Analisi funzione: studio grafico

Materie:	Altro
Categoria:	Matematica
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Data:	30.05.2005
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Schema riassuntivo: I PASSI PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

0) Può darsi che il grafico della funzione f da studiare si possa ricavare con "manipolazioni" a partire dal grafico (già noto o comunque molto più facile da tracciare) di una funz. più semplice g.
Ad esempio, ciò avviene se f è della forma


• Bisogna comunque valutare se valga la pena di impostare un lavoro di questo tipo, tenendo conto della difficoltà delle manipolazioni; a volte, questo approccio "dà subito un'idea" - utilissima - dell'andamento della f, ricavato da quello della g, ma per la determinazione dei massimi, minimi ecc. sarà poi necessario ricorrere alle tecniche esposte ai punti successivi di questo schema.

1) Determinare il dominio D della funzione

2) Chiedersi se la funzione
• è pari: e quindi ha grafico simmetrico rispetto all'asse y
• dispari: e quindi ha grafico simmetrico rispetto all' origine
• oppure né pari né dispari

• Nel caso la funzione sia pari o dispari, nelle varie fasi dello studio potremo e dovremo tenere presente la simmetria riscontrata; potremmo addirittura decidere di studiare la funzione soltanto per e poi completarne il grafico per simmetria (la convenienza di procedere in questo modo dipende dalle nostre preferenze, e dalla particolare funzione di volta in volta considerata).

Chiedersi se la funzione è periodica;
in caso affermativo, basterà studiarla su di un intervallo di ampiezza T (essendo T il periodo).
• Ricordare comunque che, se ad es. si lavora sull’intervallo , sarà sempre conveniente, nei vari schemi, andare anche "leggermente a sinistra di 0" e "leggermente a destra di "

3) Determinare le intersezioni con gli assi

• Per l'eventuale intersezione con l'asse verticale si porrà x=0 (se, beninteso, l'ascissa 0 appartiene al dominio!) e si ricaverà il corrispondente valore di y

• Per le eventuali intersezioni con l'asse orizzontale si dovrà risolvere l'equazione f(x) = 0.

4) Studiare il segno della funzione mediante la disequazione f(x) > 0.

• Ricordare che, se la risoluzione di tale disequazione comporta l'utilizzo di uno schema, in tale schema converrà riportare anche gli eventuali confini finiti del dominio, ed eliminare subito, sbarrandole, le "parti dell’asse x dove la funzione non esiste".

5) Calcolare i limiti ai confini del dominio

• Così facendo si troveranno anche, se esistono, gli asintoti verticali ed orizzontali

• A volte (caso poco frequente), il dominio non ha un'interruzione nell'ascissa c, tuttavia si riscontra che la funzione è discontinua in c. E' chiaro che converrà allora chiedersi cosa accade alla f(x) quando x tende a c, da sinistra e da destra. Può darsi fra l'altro che, in questo modo, si trovi un altro asintoto verticale.

5’) Ricercare gli eventuali asintoti obliqui

• Osserviamo che, evidentemente, avrà senso ricercare un eventuale asintoto obliquo per la funzione y = f(x) soltanto se si è constatato che la funzione tende a infinito quando x tende a infinito.

• Ricordiamo ancora il Teorema sul quale si basa il procedimento di ricerca degli eventuali asintoti obliqui.

Teorema:
La retta obliqua y = mx + q è asintoto obliquo per la funzione y = f(x) se e solo se
a) esiste finito e diverso da zero il b) esiste finito il
Ricercare (utilissimo!) le eventuali intersez. del grafico con gli asintoti (obliqui od orizzontali).

6) Calcolare la derivata prima y’ = f ' (x). Poi:

a)
• Determinare il dominio D' della y '

Tale dominio D' potrebbe essere più ristretto del dominio D della funzione ; ciò significherebbe che in certi punti la funzione esiste, ma non è derivabile.
Eventuali punti di questo tipo sono sempre interessanti! Si potrà trattare di: flessi verticali, cuspidi, punti angolosi…

• Calcolare i limiti della y' quando x tende ai confini di D'

Da questi limiti si trarranno sempre indicazioni utili sull'andamento della funzione;
inoltre, se D' è più ristretto di D, si chiarirà in questo modo la natura dei punti in cui la y esiste ma non è derivabile.

b) Risolvere l'equazione f ' (x) = 0 per trovare i cosiddetti "punti stazionari"
( = punti in cui il grafico ha tangente orizzontale).

c) Studiare il segno della derivata prima con la disequazione f ' (x) > 0
stabilendo così gli intervalli in cui la funzione è

• crescente ( y ' > 0 implica retta tangente in salita, funzione crescente)
• decrescente ( y ' < 0 implica retta tang. in discesa, funz. decrescente)
e determinando i punti di massimo relativo e minimo relativo interni al dominio,
nonché i punti di flesso orizzontale (ascendente o discendente).

Se la risoluzione di tale disequaz. comporta l'utilizzo di uno schema, in tale schema converrà riportare anche gli eventuali confini finiti del dominio D' della derivata prima, chiedendosi "cosa succede" in corrispondenza di questi estremi:
• la derivata prima "diventa infinita"?
• la derivata prima "non esiste perchè derivata sinistra e destra sono distinte" (punto angoloso)?
• la derivata prima...

A volte la risoluzione della disequazione f ' (x) > 0 è troppo complicata. In tal caso, si può valutare se sia il caso di rinunciare a tale disequazione. Ricordiamo poi che, per l'analisi dei punti stazionari, esiste anche la risorsa del "metodo della derivata seconda o delle derivate successive".

7) Calcolare la derivata seconda y’’= f '' (x).

Risolvere l'equazione f '' (x) = 0.
Quest’ultima fornisce, in generale, le ascisse dei punti di flesso; ricordiamo però che
• non tutti i punti in cui si annulla la y” risultano poi di flesso;
• e, d’altra parte (caso non frequentissimo, ma possibile: basti pensare ai flessi verticali),
si possono avere pure dei flessi in cui la y’’ non si annulla.

Studiare il segno della derivata seconda, mediante la disequazione f '' (x) > 0.

Tale studio permetterà di stabilire gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa:

• y'' > 0 implica y' crescente, quindi y concava
• y'' < 0 implica y' decrescente, quindi y convessa

Ciò darà indicazioni utili sull'andamento della funzione e consentirà:

• di chiarire la natura di quei punti nei quali si annulla la derivata seconda
(questi possono essere di flesso, ma anche non esserlo);
• di determinare eventuali punti che risultano di flesso anche senza che in essi si annulli la y’’

• Se la risoluzione della disequazione f '' (x) > 0 comporta l'utilizzo di uno schema, in tale schema converrà riportare anche gli eventuali confini finiti del dominio D'' della derivata seconda, chiedendosi "cosa succede" alla y’’ quando x tende a ciascuno di questi estremi.

• A volte la risoluzione della disequazione f '' (x) > 0 è troppo complicata. In tal caso, si può valutare se rinunciare a tale disequazione.
Può talvolta essere conveniente, per la ricerca dei flessi non orizzontali, il "metodo delle derivate successive".

In corrispondenza dei punti di flesso a tangente non orizzontale, converrà calcolare il valore della derivata prima, per avere il coeff. ang. della tangente di flesso, e disegnare nel grafico "un pezzetto" di tale tangente di flesso, con l'inclinazione esatta, segnando accanto ad essa il valore del suo coefficiente angolare m.