Equazioni di primo grado

Materie:	Appunti
Categoria:	Matematica
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Data:	20.11.2001
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EQUAZIONI DI 1° GRADO

Considereremo espressioni letterali in cui figura soltanto una lettera che chiameremo x. Essa è l'incognita, cioè il valore da scoprire perché il primo membro sia uguale al secondo. Vedremo meglio in seguito il significato di queste espressioni che chiameremo equazioni di 1° grado a una incognita.

Principi di equivalenza

Cerchiamo di risolvere questo problema: in un bar ci sono in tutto 30 posti a sedere, suddivisi tra sgabelli, come quelli raffigurati, con tre piedi, e sedie, per un totale di 115 piedi. Quante sono le sedie, quanti gli sgabelli? Si tratta di trovare il modo opportuno per esprimere in termini matematici la differenza tra sedie e sgabelli, e il loro numero.
La prima cosa che facciamo è di scegliere se indicare con la lettera x il numero delle sedie o quello degli sgabelli. Scegliamo di indicare con x, cioè l'incognita, il numero delle sedie. Sommando il numero delle sedie e degli sgabelli, dobbiamo ottenere, e ce lo dice il problema, il numero 30, che e il totale dei posti a sedere. Se x è il numero delle sedie, 30-x sarà il numero degli sgabelli. E' infatti facile verificare che x+(30-x) = 30 (basta semplificare eliminando la x). Il problema ci dice che il numero totale dei piedi è 115; è attraverso il numero dei piedi che dobbiamo determinare quante sono le sedie e quanti gli sgabelli. Ora una sedia ha 4 piedi, poiché x indica il numero delle sedie, 4x (che si legge «quattro per x») indica il numero dei piedi delle sedie; se 30-x indica il numero degli sgabelli e uno sgabello ha tre piedi, 3•(30-x) indica il numero dei piedi degli sgabelli; la loro somma deve dare 115. Scriviamo allora 4x+3•(30-x) = 115: abbiamo sintetizzato il nostro problema in quella equazione.
Eseguiamo ora le operazioni: 4x+90-3x = 115. Portiamo al primo membro tutte le espressioni contenenti l'incognita x, portando invece al secondo membro tutti quei termini che sono solo numerici: 4x-3x = 115-90. Eseguiamo le operazioni e otteniamo (4-3)x = 25, cioè 1x = 25, e quindi x = 25. Abbiamo così trovato il numero delle sedie. Per trovare il numero degli sgabelli, nell'espressione 30-x basta sostituire 25 al posto di x, ottenendo 30-25 = 5. Ci sono perciò 5 sgabelli.

Per provare che abbiamo trovato il risultato giusto, basta sostituire all'incognita il suo valore, cioè 25, nell'intera equazione. Si ha così: 4•25+3•(30-25) = 100+15 = 115. Il risultato è corretto.
Abbiamo proposto e risolto questo problema per illustrare il significato delle equazioni nel loro uso concreto. La ragione per cui la lettera x è chiamata incognita è ormai chiara. Infatti abbiamo visto che essa va determinata usando tutte le informazioni che il problema ci dà. I termini che non contengono l'incognita si dicono termini noti.
L'equazione da noi considerata è di primo grado: infatti per grado di un'equazione si intende l'esponente massimo col quale compare l'incognita. Nel nostro esempio era come se x fosse elevato all'esponente 1, cioè x1= x.

Il valore assunto da x si chiama radice o soluzione dell'equazione.

Abbiamo visto che un'uguaglianza letterale era verificata per ogni valore numerico delle lettere; non è così per le equazioni e ora lo faremo vedere Se nella nostra equazione poniamo x = 1 l'uguaglianza non vale più: infatti 4+3•(30-1) = 91, e 91 è diverso da 115.
Risolviamo un'altra equazione, facendo osservare le proprietà che entrano in gioco. Trovare il valore di x per cui si abbia 2x-3 = 5-6x

1° Portiamo al primo membro i termini che contengono l'incognita e al secondo membro i termini noti. L'equazione diventa 2x+6x = 5+3
2° Riduciamo i termini. Si ottiene 8x = 8.
3° Dividiamo i due membri per lo stesso numero, cioè per il coefficiente dell'incognita. L'equazione diventa x = 8/8 = 1. Concludiamo che l'uguaglianza vale per x = 1, ovvero che la radice dell'equazione è 1.

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Consideriamo l'equazione - - x + 4 = - x - 6.
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In essa figurano frazioni; allora si trova il m.c.m. dei denominatori, e si ha -3x+36/9 = -2x-54/9.
A questo punto si applica la regola II, moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m., che quindi sparisce. Questa operazione si chiama eliminazione del denominatore. Ora l'equazione è ridotta a un'equazione con coefficienti interi:-3x+36 = -2x-54, che diventa -x = -90. A questo punto possiamo passare a calcolare il valore di x positivo, moltiplicando entrambi i membri per -1 in virtù della regola II e ricordando le regole sui segni. Concludiamo che x = 90. Per ultimo compiamo la verifica: -1/3•90+4 = -2/9•90-6, che, opportunamente semplificata, diventa -26 = -26.
Come coefficienti della x, in continuità con quanto abbiamo fatto a proposito delle espressioni, prendiamo elementi di Q, cioè i numeri razionali relativi; operando una restrizione, considereremo solo radici appartenenti a Q; vogliamo però qui accennare al fatto che ci sono equazioni a coefficienti razionali che non hanno radici razionali.

Le equazioni che ammettono soluzione si dicono determinate.

Ma non tutte le equazioni sono determinate. Consideriamo ad esempio 2x+4 = 2•(x+1). Essa diventa 2x+4 = 2x+2, cioè 2x-2x = 2-4, (2-2)x = -2, 0•x = -2, x = -2/0. Ora sappiamo che non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia -2. Quindi una tale equazione si dice impossibile.

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Consideriamo ancora l'equazione - x -4 = - *(x-6)+3x-1.
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Essa diventa successivamente 7x-8 = x-6+6x-2,(7-7)x = 8-8, cioè 0x = 0,x = 0/0. Questa equazione è indeterminata, poiché x può essere qualsiasi numero; infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Poiché l'uguaglianza è verificata per ogni valore di x, essa è un'identità. Infatti se eseguiamo le operazioni al secondo membro otteniamo

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- x - 4 = - x - 4.
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Consideriamo un ultimo caso. Trovare i valori di x per cui vale l'uguaglianza 5x+6 = 2•(x+3). Eseguendo le operazioni e portando nel primo membro l'incognita otteniamo 3x = 0, cioè x = 0/3. E' subito chiaro che l'unico valore di x per cui 3x = 0 è proprio 0. Infatti esiste un solo numero che moltiplicato per qualsiasi altro diverso da 0 dà 0, e quel numero è proprio lo 0.