Caduta di un grave

Materie:Altro
Categoria:Fisica
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Data:21.05.2007
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Testo

Titolo: Studio del moto di caduta di un grave.
Scopo: Verificare la relazione esistente fra la distanza percorsa e il tempo impiegato. Dimostrare inoltre che il moto del grave è uniformemente accelerato.
Materiale usato: Apparecchio per la caduta dei gravi; cronometro elettrico che apprezza il centesimo di secondo; dispositivo di start; alimentatore c.c.; asta millimetrata con indici e stativo; flessibile (scatto).
Procedimento: Dopo aver controllato il funzionamento dell’alimentatore e del contasecondi abbiamo fissato il dispositivo di partenza del grave alla distanza stabilita e fissatoci il grave. Sono state fatte tre misure sul tempo impiegato dal grave per percorrere la distanza e questo procedimento è stato utilizzato per tutte le variazioni effettuate sulla distanza. Infine sono stati costruiti due grafici di cui il secondo di controllo.
Elaborazione dati:

Prova n.
∆S (cm)
I∆S (cm)
∆t1 (s)
∆t2 (s)
∆t3 (s)
∆t (s)
IA∆t (s)
1
10,0
0,1
0,14
0,13
0,15
0,14
0,01
2
20,0
0,1
0,20
0,19
0,20
0,20
0,005
3
30,0
0,1
0,24
0,25
0,26
0,25
0,01
4
40,0
0,1
0,28
0,20
0,29
0,29
0,005
5
50,0
0,1
0,32
0,31
0,32
0,32
0,005
6
60,0
0,1
0,35
0,36
0,35
0,35
0,005
7
70,0
0,1
0,39
0,37
0,38
0,38
0,01
8
80,0
0,1
0,42
0,41
0,41
0,41
0,005
Conclusioni e commenti: Per calcolare ∆t è stata fatta la media tra i tre valori ottenuti con le prove mentre per la sua incertezza è stata usata la formula (Vmax – Vmin)/2. Il primo grafico è stato disegnato con lo spazio sulle ordinate e il tempo sulle ascisse e il risultato è un ramo di parabola. Questo significa che la dipendenza tra lo spazio e il tempo è di proporzionalità quadratica ed infatti il grafico di controllo (con lo spazio sulle ordinate e t2 sulle ascisse) è una retta passante per l’origine. La costante di proporzionalità dei grafici è l’accelerazione (che sarebbe l’accelerazione gravitazionale = 9,8 circa), ottenuta, dalla regola del moto uniformemente accelerato s = ½ a*t2, dal doppio rapporto tra la distanza e il tempo al quadrato, mentre la sua incertezza è stata calcolata con la formula ( IR∆S + 2IR∆t )* a ( IR∆ è stata trovata con la formula IA∆t/t ):

1
2
3
4
5
6
7
8
a
(m/s2)
10,2
10,0
9,6
9,6
9,8
9,8
9,6
9,6
IA a (m/s2)
0,73
0,26
0,43
0,17
0,16
0,14
0,25
0,12
La velocità finale del grave nelle varie prove si trova con la regola del moto uniformemente accelerato v=a*t mentre la sua incertezza è stata trovata con la formula ( IRa + IR∆t )*v:

1
2
3
4
5
6
7
8
v
(m/s)
0,71
1,00
1,20
1,39
1,57
1,72
1,82
1,97
IA v (m/s)
0,57
0,29
0,56
0,26
0,28
0,26
0,50
0,26
La meccanica è quella parte della fisica che studia il movimento dei corpi, o le condizioni perché questi siano in equilibrio e si suddivide in cinematica (che descrive come si muovono gli oggetti), la dinamica (che si occupa delle cause del movimento) e la statica (che studia l’equilibrio degli oggetti). Il punto materiale è un oggetto molto piccolo rispetto all’ambiente circostante e perciò può essere considerato un semplice punto che si distingue però dal punto geometrico in quanto quest’ultimo non ha massa ed ha dimensioni nulle. Il sistema di riferimento è composto da tre assi cartesiani perpendicolari e un orologio connesso a questi rispetto al quale si studia il moto del tempo.

L’accelerazione è definita anche come accelerazione lineare, è la variazione della velocità di un corpo nell’unità di tempo. La velocità è una grandezza vettoriale, cioè specificata da intensità, direzione e verso; ne segue che un corpo possiede un’accelerazione non nulla, ovvero accelera, se varia l’intensità della velocità o la direzione del moto, oppure in generale se variano entrambe queste grandezze. Un oggetto non sottoposto a forze e libero di cadere sulla superficie terrestre possiede, per effetto della forza di gravità, un’accelerazione costante e diretta verso il basso. Supponiamo, invece, di legare un corpo all’estremità di una corda e di vincolarlo a muoversi con velocità costante lungo una traiettoria circolare, impugnando l’estremità libera; allora l’accelerazione è uniforme e diretta lungo la corda, verso il centro della circonferenza.

Accelerazione istantanea: poiché in generale non è detto che in ogni secondo (o in un tempo più piccolo) la velocità cambi esattamente di 2,4 m / s (o velocità inferiori in tempi inferiori) ma invece la velocità vada cambiando in un certo modo crescendo e diminuendo, si definisce la accelerazione istantanea, cioè la variazione di velocità del corpo in un intervallo di tempo dt estremamente piccolo, almeno concettualmente. Diremo quindi che la accelerazione istantanea a* è il rapporto fra la variazione dv* intervenuta, che non è detto che sia infinitesima, in un tempo infinitesimo e il tempo dt impiegato a percorrerlo, cioè:
a* = dv* / dt
Si dice che un oggetto decelera, cioè possiede un’accelerazione negativa, quando la sua velocità diminuisce nel tempo.
Perché un oggetto acceleri è necessario che a esso sia applicata una forza; in accordo col secondo principio della dinamica, inoltre, l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata; ad esempio un corpo in caduta libera sulla superficie terrestre accelera perché soggetto alla forza di gravità.
L’accelerazione angolare è definita come variazione della velocità angolare nell’unità di tempo e deve pertanto essere distinta dall’accelerazione lineare. La velocità angolare di un corpo che ruota è la misura in radianti al secondo della rapidità di rotazione intorno a un fissato asse. Un cambiamento della velocità di rotazione o della direzione dell’asse dà luogo a una variazione della velocità angolare e quindi a un’accelerazione angolare diversa da zero.
Ogni corpo è soggetto alla forza di attrazione gravitazionale della Terra, che tende a farlo cadere verso il basso quando non è controbilanciata da qualche altra forza.
Analizziamo la situazione di un corpo sospeso in aria ad una certa altezza h dal suolo.
Su questo agisce la sola forza peso P (d'ora in poi nel testo le grandezze vettoriali verranno scritte in grassetto), che sappiamo essere uguale, per altezze non troppo grandi, a:
P = mg
Dalla Seconda Legge della dinamica di Newton ricaviamo che l'accelerazione di un qualsiasi corpo che cade è indipendente dalla sua massa e vale:
F = ma → a = F/m = mg / m = g
Quindi, dalle leggi del moto uniformemente accelerato ricaviamo le leggi orarie del moto di caduta del corpo:
a = g
v = v0 – gt
h = h0 + v0t – ½ gt2
Possiamo anche studiare il problema dal punto di vosta energetico. Infatti per un corpo che cade le due uniche forme di energia in gioco sono quella cinetica e quella potenziale gravitazionale. Sappiamo che le espressioni di queste due grandezze sono:
Ec = ½ mv2
Ug = mgh
All'inizio il corpo è fermo all'altezza h0, quindi tutta la sua energia sarà potenziale gravitazionale; viceversa quando il corpo si trova all'altezza 0 la sua energia sarà interamente cinetica. Per il principio di conservazione dell'energia l'energia totale del corpo sarà sempre costante, quindi possiamo scrivere:
E = Ec + Ug = ½ mv2 + mgh = cost.
Se il punto materiale si muove su una traiettoria rettilinea e il modulo della sua velocità non si mantiene costante nel tempo si parla di moto vario.
Per questo tipo di moto il grafico (s,t) non è rappresentato da una retta, ma da una curva.

Dal grafico (s,t), calcolando le pendenze delle tangenti nei vari istanti di tempo, si possono determinare i valori delle velocità istantanee.
Dal grafico (v,t), calcolando le pendenze delle tangenti nei vari istanti di tempo, si possono determinare i valori delle accelerazioni istantanee.

MOTO UNIFORMEMENTE VARIO
Se il grafico (v,t) è rappresentato da una retta non orizzontale, la velocità varia linearmente nel tempo: la tangente al grafico in ciascun punto è la retta stessa, il cui coefficiente angolare, costante, dà il valore dell’accelerazione che caratterizza il moto, che si dice uniformemente vario.
In particolare, se a > 0 si parla di moto uniformemente accelerato, se a < 0 di moto uniformemente decelerato.
LEGGE DELLE VELOCITA’
Per un moto ad accelerazione costante, l’accelerazione istantanea coincide con l’accelerazione media relativa a qualunque intervallo di tempo considerato. Se il corpo, partito nell’istante t0 con velocità iniziale v0 , possiede nell’istante di tempo t la velocità v si può scrivere:
dove e .
Ne segue che:
Se supponiamo di iniziare l’osservazione del moto nell’istante di tempo t0 , allora, nel nostro caso, è t0 = 0.
Di conseguenza la relazione precedente diventa:
Questa relazione fornisce il legame esplicito tra la velocità assunta dal corpo e il tempo, in funzione della sua accelerazione.

LEGGE ORARIA
Consideriamo sempre lo stesso corpo, partito nell’istante t0 con velocità iniziale v0 dalla posizione s0, e che occupa nell’istante di tempo t la posizione s con velocità v.
Il moto del corpo, in realtà uniformemente vario, può essere assimilato a un moto rettilineo uniforme, caratterizzato da una velocità media data dalla media aritmetica delle velocità iniziale e finale del corpo:

La legge oraria del moto è dunque:

Tenendo conto, poi, della legge delle velocità , e inserendo tale relazione nella precedente si ha:


Questa relazione fornisce il legame esplicito tra la posizione assunta dal corpo e il tempo, in funzione della sua velocità e della sua accelerazione: rappresenta dunque la legge oraria del moto.

OSSERVAZIONI

Ø Se rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani la grandezza s in ordinata (variabile dipendente) e la variabile t in ascissa (variabile indipendente), il grafico che si ottiene sarà una parabola, con concavità rivolta verso l’alto se a>0 (moto uniformemente decelerato), verso il basso se a

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