Geometria: alcuni teoremi

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	1.5 (2)
Download:	145
Data:	14.12.2005
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

° Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolociascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Hp. ABC / BAC =90°; H e BC; AH BC; Th. BC:AB=AB:BH
DIMOSTRAZIONE
considero ABH e ABC; essi hanno:
ABC in comune, AHB = BAC =90° ABH ABC BC:AB=AB:BH
2°Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni die cateti sull’ipotenusa
Hp. ABC/ BAC=90°; H e BC; AH BC Th. BH:AH=AH:HC
DIMOSTRAZIONE
Cconsidero ABH e HAC; essi hanno:
ACB in comune, AHC=BAC=90° ABC AHC ABH ABC,AHC ABC ABH AHC
BH:AH=AH:HC
TEOREMA. Se 2 corde di una circonferenza si intersecano i segmenti dell’una sono i medi ed i segmenti dell’altra sono gli estremi di una proporzione.
Hp. Circonferenza di centro o e raggio r; ABCD e AB CD=P Th. CP:BP=AP:DP
DIMOSTRAZIONE
Considero APC e PBD essi hanno:
CPA =PBD (opposti al vertice)
CAP = BDP (insistono sull’arco CB)
APC DBP (I criterio di similitudine) CP:BP=AP:DP

TEOREMA. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano2 secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione.
Hp. Circonferenza di centro o e raggio r; P e C ( ); B e , PB =A; D e , PD =C
Th. PD:PB=PA:PC
Considero BCP e PAD essi hanno:
bp BPD in comune
PDA=PBC(insistono su AC) PBC PAD PD:PB=PA:PC

TEOREMA.. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una secante ed una tangente il segmento tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna.
Hp. Circonferenza centro o raggio r Q e , PQ tangente B e , PB =A Th. PB:PQ=PQ:PA
DIMOSTRAZIONE consiedero PAQ e QBA; essi hanno:
BPQin comune
PBQ PQA(insistono su AQ) BAQ PAQ PB:PQ=PQ:PA
TEOREMA INVERSO DI TALETE. Hp. r,s (2rette), A A’,B B’,C C’; A,A’e a;B,B’e b;C,C’e c AB:BA=A’B’:B’C’ c//a c//b
c//a c//b CP//a//b AB:BC=A’B’:B’P
AB:BC=A’B’:B’C’ P= C (IV proporzionale) c//a//b

TEOREMA. Hp. A’=W o,k (A); B’=W o,k (B) Th. A’B’//AB A’B’=|k|
DIMOSTRAZIONE 1°caso>0(2) poichè A’ o,k (A)(HP) OA’/OA=k B’=W o,k (B)(HP) OB’/OB=k OA’/OA=OB’/OB AB//A’B’(INV TAL) BD//OA(costruzione) considero OA’B’ A’B’/A’D=OB’/OB OB’/0B=k considero(A’DBA)/A’D AB A’B’/AB=k
2°caso