Gli asintoti

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	12.12.2001
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- Gli asintoti -
Una retta y= m x +q è un asintoto per la funzione y= f(x) se al tendere di P all’infinito la distanza UPH tende a zero, cioè se
Gli asintoti possono essere : Verticali, Orizzontali ed obliqui.
Asintoti verticali

allora “x= a” è un asintoto verticale.
Infatti la distanza del punto “P” della curva dalla retta x=a, per xIa tende a zero; cioè

Asintoti orizzontali

Se allora “y= b” è l’asintoto orizzontale
Infatti la distanza del punto “PIIx, f(x)x” della curva dalla retta “y= b” tende a zero per x” ; cioè:

Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per x danno risultati eguali e quindi esiste un unico asintoto orizzontale, mentre bisogna fare attenzione alle funzioni trascendenti (irrazionali, esponenziali e goniometriche), in quanto, con esse, i due limiti per xs-- ed x + potrebbero dare risultati diversi ed, in tali casi, esistono due asintoti orizzontali, oppure potrebbero esistere un asintoto orizzontale ed uno obliquo.

c) A S I N T O T I O B L I Q U I
Se invece il , allora non esiste un asintoto orizzontale, ma potrebbe esistere un asintoto obliquo del tipo y= m x + q dove:
Logicamente l’asintoto esiste solo se esistono e sono finiti entrambi i limiti
Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per xNNN danno risultati eguali e quindi esiste un solo asintoto obliquo, ma, nelle funzioni trascendenti tali limiti potrebbero essere diversi e quindi esisterebbero due asintoti obliqui.
Dimostrazione: La retta y= m x + q è l’asintoto obliquo se al tendere di x all’infinito, la distanza PH tende a zero.
E’ preferibile fare il ragionamento sull’ipotenusa PC del triangolo rettangolo (AHC), tanto se, per xEE, tende a zero l’ipotenusa “PC”, a maggior ragione tenderà a zero il cateto “PH”. In conclusione sostituiamo
Dividendo primo e secondo membro della precedente equazione per “x”, a secondo che “f(x)-(mx+q)” sia positivo o negativo, avremo:

Dalla (1), sempre nell’ipotesi che “f(x)-(mx+q)” sia positivo o negativo, avremo:

Funzione razionale fratta:
Metodo pratico per la determinazione degli asintoti o delle funzioni asintotiche
Se la funzione è del tipo eseguiamo la divisione fra numeratore e denominatore; avremo un quoziente Q(x) ed un resto R(x). A(X) B(x)
R(x) Q(x)
In tal caso avremo:
Se allora y= Q(x) è l’asintoto richiesto.
In pratica:
• se A(x) è di grado inferiore a B(x) allora esiste l’asintoto orizzontale e tale asintoto coincide con l’asse delle x.
• se A(x) è di grado eguale a B(x) allora esiste l’asintoto orizzontale la cui equazione è
• se A(x) è di un solo grado superiore a B(x) allora esisterà un asintoto obliquo del tipo y = m x + q
• se A(x) è di almeno due gradi superiore a B(x) allora esisterà una funzione asintotica.
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