Esercizi su i Vettori

Materie:	Altro
Categoria:	Fisica
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Data:	20.06.2005
Numero di pagine:	8
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

VETTORI
ESERCIZIO N° 1
Una persona cammina seguendo questo percorso: 3,1Km verso nord, poi 2,4Km verso ovest ed infine 5,2Km verso sud.
1) Costruire il diagramma vettoriale che rappresenta questo moto.
2) Quale distanza dovrebbe percorrere, ed in quale direzione, un uccello che voli in linea retta per raggiungere lo stesso punto di arrivo ?
SVOLGIMENTO
Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l’origine degli assi con il punto A di partenza del percorso:
y
C B
A x
D
Dai dati del problema si ha:
AB = 3,1 j BC = -2,4 i CD = -5,2 j
Il vettore AD è dato da:
AD = ADx + ADy
dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i = -2,4 i

ADy = (ABy + BCy + CDy) j = -2,1 j
Quindi AD = -2,4 i -2,1 j
AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 10,17 = 3,2 Km
La direzione si ricava da:
ADy
tg = = 0,875
ADx
da cui d = 221° rispetto all’orizzontale.
ESERCIZIO N° 2
Un’automobile viaggia per 50Km in direzione est, poi per 30Km in direzione nord e poi per 25Km in una direzione nord-est a 30° rispetto al nord.
1) Tracciare il diagramma vettoriale.
2) Determinare lo spostamento totale compiuto dall’automobile dal suo punto di partenza.
SVOLGIMENTO
Scegliamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l’origine degli assi con il punto A di partenza:
y
D
30°
C

A B x
Dai dati del problema si ha:
AB = (50Km) i
BC = (30Km) j
CD = [25sen(30°)] i + [25cos(30°)] j = 12,5 i + 21,65 j
Il vettore AD è dato da:
AD = ADx + ADy
dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i = (50 + 12,5) i = 62,5 i
ADy = (ABy + BCy + CDy) j = (30 + 21,65) j = 51,65 j
Quindi AD = 62,5 i + 51,65 j

AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 81 Km
Per la direzione
ADy
= arctg = 40°
ADx
ESERCIZIO N° 3
Un giocatore di golf in tre colpi riesce a mandare la sua palla nella buca. Il primo colpo sposta la palla di 12m verso nord, il secondo di 6m in direzione sud-est ed il terzo colpo di 3m in direzione sud-ovest.
Quale spostamento sarebbe stato necessario per mandare la palla nella buca al primo colpo ?
SVOLGIMENTO
Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in cui l’origine degli assi coincida col punto di partenza:
y
B
C
D

x
A
Lo spostamento necessario per mandare la palla in buca al primo colpo è rappresentato dal vettore:
AD = ADx + ADy
dove ADx = (ABx + BCx + CDx) i
ADy = (ABy + BCy + CDy) j
Dai dati del problema si ottiene:
AB = 12 j
BC = 6cos(45°) i – 6 sen(45°) j = 4,24 i – 4,24 j
CD = –3cos(45°) i –3sen(45°) j = –2,12 i –2,12 j
Da ciò si ricava:
AD = 2,12 i + 5,64 j
AD = (ADx)2 + (ADy)2 = 6m
Per la direzione:
ADy
y = arctg = 70° rispetto all’orizzontale.
ADx
ESERCIZIO N° 4
Un uomo desidera raggiungere una località situata a 3,4Km di distanza dal luogo dove attualmente si trova, in direzione nord-est con un angolo di 35° rispetto a nord. Egli si trova costretto però a percorrere strade che possono avere solo due direzioni: o nord-sud, oppure est-ovest. Qual è la minima distanza che l’uomo dovrebbe percorrere per raggiungere la destinazione ?
SVOLGIMENTO
Indichiamo con A il punto di partenza e con B quello di arrivo.
Fissiamo un sistema di riferimento bidimensionale in modo tale da far coincidere l’origine degli assi col punto A di partenza
y
B
ABy
35°
ABx
x
A
Il vettore AB (spostamento totale) può essere scomposto nella somma dei due suoi vettori componenti lungo i due assi, cioè:
AB = ABx + ABy
La minima distanza d sarà allora data dalla somma dei moduli dei due vettori componenti:
d = ABx + ABy = ABsen(35°) + ABcos(35°) = 3,4∙0,57 + 3,4∙0,82 = 4,72Km
ESERCIZIO N° 5
Due vettori a e b hanno lo stesso modulo di 10 unità. Essi sono orientati come in figura:
y
b 105°
a
30°
x
Trovare:
a) le componenti del loro risultante r secondo i due assi x e y;
b) il modulo di r ;
c) l’angolo l che r forma con l’asse x.
SVOLGIMENTO
Si ha, per le componenti:
r = a + b = rx i + ry j
rx = ax + bx = a∙cos(30°) + b∙cos(135°) = 1,59
ry = ay + by = a∙sen(30°) + b∙sen(135°) = 12,07
Per il modulo
r = (rx)2 + (ry)2 = 12,17
Per l’angolazione
ry
y = arctg = 82,5° rispetto all’orizzontale.
rx
ESERCIZIO N° 6
Tre vettori sono dati da:
A = 3 i + 3 j –2 k
B = –i –4 j +2 k
C = 2 i + 2 j + k
Trovare:
a) A∙(B x C)
b) A∙(B + C)
c) A x (B + C)
SVOLGIMENTO
Ricordiamo che dati due vettori A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk allora risulta:
A∙B = AxBx + AyBy + AzBz
e
A x B = i(AyBz – AzBy) + j(AzBx – AxBz) + k(AxBy – AyBx)
Quindi per rispondere al quesito a) ricaviamoci prima B x C:
B x C = –8 i + 5 j + 6 k
Posto ora B x C = D si ottiene:
A∙D = AxDx + AyDy + AzDz = – 24 + 15 – 12 = – 21
Per il quesito b):
B + C = i –2 j + 3 k
e quindi
A∙(B + C) = 3 – 6 – 6 = – 9
Per il quesito c) posto B + C = D si ha:
A x D = i(AyDz – AzDy) + j(AzDx – AxDz) + k(AxDy – AyDx) = 5 i –11 j –9 k
ESERCIZIO N° 7
Un vettore ha modulo unitario (versore); gli angoli che esso forma con i tre assi x, y, z di una terna cartesiana ortogonale sono tra loro uguali.
1) Trovare i coseni direttori della direzione del vettore.
2) Trovare le componenti cartesiane del vettore.
SVOLGIMENTO
Indichiamo con u il versore, e con IIIIIII gli angoli che il versore forma con gli assi x, y, z rispettivamente cosicché
u u (cos cosc , cos )
Siano inoltre i, j, k i versori degli assi x, y, z, i cui coseni direttori sono
i (1 0 , 0 )
j (0 , 0 )
k (0 0 , 1 )
Si ha allora
u ∙ i = cos
u ∙ j = cos
u ∙ k = cos
Poiché gli angoli formati dalla direzione di u con gli assi sono uguali, abbiamo
cosc = cos = cos
La proprietà di ortogonalità dei coseni direttori
cos22 + cos22 + cos22 = 1
diventa dunque
3cos22 = 1
da cui deriva
1
cosc = ±
3
ESERCIZIO N° 8
Due vettori a e b hanno come componenti a D (1,1,1) , b (1,0,1). Calcolare
1) il modulo di ciascun vettore;
2) il prodotto scalare tra i due vettori;
3) l’angolo formato dai due vettori.
SVOLGIMENTO
Poiché il modulo di un vettore è dato da:
v = vx2 + vy2 + vz 2
allora
a = 3 b = 2
Il prodotto scalare fra i due vettori è
a ∙ b = axbx + ayby + azbz = 2
Per conoscere l’angolo formato dai due vettori possiamo utilizzare la definizione di prodotto scalare tra due vettori:
a ∙ b = abcosa
da cui
a ∙ b 2
cosc = = = 0,816
ab 6
Da ciò si ottiene quindi:
D = 35° 18’ 49’’
che espresso in radianti sarebbe:
= 0,616 rad.

ESERCIZIO N° 9
Due vettori a e b hanno come componenti a D (1,1,1) , b (2,0,1).
Detto c il prodotto vettoriale fra i due vettori, trovare:
1) Le componenti cartesiane di c.
2) Il modulo di c.
3) L’angolo fra i due vettori a e b.
SVOLGIMENTO
Il prodotto vettoriale di due vettori può essere scritto in termini delle componenti dei due vettori nel seguente modo:
c = a X b = ( i ax + j ay+ k az ) X ( i bx + j by+ k bz ) = i (aybz – azby) + j (azbx – axbz) + k (axby – aybz)
Le componenti cartesiane di c risultano quindi
cx = 1
cy = 1
cz = -2
Il modulo di c
c = cx2 + cy2 + cz2 = 6
Con la stessa formula calcoliamoci a e b per poter determinare l’angolo tra i due vettori.
a = 3 b = 5
Poiché
c = absenc
allora
c 6
= arcsen = arcsen = 39° 11’ 52’’ = 0,684 rad.
ab 15
ESERCIZIO N° 10
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz un punto P ha coordinate P (1,1,3) mentre una retta r ha coseni direttori , ,, ,. Trovare
1) modulo e componenti cartesiane del vettore OP;
2) le componenti di OP lungo la retta r e nel piano perpendicolare a tale retta.
SVOLGIMENTO
Le componenti cartesiane del vettore OP coincidono con le coordinate di P. Quindi
OP O (1,1,3)
Il modulo di questo vettore è OP = 11
Indicato con u un versore orientato come la retta r, le componenti di u sono i coseni direttori della retta, si ha cioè
u u ( , ,, ,)
r
OPn
OPr
P
O
La componente OPr di OP lungo la retta r è data da
OPr = OP ∙ u = + + 3
Il vettore OP risulta così decomposto in un componente OPr parallelo alla retta r ed in uno, OPn, normale alla stessa. Per il teorema di Pitagora:
OPr2 + OPn2 = OP2
La componente OPn è data quindi da
OPn = 11 – ( + + 3 )2
ESERCIZIO N° 11
Tre vettori a, b, c hanno le seguenti componenti a T (1,2,1) , b (2,4,0) , c , (3,6,1).
1) Provare che il modulo del prodotto a ∙ b X c è il volume del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori.
2) Esprimere in forma cartesiana tale prodotto.
3) Mostrare che esso è esprimibile per mezzo di un determinante.
4) Calcolare tale prodotto nel caso particolare suggerito giustificando a posteriori il risultato ottenuto.
SVOLGIMENTO
Il prodotto vettoriale b X c dà come risultato un vettore d perpendicolare al piano dei due vettori avente come modulo d = bcsen , essendo , l’angolo formato dai due vettori b e c.
Ma si ha che csenM è l’altezza DH del parallelogramma costruito sui due vettori:
D C
c
b
A H B
Il modulo bcsenI è quindi l’area di tale parallelogramma.
Il prodotto scalare
a ∙ d = adcos
essendo e l’angolo formato da a col vettore d

d

a
acos

c
b
Poiché acosP è la proiezione del vettore a sulla normale al piano individuato da b e da c, esso rappresenta l’altezza del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori. Ne segue dunque che il prodotto misto tra i tre vettori esprime il volume del parallelepipedo stesso.
Il prodotto vettoriale b X c può essere scritto come
i (bycz – bzcy) + j (bzcx – bxcz) + k (bxcy – bycz)
I coefficienti dei versori rappresentano le componenti cartesiane del vettore d e quindi:
a ∙ d = ax(bycz – bzcy) + ay(bzcx – bxcz) + az(bxcy – bycz)
Ma tale uguaglianza coincide proprio con il seguente determinante
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
Nel caso particolare proposto
1 2 1
a ∙ b X c = 2 4 0 = 0
3 6 1
Il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori è nullo, come poteva ricavarsi osservando che i tre vettori giacciono in un piano.