Geometria solida

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	12.01.2007
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Si chiama semispazio la figura costituita da una di queste parti e dal piano.
Il piano α si dice bordo dei due semispazi e gli altri punti si dicono interni al semispazio

Due rette distinte nello spazio possono essere:
1)complanari, cioè giacenti sullo stesso piano;
2)sghembe, cioè non giacenti sullo stesso piano;
Inoltre due rette complanari distinte possono essere:
1)incidenti, se hanno un punto in comune;
2)parallele, se non hanno alcun punto in comune.
Infine nello spazio un piano è individuato da:
tre punti non allineati; due rette incidenti; una retta e un punto non appartenenti a tale retta: due rette parallele e distinte.

Piani nello spazio
T:Se due piani distinti hanno in comune due punti AeB, allora hanno in comune tutta la retta AB e solo questa retta.
Due piani si dicono incidenti o secanti se hanno in comune una sola retta.(retta d’intersezione tra i due piani)
T:Due piani distinti, aventi in comune un punto, sono incidenti lungo una retta passante per quel punto.
Due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune o quando sono coincidenti.

Retta e piani nello spazio
T:Una retta parallela ad una retta di un piano e passante per un punto esterno ad esso, non ha alcun punto in comune col piano.
Una retta si dice parallela ad un piano se giace sul piano o se non ha alcun punto in comune con il piano.
Una retta e un piano, aventi un punto P in comune, si dicono perpendicolari quando la retta è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per P.
T:Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad una qls retta del piano, quest’ultima retta risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette.
T:Per ogni punto P della spazio passa:
una e una sola perpendicolare ad un dato piano,
uno e un solo piano perpendicolare a una retta data.
T:Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono tra loro parallele

Diedri e piani perpendicolari
Si chiama diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi lo stesso bordo, inclusi i due semipiani.
Un diedro si dice retto acuto ottuso se tale è la sua sezione normale
Due piani incidenti si dicono tra loro perpendicolari qnd formano quattro diedri retti

Angoloide
Si chiama angoloide la figura formata da tutte le semirette di origine V che passano per i diversi punti del dato poligono.
L’insieme di tutte le facce si chiama contorno o superficie dell’angoloide.L’intersezione di due di questi spazi aventi uno spigolo in comune si chiama diedro dell’angoloide.

Prisma
Un prisma indefinito è la figura formata da tutte le rette parallele ad r che passano per i punti del dato poligono ( è una figura convessa).
T:Due sezioni parallele qualsiasi,di un medesimo prisma indefinito, sono isometriche
Si dice prisma finito, la parte di un prisma indefinito compresa tra due sezioni parallele(basi isometriche).
Distanza tra i piani delle basi si chiama altezza del prisma.
Si dice diagonale del prisma un segmento congiungente due vertici non appartenenti ad una stessa faccia. Il prisma finito è una figura limitata. È regolare quando le basi sono poliedri regolari.

Parallelepipedo e cubo
Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
È rettangolo quando le basi sono rettangoli.
T: d=√a²+b²+c²
Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo nel quale sono isometrici i tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice.
T: d=l√3

Piramide
Si chiama piramide la parte di angoloide situata in un semispazio, che ne contenga il vertice e il cui bordo incontri tutti gli spigoli. (è una figura limitata e convessa)
Una piramide si dice retta quando nella sua base si può inscrivere una circonferenza, il cui centro è piede dell’altezza della piramide.
Tutte le facce laterali di una piramide retta hanno altezze isometriche.
Una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.

Poliedri
Si chiama poliedro ogni figura solida limitata da un numero finito di poligoni, situati in piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi e il piano di ciascuno lasci tutti gli altri da una stessa parte.
Relazione di Eulero: F+V=S+2 Fn.facce, Vn.vertici, Sn.spigoli
Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari isometrici e i suoi diedri sono tutti isometrici.
Esistono solo 5 tipi di poliedri regolari
1)Tetraedro regolare: limitato da 4 triangoli equilateri isometrici, ha 6 spigoli e 4 vertici;
2)Esaedro regolare: cubo, ha 6 vertici e 12 spigoli;
3)Ottaedro regolare: limitato da 8 triangoli eq. Isometrici, ha 6 vertici e 12 spigoli;
4)Icosaedro regolare: limitato da 20 triangoli eq. Isometrici, ha 12 vertici, 30 spigoli;
5)Dodecaedro regolare: limitato da 12 pentagoni reg. isometrici, ha 20 vertici, 30 spigoli.

Cilindro
Si chiama superficie indefinita l’insieme dei punti dello spazio equidistanti da una retta fissa.
In una superficie cilindrica indefinita si chiama:
asse la retta fissa, generatrice ciascuna delle rette generatrice, parallela all’asse avente da questo la distanza assegnata, raggio la distanza dei suoi punti dall’asse.
Si chiama cilindro indefinito la figura costituita da una superficie cilindrica e dai suoi punti interni.
Si chiama cilindro circolare retto finito la parte di un cilindro indefinito compresa tra due sezioni normali.
Il cilindro si può generare mediante la rotazione completa di un rettangolo attorno a un suo lato, preso come asse di rotazione.
Un cilindro si dice equilatero se la sua altezza è isometrica al diametro della base.

Cono
Si chiama superficie conica indefinita l’insieme delle semirette dello spazio che, avendo la stessa origine V di una data semiretta, formano con essa angoli isometrici ad un dato angolo acuto.
Si chiama angolo di apertura ciascuno degli angoli che l’asse forma con ciascuna generatrice.
Si chiama cono indefinito la figura costituita da una superficie conica e dai suoi punti interni(è una figura illimitata).
T:L’intersezione di un cono indefinito con un piano perpendicolare all’asse è un cerchio.
Ogni circonferenza così ottenuta si chiama sezione normale della superficie conica.
Si chiama tronco di cono la parte di cono compresa fra il piano di base e un piano ad esso parallelo, secante il cono.

Sfera
S chiama superficie sferica l’insieme dei punti dello spazio aventi una distanza prefissata r da un punto fisso O.
Si chiama sfera la figura formata da una superficie sferica e da tutti i punti ad essa interni.
Si chiama corda di una superficie sferica ogni segmento che abbia gli estremi sulla superficie stessa.
Si chiama diametro di una superficie sferica ogni corda passante per il centro.