i vettori e la loro somma

Materie:	Appunti
Categoria:	Fisica
Voto:	2 (2)
Download:	151
Data:	18.01.2007
Numero di pagine:	4
Formato di file:	.doc (Microsoft Word)

Vettori e loro somma
Per poter individuare univocamente la posizione di un punto B rispetto ad un altro A considerato come origine appare intuitivamente evidente come non sia sufficiente assegnare la sola misura della lunghezza del segmento AB ma, al contrario, si renda necessario fornire altre informazioni quali la direzione del segmento AB e il verso che, su questa direzione, collega il punto iniziale A con quello terminale B. Tutto questo contenuto informativo viene riassunto dal concetto di vettore, rappresentato in queste pagine dal simbolo di segmento riportato in neretto, ossia AB. La rappresentazione geometrica e grafica di tale vettore è data invece dall'insieme dei segmenti di retta aventi tutti la medesima direzione e verso e una lunghezza proporzionale alla parte scalare cioè alla misura della lunghezza del segmento AB. Tali segmenti si dicono segmenti orientati e, per l'appunto, se dotati della medesima direzione, verso e lunghezza si definiscono anche come segmenti equipollenti e rappresentano lo stesso vettore (in ambiti più formali si definisce sull'insieme dei segmenti orientati la relazione di equipollenza e le classi cui dà luogo si identificano con i vettori).

figura 1
In figura 1 riportiamo quindi alcuni segmenti orientati tutti rappresentativi del medesimo vettore AB in quanto caratterizzati dalla medesima direzione e verso così come dalla medesima lunghezza o, come si dice nel contesto dell'algebra dei vettori, modulo AB). (Nota. Abbiamo aggiunto tra le icone di Z.u.L. lo strumento vettore in modo da poter riportare graficamente un segmento come un vettore. Si tenga presente che tale strumento non interviene in alcuna costruzione e permette solo di modificare le apparenze di segmenti preesistenti: è in sostanza un elemento decorativo).
Introdotto (informalmente) il concetto di vettore è naturale definire delle operazioni che lo associno ad altri vettori o ad altre grandezze: qui iniziamo ricordando la definizione di somma vettoriale. Prendendo spunto da una situazione fisica consideriamo una particella che inizialmente si sposti da un punto A al punto B (fig. 2).

figura 2
Tale spostamento è rappresentato dal vettore a = AB. Successivamente la particella si muove da B a C e questo ulteriore spostamento viene rappresentato da b = BC. Lo spostamento complessivo è dato dal nuovo vettore c = AC. Quest'ultimo è quello che si definisce vettore somma di a e b. Difatti
Definizione di somma vettoriale.
La somma di due vettori a e b è un vettore c = a + b la cui direzione e verso si ottengono nel modo seguente:
• si fissa il vettore a e, a partire dal suo punto estremo, si riporta il vettore b. Il vettore che unisce l'origine di a con l'estremo di b fornisce la somma c = a + b.
Dalla definizione si deducono facilmente le seguenti proprietà:
• proprietà commutativa: a + b = b + a
• proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
In particolare dalla proprietà commutativa discende una definizione alternativa della somma (o risultante) di due vettori e conosciuta come la regola del parallelogramma. Questa consiste nell'individuare il vettore somma di due vettori non paralleli come il vettore rappresentato dalla diagonale del parallelogramma costruito per mezzo dei due vettori disposti in modo da avere l'origine in comune (in fig. 2 i segmenti orientati BC e AD rappresentano lo stesso vettore b).
Nel caso di tre o più vettori questa regola si estende facilmente considerando il poligono che si viene a formare connettendo l'origine di ogni vettore con l'estremo del precedente. Il vettore risultante si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo dell'ultimo (fig. 3).

figura 3
Si definisce quindi il vettore opposto di a = AB come quel vettore che possiede la medesima direzione di a, modulo uguale ma verso opposto: esso è rappresentato dal segmento orientato BA e si pone –a = BA. In tal modo discende che a + (–a) = 0, dove 0 rappresenta il vettore nullo, rappresentato da segmenti orientati con gli estremi coincidenti e quindi dotato di modulo nullo e, convenzionalmente, di direzione e verso qualsiasi.
Diviene così possibile associare un significato alla differenza di vettori, simbolicamente data da a - b: questa verrà intesa come una somma tra il primo addendo e l'opposto del secondo d = a + (–b) (fig. 4). In tal modo, se la lunghezza della diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori uscenti dallo stesso punto rappresenta il modulo del vettore somma, la seconda diagonale dello stesso parallelogramma fornisce la lunghezza del vettore differenza (fig. 4).

figura 4
Nel caso sia noto l'angolo α = CAB compreso tra due vettori (fig. 5) e, di questi, i rispettivi moduli |a| = AB e |b| = AC = BD,

figura 5
il quadrato del modulo del vettore somma si ottiene sfruttando il teorema trigonometrico del coseno applicato a ABD. E dato che ABD = 180° - CAB ne segue
|a + b|2
=
AB2
+
BD2
-
2 AB · BD cos(ABD)
=
AB2
+
BD2
-
2 AB · BD cos(180° - CAB)
=
AB2
+
AC2
+
2 AB · AC cosCAB
Nello stesso modo, il quadrato del modulo del vettore differenza risulta (fig. 5)
|a - b|2
=
AB2
+
AC2
-
2 AB · AC cos(CAB)
Moltiplicazione scalare-vettore
Dato uno scalare α rappresentativo di un numero reale e un vettore a è pure possibile definire una nuova operazione tale da associare a questi due un altro vettore. A tale scopo si dà la seguente definizione:
Definizione di moltiplicazione scalare-vettore
La moltiplicazione α·a di un vettore a con il numero reale α è un vettore b = α a,
• parallelo (o come si dirà in seguito, collineare) ad a,
• di modulo | α |·| a | cioè pari al prodotto del valore assoluto di α con il modulo di a e
• verso coincidente con quello di a se α > 0, di verso opposto se α