono punti che giacciono sull'asse Y.