Esponenziali

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
Voto:	2.5 (2)
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Data:	20.09.2001
Numero di pagine:	2
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Promemoria per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali(1)
1. Equazioni
Nel caso delle equazioni si possono presentare fondamentalmente 2 casi: i membri sono riducibili a potenze aventi la stessa base oppure no.
es: = 1/4
Qui 1/4 può essere scritto come ; quindi i due membri verranno ad avere la stessa base. In questo caso basta eguagliare gli esponenti: x – 1 = - 2, ossia x = - 1.
Es: =
Poiché 9 = 3², i membri dell’equazione vengono ad assumere nuovamente la stessa base; eguagliando gli esponenti viene fuori un’equazione di secondo grado in x,
x² - 4, che ha naturalmente come radici 2 e –2.
Es: = 1
L’equazione si può trasformare in = 7º. Eguagliando gli esponenti viene fuori una equazione irrazionale di secondo grado, che non ammette soluzioni nell’ambito dei numeri reali.
Es: = 0
In questo caso non è possibile ridurre i due membri alla stessa base; tuttavia si può applicare un opportuno cambio di variabile. Ponendo t = l’equazione diventa t² - 9t + 20 = 0, le cui soluzioni sono t1 = 4 e t2 = 5; si ottiene = 4, da cui x1 = 2, e = 5, da cui x2 = log25(2).
2. Disequazioni
Nel caso delle disequazioni, valgono le stesse regole: si cerca di ridurre alla stessa base i due membri, oppure, quando ciò risulta impossibile, cambiare la variabile; tuttavia è necessario prestare particolare attenzione alla base a della potenza.
Nel caso in cui 0 < a < 1, cambia il verso della disequazione;
Nel caso in cui a > 1, il verso rimane invariato.
Es: > 4
La disequazione si può scrivere come = 2². Sarà quindi –x – 9 > 2, ossia x > 11
In realtà qualsiasi disequazione del primo tipo (con 0 < a < 1) può essere ricondotta ad una con base maggiore di 1 attraverso piccoli accorgimenti (basta infatti ricordare che 1/a = ); tuttavia è bene ricordare tale distinzione, in quanto nei logaritmi sarà di estrema importanza.
Es:
Più complesso apparentemente è questo caso: tuttavia basta risolvere il falso sistema dato dalle equazioni della frazione, ponendo numeratore e denominatore maggiori di zero e prendendo alla fine i valori discordi.
La prima si riduce a | x + 2 | > 1, da cui x > -1 U x < - 3; la seconda, ricordando che = , si trasforma in x > 1/2. Le radici saranno quindi x < -3 U –1 < x < 1/2.
3. Conclusioni
Mi sono limitato qui ad esporre le tipologie più frequenti di equazioni e disequazioni esponenziali: tuttavia ne ho tralasciato 1, che richiede la conoscenza dei logaritmi e che comunque, per la sua “pedanteria” ed inutilità, compare raramente nei manuali di matematica. Consiglio vivamente di tenere sotto mano le equazioni e disequazioni irrazionali, fratte e coi valori assoluti, in modo tale da acquisire una certa dimestichezza di calcolo che permetta di affrontare senza problemi questi argomenti.
(1) Si presuppone che si conosca la definizione di equazione e disequazioni esponenziali e che si abbia una minima padronanza di calcolo con le potenze.
(2) Tale scrittura significa, detto semplicisticamente, che x è l’esponente da dare a 2 per avere 5
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