Geometria varia

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	1.5 (2)
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Data:	19.04.2001
Numero di pagine:	3
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AFFINITA’ IN UN PIANO
Consideriamo un piano C e su di esso un sistema di coordinate cartesiane ortogonali Oxy (ai fini di quello che diremo in questo paragrafo tale ipotesi non è necessaria, ma noi la facciamo per il semplice motivo che siamo abituati a lavorare esclusivamente con tali sistemi di coordinate).
Definizione: Si chiama affinità nel piano S una corrispondenza biunivoca del piano in sé che ad ogni punto P(x,y) associa il punto P le cui coordinate, X e Y sono date da:

(1)

dove a, b, c, d, p, q sono costanti reali e 0.
La matrice A= si chiama matrice dell’affinità. Le (1) si chiamano equazioni dell’affinità.
Per quanto detto un’affinità T è una corrispondenza invertibile. Si può dimostrare che la corrispondenza inversa, quella che alla coppia (X,Y) associa la coppia (x,y), che indichiamo con T è anch’essa un’affinità.
Per le affinità valgono le seguenti proprietà (teoremi):
1. In un’affinità ad una retta corrisponde una retta (o equivalentemente, a tre punti allineati corrispondono tre punti ancora allineati).
2. In un’affinità a rette parallele corrispondono rette parallele.
3. In un’affinità a rette incidenti corrispondono rette incidenti.
4. In un’affinità è costante il rapporto delle aree corrispondenti.
Tale rapporto si chiama rapporto d’affinità e si può dimostrare che esso è uguale al valore assoluto del determinante della matrice A dell’affinità.
Si danno inoltre le seguenti definizioni:
Definizione: Un’affinità di equazioni (1) e matrice A è detta:
• positiva, o diretta, se det(A)>0; • negativa, o inversa, se det(A)0.
Commento-dimostrazione: a tale risultato si giunge a partire dalle equazioni di un’affinità

(3)

imponendo che l’immagine della circonferenza di equazioni X+Y=1 sia ancora una circonferenza; ciò si verifica se e soltanto se valgono le seguenti relazioni:
(*)
che rappresentano le condizioni analitiche cui debbono soddisfare i coefficienti di un’affinità per essere una similitudine.
Posto k = , si può scrivere a = kcos e c = ksen; sostituendo le espressioni di a e c appena trovate nel sistema (*) si ottiene il sistema equivalente:
(**)
Risolvendo tale sistema rispetto a b e d si ottengono le soluzioni:
e
Sostituendo nelle (3) ad a, b, c, d i valori ora trovati si ottengono le (1) e le (2).
Il numero reale positivo k = = che compare nelle equazioni (1) e (2) di una similitudine prende il nome di rapporto di similitudine.
Esso rappresenta il rapporto costante tra segmenti corrispondenti in una similitudine (tale proprietà può essere facilmente dimostrata).
Poiché risulta a = kcos( e c = ksen(, le equazioni della similitudine assumono la forma:
(1() oppure (2()
essendo k = il rapporto di similitudine.
Nelle (1() risulta det(A) = a>0, mentre nelle (2() risulta det(A) = (a0 trattandosi di una similitudine); infatti:
==> ==> dunque la trasformazione considerata ammette uno ed un solo punto unito sse 1-k 0, ovvero sse k01.
Se invece risulta k=1 allora le equazioni (3), come facilmente si comprende, rappresentano una traslazione (trasformazione priva di punti uniti) di vettore v(p,q) se almeno uno fra i valori di p e q è diverso da zero (se p vel q(0), l’identità (o trasformazione identica ).avente come punti uniti: tutti i punti del piano se p=q=0.
Riepilogando possiamo dire che le equazioni
(3)
con k>0 e k>1 rappresentano un’omotetia di centro C (il centro di un’omotetia è il suo unico punto unito) e rapporto k. Tale omotetia essendo stata ricavata da una similitudine diretta è una omotetia diretta. Il numero k, detto rapporto di omotetia rappresenta il rapporto costante fra segmenti corrispondenti.
Se invece nelle equazioni (1) di una similitudine poniamo α=π otteniamo:
(4) ;
posto h=pk le (4) diventano:
(5)
con h0 poiché rapporto di similitudine).
Tali equazioni rappresentano le equazioni di una omotetia a patto che la trasformazione da esse rappresentata abbia uno ed un solo punto unito; ciò accade, come facilmente si verifica, per ogni valore negativo di h (cioè sempre); infatti:
==> ==> dunque la trasformazione considerata ammette uno ed un solo punto unito sse 1rhh0, ovvero sse h01, ma ciò accade sicuramente essendo nelle (5) h1 e quelle con h