Geomatria euclidea

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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ASSIOMI

ASSIOMA DI APPARTENENZA DELLA RETTA(A1)
a) Esistono sottoinsiemi propri infiniti dello spazio, detti rette.
b) Per ogni coppia di punti distinti, A e B, esiste una e una sola retta che li contiene.
1-Poiché lo spazio è un insieme di punti abbiamo potuto applicare allo spazio la terminologia e le nostre conoscenze sugli insiemi. Così parliamo di “insieme infinito”, di “sottoinsieme proprio” e di insieme che “contiene” la coppia degli elementi A e B.
2-L’assioma enunciato si dice “assioma di appartenenza” perché stabilisce una semplice e immediata relazione di “appartenenza” fra gli elementi geometrici fondamentali: punto, retta e spazio.
Tre punti appartenenti alla stessa retta, si dicono allineati. Due o più rette si dicono concorrenti se passano per uno stesso punto.
Nello spazio esistono terne di punti non allineati e terne di rette non concorrenti. Lo spazio contiene, oltre che infiniti punti, anche infinite rette.
Infatti, nello spazio esiste sicuramente una retta, dato che lo spazio ha certamente due punti distinti; e poiché la retta r =AB è un sottoinsieme proprio dello spazio, esiste in esso almeno un punto, diciamolo C, non appartenente ad r.
Allora C non è allineato con i due punti A e B di r e le rette AC, BC e AB non sono concorrenti in un unico punto. Inoltre tale punto C individua con ognuno degli infiniti punti distinti di r, infinite rette distinte.
Due rette distinte dello spazio hanno al massimo un punto in comune. Infatti se avessero due punti in comune, esse coinciderebbero, in forza dell’A1, contro l’ipotesi che le vuole distinte. Perciò date due rette distinte r ed s dello spazio si presentano due eventualità:
a) hanno un solo punto A in comune: si dice che r ed s sono secanti, si tagliano, sono incidenti in A
b) non hanno alcun punto in comune e vengono chiamate parallele e sghembe.
PROPRIETA’ LINEARI DELLA RETTA. ASSIOMA DELL’ORDINE(A2)
1 - la retta è una linea aperta
a) dati due punti qualsiasi A o B di una retta orientata r, si verifica sempre che:
o i punti A e B coincidono
o il punto A precede il punto B, nel verso prefissato
o il punto B precede il punto A, nel verso prefissato
l’una eventualità escludendo l’altra.
Questa è la proprietà di tricotomia della relazione precedere.
In ogni terna di punti distinti di una retta orientata, uno e un solo di essi è compreso tra gli
altri due. Ogni retta passa una sola volta per ogni suo punto.
b) se tre punti A, B, C di una retta sono tali che il punto A precede il punto B e, a sua volta, B
precede C, allora A precede C
Questa è la proprietà transitiva della relazione precedere.
2 – la retta è densa
c) si dice che un punto B è compreso tra i punti A e C se esso segue A e precede C.
E’ allora intuitivo che fra due punti di una retta orientata è sempre compreso un terzo punto e quindi infiniti.
3 – la retta è illimitata
d) se a partire da un punto qualsiasi di una retta orientata, procediamo in ciascuno dei due
versi è intuitivo che non incontreremo mai un ultimo punto. Non esiste perciò sulla retta in
ciascun verso né un primo né un ultimo punto. Quindi dato un punto qualsiasi esiste sempre
un punto che lo segue e uno che lo precede.
Tutte queste proprietà vengono riassunte nell’A2
Ogni retta è dotata di due versi naturali, uno opposto all’altro, rispetto ai quali è aperta, densa e illimitata.
ASSIOMA DI APPARTENENZA DEL PIANO(A3)
Esistono sottoinsiemi propri infiniti dello spazio, detti piani, che godono delle seguenti proprietà:
a) per ogni terna di punti non allineati dello spazio esiste uno e un solo piano che li contiene
b) se una retta ha due punti in comune con un piano essa è inclusa nel piano.
Si dice che tre punti non allineati A, B, C individuano un piano il quale passa per i tre punti A, B ,C.
Passiamo alle conseguenze dell’A3
C1) per una retta r e per un punto P non appartenente ad r, passa uno e un solo piano, cui entrambi appartengono.
Infatti due punti della retta e il punto P formano una terna di punti non allineati per i quali(A3a) passa uno e un solo piano.
Questo piano contiene oltre al punto P anche tutta la retta r(A3b).
C2) per due rette incidenti passa uno e un solo piano.
Il punto di incidenza più altri due punti, uno su una retta e uno sull’altra, formano una terna di punti non allineati per i quali(A3a) passa uno e un solo piano, che contiene le sue rette(A3b).
Punti e rette appartenenti al medesimo piano si dicono complanari.
Le rette incidenti danno infine origine alla seguente definizione: si chiama fascio di rette incidenti l’insieme di tutte le rette di un piano passanti per uno stesso punto.
Il punto A si dice punto o sostegno del fascio. E’ evidente che il piano contiene infinite rette, è denso ed è illimitato in ogni verso.
ASSIOMA DI PARTIZIONE DEL PIANO(A4)
Ogni retta r di un piano divide l’insieme degli ulteriori suoi punti in due parti non vuote, tali che:
a) se i punti A e B appartengono a parti opposte allora il segmento AB taglia la retta r in un punto
b) se i punti C e D appartengono alla stessa parte allora anche il segmento CD è incluso in questa.
Si chiama semipiano la figura costituita da una di queste due parti e dalla retta r. Il bordo r viene anche detto contorno; i punti di un semipiano non appartenenti al contorno r, si dicono interni al semipiano; due semipiani diversi aventi lo stesso bordo r si dicono opposti fra loro; due punti interni a semipiani opposti si dicono situati da parti opposte rispetto al bordo.
ASSIOMA DELLE ISOMETRIE DEL PIANO(A5)
Esistono delle particolari corrispondenze biunivoche fra i punti di uno stesso piano, dette isometriche, e caratterizzate dalle seguenti proprietà:
a) - ogni figura è isometrica a se stessa(proprietà riflessiva)
- se una figura è isometrica a un’altra, questa è isometrica alla prima(proprietà simmetrica)
- se una figura è isometrica a una seconda figura, e questa è isometrica a una terza, allora anche la prima è isometrica alla terza(proprietà transitiva)
b) Ogni isometria trasforma:
- una retta in una retta;
- una semiretta in una semiretta con le rispettive origini corrispondenti;
- un semipiano in un semipiano con i rispettivi bordi corrispondenti.
c) Tutte le rette sono isometriche tra loro; tutte le semirette sono isometriche tra loro, tutti
i semipiani sono isometrici tra loro
d) ASSIOMA DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI. – Per ogni segmento AB ed ogni semiretta r di
origine O, esiste uno e un solo punto M di r, tale che: AB isometrico OM
e) ASSI0MA DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI. – Siano dati un qualsiasi angolo ab e un qualsiasi
semipiano sul cui bordo sia prefissata una semiretta arbitraria c. Esiste sul semipiano considerato una e una sola semiretta d tale che: ab isometrico cd
f) ASSIOMA DELL’INVERTIBILITA’ DEI SEGMENTI. – Per ogni segmento AB esiste un’isometria che trasforma AB in se stesso, ma il punto A vada in B e il punto B in A
g) ASSIOMA DELL’INVERTIBILITA’ DEGLI ANGOLI. – Per ogni angolo AOB esiste un’isometria che trasforma AOB in se stesso, ma il lato OA vada nel lato OB e il lato OB nel lato OA.
Dalla proprietà a) dell’assioma A5 segue che:
- il composto di due isometrie è un’isometria ed equivale a dire che la relazione essere isometrico è transitiva
- la legge di composizione tra isometrie è associativa
- l’identità è l’isometria neutra
- ogni isometria ammette l’isometria inversa ed equivale a dire che la relazione essere isometrico è simmetrica
L’insieme delle isometrie è un gruppo, rispetto alla legge di composizione tra isometrie.
Dalla proprietà b) dell’assioma A5 si deduce che ogni isometria trasforma:
-punti allineati in punit allineati e punti non allineati in punti non allineati
-semirette opposte in semirette opposte con le rispettive origini corrispondenti
-semipiani opposti in semipiani opposti con i rispettivi bordi corrispondenti
-un segmento in un segmento con gli estremi corrispondenti
-un angolo in un angolo con i lati corrispondenti
Dai principi del trasporto si ha:
-un segmento non può essere isometrico ad una sua parte propria
-un angolo non può essere isometrico ad una sua parte propria
Dati due segmenti adiacenti AB e BC, il segmento AC (di cui B è un punto interno) si dice la somma dei due dati segmenti e si scrive: AC = AB + BC
Somme di segmenti adiacenti, rispettivamente isometrici, sono isometriche
Somme di angoli consecutivi rispettivamente isometrici sono isometriche
ASSIOMA DI EUDOSSO-ARCHIMEDE
Dati due segmenti non nulli, esiste sempre un multiplo dell’uno che supera l’altro.
ASSIOMA DELLA DIVISIBILITA’ DEI SEGMENTI
Ogni segmento è divisibile, in modo unico, in un numero intero positivo qualunque sia n di parti tra loro uguali.
SEMIRETTE
SEMIRETTE
Sia data una retta orientata r e sia O un qualsiasi suo punto.
Si chiama semiretta di origine O l’insieme costituito dal punto O e da tutti i punti di r che precedono oppure seguono O nel verso prefissato.
Vi sono dunque sulla retta due semirette di origine O le quali si dicono una opposta dell’altra.
Si dice anche che l’una è il prolungamento dell’altra. La retta si dice sostegno delle proprie semirette. Se B è compreso tra A e C, ciò equivale a dire che A e C appartengono a semirette opposte di origine B.
SEGMENTI
SEGMENTI
Siano A e B due punti distinti di una retta orientata r.
Si chiama segmento di estremi A e B l’insieme costituito dai punti A e B e dai punti della retta orientata AB compresi tra A e B.
Ricordando che fra due punti di una retta sono compresi infiniti punti diciamo che i punti di un segmento sono infiniti.
I punti interni di un segmento sono quelli delle retta orientata AB che seguono A e precedono B oppure, nel verso opposto, quelli che seguono B e precedono A.
Il segmento AB è l’intersezione delle due semirette AB e BA, di origine, rispettivamente, A e B.
Si chiama segmento nullo ogni segmento i cui estremi coincidono e che, quindi, è privo di punti interni. Si indica con AA, BB…
Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune soltanto un estremo.
Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e giacciono su una stessa retta.
Dato che la scrittura AB può significare la retta AB, la semiretta AB, il segmento AB è più opportuno scrivere indicando se si sta parlando di una retta, semiretta, segmento.
CONFRONTO TRA SEGMENTI
Si dice che un segmento a è minore di un altro segmento b, se a è isometrico a una parte di b. Si dice anche che b è maggiore di a, e si scrive: a < b o anche b > a
Dati due segmenti a e b si presenta sempre uno e uno solo dei segmenti tre casi:
a è isometrico b; a < b; a > b
I due segmenti sono isometrici, o a è isometrico a una parte di b, oppure b è isometrico ad una parte di a.
Quando due segmenti sono isometrici, si dice che hanno la stessa lunghezza.
ADDIZONE TRA SEGMENTI
Si chiama somma di due segmenti ogni segmento costituito da due segmenti adiacenti e isometrici a quelli dati.
Proprietà
1) commutativa
2) associativa
3) qualunque sia il segmento a risulta: a + 0 = a dove 0 è il segmento nullo
4) somme di segmenti qualsiasi rispettivamente isometrici, sono isometriche; cioè se è
a isometrico ad a1 e b isometrico a b1 allora a + b = a1 + b1
5) aggiungendo a segmenti diseguali lo stesso segmento si ottengono segmenti diseguali nello
stesso senso
6) è possibile addizionare membro a membro disuguaglianze dello stesso senso, ottenendo una
disuguaglianza nello stesso senso.
DIFFERENZA TRA SEGMENTI
Si chiama differenza tra due segmenti a e b, con a > b, quel terzo segmento c che addizionato a b dà per somma a.
Se poi i due segmenti sono isometrici si dice per definizione che la loro differenza è il segmento nullo.
MULTIPLI DI UN SEGMENTO
Si chiama multiplo del segmento a, secondo il numero naturale n > 1, la somma di n segmenti isometrici ad a, e si scrive: n * a = a + a + a + a + a + a
n volte
Si dice poi che il multiplo di a secondo il numero 1, è il segmento a stesso; cioè si pone: 1 * a = a
Infine, si chiama multiplo del segmento a, secondo il numero 0, il segmento nullo; cioè si pone
0 * a = 0
SOTTOMULTIPLI DI UN SEGMENTO
Si chiama sottomultiplo del segmento , secondo il numero naturale n > 1, ognuno dei segmenti che si ottengono dividendo b in n parti uguali.
a = 1 / n * b a = b / n n * (1 / n * b) = b
Dato un segmento AB esiste uno e un solo punto O interno ad AB tale che OA sia isometrico ad OB. Questo punto si chiama centro o punto medio del segmento.

ANGOLI
Consideriamo sul piano due semirette OA e OB, aventi la stessa origine O; esse dividono il piano in due parti ciascuna delle quali si chiama angolo.
Si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da de semirette aventi la stessa origine, incluse queste due semirette.
Le due semirette, appartenenti ad ambedue gli angoli, si chiamano lati dell’angolo e l’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo.
I due lati costituiscono il contorno di ciascuno dei due angoli determinati dalle due semirette.
Un punto di un angolo, non appartenente al contorno, si dice interno all’angolo, mentre i punti del piano che non appartengono all’angolo si dicono esterni.
Per indicare un angolo di lati OA e OB si usa scrivere ponendo in mezzo la lettera che rappresenta il vertice, con sopra il segno di angolo.
Consideriamo i due angoli individuati da due semirette non opposte:
un angolo si dice convesso quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei lati;
un angolo si dice concavo quando contiene al suo interno i prolungamenti dei lati.
PROPRIETA’ DEGLI ANGOLI CONVESSI
Siano r e s due rette incidenti nel punto O contenenti rispettivamente i lati OA e OB dei due angoli AOB. Si osservi che l’angolo convesso AOB si può interpretare come l’intersezione del semipiano di bordo s contenente il lato OB con il semipiano di bordo r e contenente il lato OA.
Proprietà fondamentale:
a) un angolo convesso è l’intersezione di due semipiani con i bordi incidenti nel vertice dell’angolo
b) un angolo convesso è una figura convessa, infatti è l’intersezione di due semipiani che sono due figure convesse
c) il segmento che congiunge un punto interno ad un lato di un angolo convesso con un punto interno all’altro lato, appartiene completamente all’angolo(corda)
d) due rette r ed s che si tagliano in un punto O dividono il piano in quattro angoli convessi;
ciò dipende dal fatto che due semirette distinte, non opposte e aventi la stessa origine individuano uno e un solo angolo convesso
Si dice che due angoli sono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
e) se un segmento ha gli estremi sui due lati di un angolo convesso, ogni semiretta che dal vertice va a un punto di questo segmento, appartiene all’angolo; e viceversa ogni semiretta uscente da O e interna all’angolo, incontra questo segmento in uno e in un solo punto.
ANGOLO PIATTO, GIRO, NULLO. ANGOLI CONSECUTIVI E ADIACENTI
Si chiama angolo piatto l’angolo i cui lati sono semirette opposte.
Si chiama angolo giro l’angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che comprende tutti i punti del piano.
Si chiama angolo nullo l’angolo i cui lati sono coincidenti e che non ha alcun punto interno.
Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune i vertici e soltanto un lato.
Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono l’uno il prolungamento dell’altro, cioè sono semirette opposte.
Due angoli distinti con i lati in comune si dicono esplementari.
CONFRONTO E OPERAZIONI TRA ANGOLI
Si dice che un angolo ab è minore di un altro angolo cd, se ab è isometrico a una parte di cd. Si dice anche che cd è maggiore di ab e si scrive: ab < cd oppure ab > cd
1) è possibile trasportare i due angoli dati in due angoli consecutivi
2) è possibile trasportare i due angoli dati in due angoli esplementari
3) non è possibile trasportare i due angoli dati né in due angoli consecutivi, né in due angoli esplementari(per esempio due angoli concavi).
Si chiama somma di due angoli ogni angolo, se esiste, costituito da due angoli consecutivi esplementari, rispettivamente isometrici ai due angoli dati.
Si chiama differenza di due angoli diseguali ogni angolo che addizionato al minore dà per somma il maggiore.
Se poi due angoli sono isometrici si dice, per definire, che la loro definizione è l’angolo nullo.
1) l’addizione tra angoli gode delle proprietà commutativa e associativa
2) la somma di un qualsiasi angolo con l’angolo nullo è l’angolo stesso
3) somme e differenze di angoli isometrici sono, rispettivamente, isometriche
4) aggiungendo ad angoli diseguali lo stesso angolo si ottengono angoli diseguali nello stesso senso
5) è possibile addizionare membro a membro disuguaglianze dello stesso senso, ottenendo una disuguaglianza nello stesso senso.
Si chiama multiplo dell’angolo convesso A secondo il numero naturale n > 1, la somma di n angoli isometrici ad A e si scrive: n * A = A + A + A + A + A + A
n volte
Si dice che il multiplo di A secondo il numero 1 è l’angolo A stesso; cioè si pone: 1 * A = A
Infine si chiama multiplo dell’angolo A il secondo numero 0, l’angolo nullo.
La determinazione del multiplo n * A si chiama moltiplicazione dell’angolo A per il numero naturale n.
Si chiama sottomultiplo dell’angolo A, secondo il numero naturale n > 1, ognuno degli angoli che si ottengono dividendo A in n parti uguali.
Ognuno di tali sottomultipli si indica con: 1 / n * A
Quando si trova il sottomultiplo di un angolo secondo il numero naturale n, si dice che si fa la divisione di un angolo per il numero n. B = m / n * A
Dato un angolo qualsiasi è sempre possibile determinare il suo sottomultiplo secondo un qualunque numero intero n.
Per ogni angolo AOB esiste una e una sola semiretta OM interna all’angolo tale che:
AOM è isometrico MOB
ANGOLO RETTO, ACUTO, OTTUSO. ANGOLI CONSECUTIVI E SUPPLEMENTARI
La bisettrice di un angolo piatto individua due angoli isometrici, detti angoli retti; si chiama angolo retto la metà di un angolo piatto.
1) un angolo si dice acuto quando è minore di un angolo retto
2) un angolo si dice ottuso quando è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto
3) due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto
4) due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto
Quindi:
5) due angoli complementari sono sempre acuti
6) due angoli adiacenti sono sempre supplementari
Angoli supplementari di angoli isometrici sono isometrici.
Siano infatti B e C due angoli supplementari di angoli isometrici A isometrico A1
Se P è l’angolo piatto si ha per definizione: A + B = P A1 + C = P
B = P – A C = P – A1
e poiché differenze di angoli isometrici sono isometriche risulta B isometrico C
Due angoli opposti al vertice sono isometrici: sono entrambi supplementari dello stesso angolo.
Due angoli complementari di uno stesso angolo sono tra loro isometrici.
FIGURE CONVESSE
Si chiama figura piana convessa ogni sottoinsieme non vuoto F del piano che gode della seguente proprietà: se due punti distinti, A e B, appartengono ad F, il segmento AB è incluso in F.
Il piano, ogni retta, ogni semiretta, ogni segmento e ogni semipiano, sono figure convesse.
L’intersezione di due o più figure convesse non disgiunte è una figura convessa.
L’unione di due figure convesse non è in generale una figura convessa.
TRIANGOLI
Fissiamo sul piano tre punti qualsiasi non allineati A, B, C e sia ACB l’angolo convesso di vertice C e di lati AC e BC. Il segmento AB divide l’angolo ACB in due parti di cui una contiene C e l’altra è dalla parte opposta di C rispetto alla retta AB e si estende indefinitamente. La prima di queste due parti si chiama triangolo perché è una parte del piano inclusa non soltanto nell’angolo ACB, ma anche negli angoli convessi ABC e CAB.
Dati tre punti non allineati A, B, C, si chiama triangolo ABC la figura costituita dall’intersezione dei tre angoli convessi ABC, BCA, CAB, ciascuno dei quali ha per vertice uno dei punti dati e ha i lati passanti per gli altri due.
Il triangolo è la parte di piano limitata da tre punti A, B, C, non allineati e dai segmenti che li congiungono a due a due.
I tre punti A, B, C, si chiamano vertici del triangolo.
Un vertice e un lato si dicono opposti quando il vertice non appartiene al lato. Ai vertici A, B, C sono rispettivamente opposti i lati BC, AC, AB.
Un lato e un angolo il cui vertice appartiene al lato si dicono adiacenti.
Siccome il triangolo è l’intersezione di tre angoli convessi e l’intersezione di più figure convesse è ancora una figura convessa. Ogni triangolo è una figura convessa.
Si chiama angolo esterno di un triangolo ogni angolo adiacente ad un solo angolo interno.
TRIANGOLI ISOMETRICI
La definizione di isometria tra figure piane applicata ai triangoli si enuncia nel modo seguente:
due triangoli sono isometrici quando esiste un’isometria che trasporta uno sull’altro.
Due vertici o due lati o due angoli che si corrispondono nell’isometria si dicono corrispondenti.
Due triangoli isometrici hanno isometrici i lati e gli angoli corrispondenti cioè i sei elementi fondamentali corrispondenti.
Per potere asserire che due triangoli sono isometrici non è necessario verificare che tutti i sei elementi fondamentali dell’uno siano rispettivamente isometrici ai sei elementi corrispondenti dell’altro.
Basta verificare l’isometria di tre soli elementi corrispondenti dei tre triangoli dei quali però uno deve essere sempre un lato.
Un triangolo è individuato dai suoi vertici; cioè due triangoli coi medesimi vertici hanno i medesimi lati(per il secondo criterio) e i loro punti interni coincidono: sono cioè triangoli eguali.
TRIANGOLI ISOSCELI
Un triangolo si dice isoscele se ha due lati isometrici.
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono isometrici.
Un triangolo avente due angoli isometrici è isoscele.
Un triangolo si dice equilatero se ha tutti i lati isometrici fra loro.
Dunque un triangolo equilatero è isoscele rispetto a ciascuno dei suoi lati:
a) un triangolo equilatero è anche equiangolo
b) un triangolo equiangolo è anche equilatero.
TRE CRITERI
1) Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso, rispettivamente, isometrici, allora sono isometrici
2) Se due triangoli hanno un lato e i due angoli adiacenti rispettivamente isometrici, allora sono isometrici
3) Se due triangoli hanno i tre lati rispettivamente isometrici, allora sono isometrici